Номер 279, страница 436 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 279, страница 436.

Условие.

279 ЕГЭ а) Решите уравнение $\cos 2x = 1 - \cos \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $\left[-\frac{5\pi}{2}; - \pi\right]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решите уравнение $\cos(2x) = 1 - \cos(\frac{\pi}{2} - x)$.

Сначала преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества. Применим формулу приведения для правой части:

$\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin(x)$

Теперь исходное уравнение принимает вид:

$\cos(2x) = 1 - \sin(x)$

Далее используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$, чтобы привести уравнение к одной функции $\sin(x)$:

$1 - 2\sin^2(x) = 1 - \sin(x)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и упростим:

$1 - 2\sin^2(x) - 1 + \sin(x) = 0$

$-2\sin^2(x) + \sin(x) = 0$

Умножим обе части на $-1$ и вынесем общий множитель $\sin(x)$ за скобки:

$2\sin^2(x) - \sin(x) = 0$

$\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\sin(x) = 0$

Корни этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in Z$.

2. $2\sin(x) - 1 = 0$

$2\sin(x) = 1$

$\sin(x) = \frac{1}{2}$

Корни этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $\pi n, \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $n, k \in Z$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$.

Проведем отбор корней для каждой из трех серий, найденных в пункте а). Промежуток $[-\frac{5\pi}{2}; -\pi]$ соответствует $[-2.5\pi; -\pi]$.

1. Серия $x = \pi n$.
Подставляя различные целые значения $n$, найдем корни в заданном промежутке:
- при $n = -1$, $x = -\pi$. Корень $-\pi$ принадлежит промежутку, так как является его правым концом.
- при $n = -2$, $x = -2\pi$. Корень $-2\pi$ принадлежит промежутку, так как $-2.5\pi \leq -2\pi \leq -\pi$.
- при $n = -3$, $x = -3\pi$. Корень $-3\pi$ не принадлежит промежутку, так как $-3\pi < -2.5\pi$.

2. Серия $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$.
Подставим целые значения $k$:
- при $k = 0$, $x = \frac{\pi}{6}$, что не входит в промежуток.
- при $k = -1$, $x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6}$. Проверим принадлежность промежутку: $-\frac{5\pi}{2} = -\frac{15\pi}{6}$ и $-\pi = -\frac{6\pi}{6}$. Поскольку $-\frac{15\pi}{6} \leq -\frac{11\pi}{6} \leq -\frac{6\pi}{6}$, корень $-\frac{11\pi}{6}$ подходит.
- при $k = -2$, $x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6}$. Этот корень не подходит, так как $-\frac{23\pi}{6} < -\frac{15\pi}{6}$.

3. Серия $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$.
Подставим целые значения $k$:
- при $k = 0$, $x = \frac{5\pi}{6}$, что не входит в промежуток.
- при $k = -1$, $x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$. Проверим принадлежность промежутку: $-\frac{15\pi}{6} \leq -\frac{7\pi}{6} \leq -\frac{6\pi}{6}$. Корень $-\frac{7\pi}{6}$ подходит.
- при $k = -2$, $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6}$. Этот корень не подходит, так как $-\frac{19\pi}{6} < -\frac{15\pi}{6}$.

Объединяя все найденные корни, получаем:

Ответ: $-2\pi, -\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, -\pi$.