Номер 278, страница 436 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 278, страница 436.

Условие.

278 Решите уравнение $(\cos x - 1)(\operatorname{tg} x + \sqrt{3})\sqrt{\cos x} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения уравнения $(\cos x - 1)(\tan x + \sqrt{3})\sqrt{\cos x} = 0$, необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

Определение ОДЗ

Уравнение содержит два выражения, накладывающие ограничения: во-первых, подкоренное выражение в $\sqrt{\cos x}$ должно быть неотрицательным, то есть $\cos x \ge 0$; во-вторых, тангенс $\tan x$ определен только тогда, когда $\cos x \ne 0$. Объединяя эти условия, получаем, что ОДЗ уравнения — это все $x$, для которых выполняется строгое неравенство $\cos x > 0$. Это соответствует значениям $x$ в I и IV координатных четвертях: $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k\right)$ для всех целых $k$.

Решение уравнения

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены (то есть, $x$ принадлежит ОДЗ). Рассмотрим три случая.

Случай 1: $\cos x - 1 = 0$.
Отсюда следует, что $\cos x = 1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $1 > 0$. Уравнение $\cos x = 1$ имеет решения $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Все значения из этой серии являются решениями исходного уравнения.

Случай 2: $\tan x + \sqrt{3} = 0$.
Отсюда следует, что $\tan x = -\sqrt{3}$. Общее решение этого уравнения: $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Мы должны выбрать из этой серии только те корни, которые удовлетворяют ОДЗ, то есть $\cos x > 0$. Из тождества $1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ получаем $\cos^2 x = \frac{1}{1 + (-\sqrt{3})^2} = \frac{1}{4}$, откуда $\cos x = \pm\frac{1}{2}$. Нам подходят только те $x$, для которых $\cos x = \frac{1}{2}$.
Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$: если $k$ — четное ($k=2m, m \in \mathbb{Z}$), то $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$. Эти углы находятся в IV четверти, и для них $\cos x = \frac{1}{2} > 0$, поэтому эти корни подходят. Если $k$ — нечетное ($k=2m+1, m \in \mathbb{Z}$), то $x = -\frac{\pi}{3} + \pi(2m+1) = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$. Эти углы находятся во II четверти, и для них $\cos x = -\frac{1}{2} < 0$, поэтому эти корни не подходят. Таким образом, из этого случая получаем серию решений $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Случай 3: $\sqrt{\cos x} = 0$.
Отсюда следует, что $\cos x = 0$. Эти значения $x$ не входят в ОДЗ, так как при $\cos x = 0$ тангенс не определен. Следовательно, этот случай не дает решений.

Объединяя все найденные решения, получаем две серии корней.

Ответ: $x = 2\pi n$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.