Номер 283, страница 436 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 283, страница 436.

Условие.

283 ЕГЭ Решите систему неравенств

$$ \begin{cases} 4^x \leq 9 \cdot 2^x + 22 \\ \log_3(x^2 - x - 2) \leq 1 + \log_3\left(\frac{x+1}{x-2}\right) \end{cases} $$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Решение первого неравенства

Рассмотрим первое неравенство: $4^x \le 9 \cdot 2^x + 22$.

Перенесем все члены в левую часть и представим $4^x$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 9 \cdot 2^x - 22 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 - 9t - 22 \le 0$

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 9t - 22 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-22) = 81 + 88 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{9 - 13}{2} = -2$ и $t_2 = \frac{9 + 13}{2} = 11$.

Графиком функции $y = t^2 - 9t - 22$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $t^2 - 9t - 22 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $-2 \le t \le 11$.

Учитывая ограничение $t > 0$, получаем $0 < t \le 11$.

Выполним обратную замену:

$0 < 2^x \le 11$

Неравенство $2^x > 0$ справедливо для всех действительных $x$. Решим оставшееся неравенство $2^x \le 11$.

Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\log_2(2^x) \le \log_2(11)$

$x \le \log_2(11)$

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, \log_2(11)]$.

Решение второго неравенства

Рассмотрим второе неравенство: $\log_3(x^2 - x - 2) \le 1 + \log_3(\frac{x+1}{x-2})$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), для которой все выражения под знаками логарифмов строго положительны:

$\begin{cases} x^2 - x - 2 > 0 \\ \frac{x+1}{x-2} > 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство ОДЗ: $x^2 - x - 2 > 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) > 0$. Решением является $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

Решим второе неравенство ОДЗ: $\frac{x+1}{x-2} > 0$. Методом интервалов получаем, что решение также $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

Следовательно, ОДЗ для второго неравенства: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)$.

Теперь решим неравенство на найденной ОДЗ. Преобразуем его, представив $1$ как $\log_3(3)$ и используя свойство суммы логарифмов:

$\log_3(x^2 - x - 2) \le \log_3(3) + \log_3(\frac{x+1}{x-2})$

$\log_3(x^2 - x - 2) \le \log_3(3 \cdot \frac{x+1}{x-2})$

Поскольку основание логарифма $3 > 1$, мы можем опустить логарифмы, сохранив знак неравенства:

$x^2 - x - 2 \le \frac{3(x+1)}{x-2}$

Разложим левую часть на множители: $(x-2)(x+1) \le \frac{3(x+1)}{x-2}$.

Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $x \in (2, \infty)$. В этом случае оба множителя $(x-2)$ и $(x+1)$ положительны. Мы можем умножить неравенство на $(x-2)$ и разделить на $(x+1)$, не меняя знаков:

$(x-2)^2 \le 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 \le 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$ равны $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Решением неравенства $x^2 - 4x + 1 \le 0$ является отрезок $[2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}]$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x > 2$: $x \in (2, 2+\sqrt{3}]$.

Случай 2: $x \in (-\infty, -1)$. В этом случае оба множителя $(x-2)$ и $(x+1)$ отрицательны. При умножении на отрицательное число $(x-2)$ знак неравенства меняется на противоположный. При последующем делении на отрицательное число $(x+1)$ знак снова меняется на противоположный, возвращаясь к исходному.

$(x-2)^2 \le 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 \le 0$.

Решение этого неравенства, как мы уже нашли, есть $[2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}]$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x < -1$. Поскольку $2-\sqrt{3} \approx 2 - 1.732 = 0.268 > -1$, пересечение пустое.

Объединяя результаты по двум случаям, получаем, что решение второго неравенства: $x \in (2, 2+\sqrt{3}]$.

Нахождение решения системы

Решение системы является пересечением решений обоих неравенств:

$\begin{cases} x \le \log_2(11) \\ 2 < x \le 2+\sqrt{3} \end{cases}$

Это соответствует промежутку $2 < x \le \min(\log_2(11), 2+\sqrt{3})$.

Сравним значения $\log_2(11)$ и $2+\sqrt{3}$.

Оценим $\log_2(11)$: $3 = \log_2(8) < \log_2(11) < \log_2(16) = 4$.

Оценим $2+\sqrt{3}$: $1.7 < \sqrt{3} < 1.8 \Rightarrow 3.7 < 2+\sqrt{3} < 3.8$.

Для более точного сравнения сравним оба числа с $3.5$.

Сравним $\log_2(11)$ и $3.5 = \frac{7}{2}$. Это равносильно сравнению $11$ и $2^{3.5} = \sqrt{2^7} = \sqrt{128}$. Так как $11 = \sqrt{121}$ и $\sqrt{121} < \sqrt{128}$, то $\log_2(11) < 3.5$.

Сравним $2+\sqrt{3}$ и $3.5$. Это равносильно сравнению $\sqrt{3}$ и $1.5$. Возведем оба положительных числа в квадрат: $3$ и $2.25$. Так как $3 > 2.25$, то $\sqrt{3} > 1.5$, и следовательно $2+\sqrt{3} > 3.5$.

Из этого следует, что $\log_2(11) < 3.5 < 2+\sqrt{3}$, то есть $\log_2(11) < 2+\sqrt{3}$.

Таким образом, пересечением решений является промежуток $(2, \log_2(11)]$.

Ответ: $(2, \log_2(11)]$.