Номер 276, страница 436 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 276, страница 436.

Условие.

276 Найдите значение выражения $12\sin^2 x$, если $\operatorname{tg} x = \sqrt{5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения значения выражения $12\sin^2 x$ воспользуемся тригонометрическими тождествами. Нам известно значение $\tan x$, и мы можем выразить $\sin^2 x$ через $\tan^2 x$.

Существует тождество, связывающее синус и котангенс: $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$

По определению, котангенс является обратной функцией к тангенсу: $\cot x = \frac{1}{\tan x}$. Следовательно, $\cot^2 x = \frac{1}{\tan^2 x}$.

По условию задачи $\tan x = \sqrt{5}$. Возведем это значение в квадрат: $\tan^2 x = (\sqrt{5})^2 = 5$

Теперь найдем значение $\cot^2 x$: $\cot^2 x = \frac{1}{5}$

Подставим найденное значение в тождество $1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$: $1 + \frac{1}{5} = \frac{1}{\sin^2 x}$

Выполним сложение в левой части уравнения: $\frac{5}{5} + \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$

Таким образом, мы получаем: $\frac{6}{5} = \frac{1}{\sin^2 x}$

Отсюда выражаем $\sin^2 x$: $\sin^2 x = \frac{5}{6}$

Наконец, подставим значение $\sin^2 x$ в исходное выражение, которое нужно найти: $12\sin^2 x = 12 \cdot \frac{5}{6}$

Вычисляем результат: $12 \cdot \frac{5}{6} = \frac{12 \cdot 5}{6} = 2 \cdot 5 = 10$

Ответ: 10