Номер 285, страница 436 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 285, страница 436.

Условие.

285 ЕГЭ Найдите все значения $a$, при каждом из которых наименьшее значение функции $f(x) = 2ax + |x^2 - 8x + 7|$ больше 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых наименьшее значение функции $f(x) = 2ax + |x^2 - 8x + 7|$ больше 1. Это эквивалентно тому, что для любого действительного числа $x$ должно выполняться неравенство $f(x) > 1$.

Запишем это неравенство:

$2ax + |x^2 - 8x + 7| > 1$

Раскроем модуль, для этого найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 8x + 7$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$. Таким образом, $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7)$.

Выражение $x^2 - 8x + 7$ неотрицательно при $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$ и отрицательно при $x \in (1, 7)$. Разобьем решение на два случая.

Случай 1: $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$

В этом случае $|x^2 - 8x + 7| = x^2 - 8x + 7$. Исходное неравенство принимает вид:

$2ax + x^2 - 8x + 7 > 1$

$x^2 + (2a - 8)x + 6 > 0$

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Графиком функции $g_1(x) = x^2 + (2a - 8)x + 6$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство должно выполняться для всех $x$ из указанного множества.

Это условие выполняется, если:

1) Дискриминант $D_1$ квадратного трехчлена $g_1(x)$ отрицателен. В этом случае $g_1(x)$ будет положительна при любых $x$.
$D_1 = (2a - 8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 4(a - 4)^2 - 24 = 4a^2 - 32a + 64 - 24 = 4(a^2 - 8a + 10)$.
$D_1 < 0 \implies a^2 - 8a + 10 < 0$.
Найдем корни уравнения $a^2 - 8a + 10 = 0$: $a = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 40}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{24}}{2} = 4 \pm \sqrt{6}$.
Следовательно, $a^2 - 8a + 10 < 0$ при $a \in (4 - \sqrt{6}, 4 + \sqrt{6})$.

2) Дискриминант $D_1 \ge 0$, но корни $x_1, x_2$ уравнения $g_1(x)=0$ лежат в интервале $(1, 7)$. Тогда на множестве $x \in (-\infty, 1] \cup [7, \infty)$ функция $g_1(x)$ будет положительна.
Условия того, что оба корня лежат в интервале $(1, 7)$:
а) $D_1 \ge 0 \implies a \in (-\infty, 4 - \sqrt{6}] \cup [4 + \sqrt{6}, \infty)$.
б) Вершина параболы $x_v = -\frac{2a-8}{2} = 4-a$ лежит в $(1, 7)$: $1 < 4-a < 7 \implies -3 < -a < 3 \implies -3 < a < 3$.
в) Значения функции на концах интервала положительны: $g_1(1) > 0$ и $g_1(7) > 0$.
$g_1(1) = 1 + 2a - 8 + 6 = 2a - 1 > 0 \implies a > 1/2$.
$g_1(7) = 49 + 7(2a - 8) + 6 = 49 + 14a - 56 + 6 = 14a - 1 > 0 \implies a > 1/14$.
Объединяя условия из пункта в), получаем $a > 1/2$.
Теперь найдем пересечение всех условий для 2): $a \in (-\infty, 4 - \sqrt{6}] \cup [4 + \sqrt{6}, \infty)$, $a \in (-3, 3)$ и $a > 1/2$.
Пересечение дает $a \in (1/2, 4 - \sqrt{6}]$.

Объединяя результаты 1) и 2) для Случая 1, получаем: $a \in (4 - \sqrt{6}, 4 + \sqrt{6}) \cup (1/2, 4 - \sqrt{6}] = (1/2, 4 + \sqrt{6})$.

Случай 2: $x \in (1, 7)$

В этом случае $|x^2 - 8x + 7| = -(x^2 - 8x + 7) = -x^2 + 8x - 7$. Исходное неравенство принимает вид:

$2ax - x^2 + 8x - 7 > 1$

$-x^2 + (2a + 8)x - 8 > 0$

$x^2 - (2a + 8)x + 8 < 0$

Это квадратичное неравенство. Графиком функции $g_2(x) = x^2 - (2a + 8)x + 8$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $g_2(x) < 0$ должно выполняться для всех $x \in (1, 7)$. Это означает, что интервал $(1, 7)$ должен находиться между корнями уравнения $g_2(x) = 0$.

Это условие равносильно системе:
$\begin{cases} D_2 \ge 0 \\ g_2(1) \le 0 \\ g_2(7) \le 0 \end{cases}$

Рассчитаем значения:
$g_2(1) = 1 - (2a + 8) + 8 = 1 - 2a \le 0 \implies 2a \ge 1 \implies a \ge 1/2$.
$g_2(7) = 49 - 7(2a + 8) + 8 = 49 - 14a - 56 + 8 = 1 - 14a \le 0 \implies 14a \ge 1 \implies a \ge 1/14$.
Оба неравенства выполняются при $a \ge 1/2$.

Проверим условие на дискриминант:
$D_2 = (-(2a+8))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4(a+4)^2 - 32 = 4(a^2+8a+16) - 32 = 4(a^2+8a+8)$.
$D_2 \ge 0 \implies a^2+8a+8 \ge 0$.
Корни уравнения $a^2+8a+8=0$: $a = \frac{-8 \pm \sqrt{64-32}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{2}$.
Таким образом, $D_2 \ge 0$ при $a \in (-\infty, -4-2\sqrt{2}] \cup [-4+2\sqrt{2}, \infty)$.
Поскольку $-4+2\sqrt{2} \approx -4+2.828 = -1.172$, а мы рассматриваем $a \ge 1/2$, условие $D_2 \ge 0$ всегда выполняется.Итак, для Случая 2 получаем условие $a \ge 1/2$.

Заключение

Чтобы исходное неравенство выполнялось для всех действительных $x$, необходимо, чтобы выполнялись условия для обоих случаев одновременно. Найдем пересечение полученных множеств значений параметра $a$:

$a \in (1/2, 4 + \sqrt{6})$ и $a \ge 1/2$.

Пересечением этих множеств является интервал $a \in (1/2, 4 + \sqrt{6})$.

Ответ: $a \in (\frac{1}{2}; 4 + \sqrt{6})$.