Номер 265, страница 433 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 265, страница 433.

Условие.

265 В озеро впадают две реки. Теплоход выходит из порта $M$ на первой реке, плывёт вниз по течению до озера, затем через озеро (где нет течения) и по второй реке вверх (против течения) до порта $N$. Затем теплоход возвращается обратно. Скорость теплохода в озере равна $v$, скорость течения первой реки $v_1$, второй реки $v_2$, время движения теплохода от $M$ до $N$ равно $t$, а длина пути от $M$ до $N$ равна $s$. Время обратного движения от $N$ до $M$ также равно $t$. Какое расстояние теплоход идёт по озеру в одном направлении?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для решения задачи введем обозначения для расстояний на каждом участке пути:

• $s_1$ — расстояние, которое теплоход проходит по первой реке.
• $s_о$ — искомое расстояние, которое теплоход проходит по озеру.
• $s_2$ — расстояние, которое теплоход проходит по второй реке.

Общая длина пути от порта $M$ до порта $N$ составляет $s$, следовательно:

$s = s_1 + s_о + s_2$

Составление уравнений времени

Скорость теплохода зависит от участка пути:

• По течению (вниз): собственная скорость + скорость течения.
• Против течения (вверх): собственная скорость - скорость течения.
• В озере (стоячая вода): собственная скорость.

1. Путь из M в N.Теплоход движется вниз по течению первой реки (скорость $v + v_1$), по озеру (скорость $v$) и вверх против течения второй реки (скорость $v - v_2$). Общее время в пути равно $t$:

$t = \frac{s_1}{v + v_1} + \frac{s_о}{v} + \frac{s_2}{v - v_2}$

2. Обратный путь из N в M.Теплоход движется вниз по течению второй реки (скорость $v + v_2$), по озеру (скорость $v$) и вверх против течения первой реки (скорость $v - v_1$). Общее время в пути также равно $t$:

$t = \frac{s_2}{v + v_2} + \frac{s_о}{v} + \frac{s_1}{v - v_1}$

Решение системы уравнений

Поскольку левые части обоих уравнений равны $t$, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{s_1}{v + v_1} + \frac{s_о}{v} + \frac{s_2}{v - v_2} = \frac{s_2}{v + v_2} + \frac{s_о}{v} + \frac{s_1}{v - v_1}$

Сократим одинаковый член $\frac{s_о}{v}$ в обеих частях и сгруппируем слагаемые с $s_1$ и $s_2$:

$s_1 \left( \frac{1}{v + v_1} - \frac{1}{v - v_1} \right) = s_2 \left( \frac{1}{v + v_2} - \frac{1}{v - v_2} \right)$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$s_1 \frac{(v - v_1) - (v + v_1)}{(v + v_1)(v - v_1)} = s_2 \frac{(v - v_2) - (v + v_2)}{(v + v_2)(v - v_2)}$

$s_1 \frac{-2v_1}{v^2 - v_1^2} = s_2 \frac{-2v_2}{v^2 - v_2^2}$

Сократив на $-2$, получим важное соотношение между $s_1$ и $s_2$:

$\frac{s_1 v_1}{v^2 - v_1^2} = \frac{s_2 v_2}{v^2 - v_2^2}$ (1)

Теперь сложим исходные уравнения для времени. Время всего пути туда и обратно равно $2t$:

$2t = \left(\frac{s_1}{v + v_1} + \frac{s_1}{v - v_1}\right) + \left(\frac{s_2}{v - v_2} + \frac{s_2}{v + v_2}\right) + \frac{2s_о}{v}$

Упростим выражения в скобках:

$2t = s_1 \frac{2v}{v^2 - v_1^2} + s_2 \frac{2v}{v^2 - v_2^2} + \frac{2s_о}{v}$

Разделим всё уравнение на 2:

$t = v \left( \frac{s_1}{v^2 - v_1^2} + \frac{s_2}{v^2 - v_2^2} \right) + \frac{s_о}{v}$ (2)

Из соотношения (1) следует, что мы можем ввести коэффициент пропорциональности $k$:

$\frac{s_1}{v^2 - v_1^2} = \frac{k}{v_1}$ и $\frac{s_2}{v^2 - v_2^2} = \frac{k}{v_2}$

Подставим эти выражения в уравнение (2):

$t = v \left( \frac{k}{v_1} + \frac{k}{v_2} \right) + \frac{s_о}{v} = v k \frac{v_1+v_2}{v_1v_2} + \frac{s_о}{v}$

Выразим отсюда $k$:

$t - \frac{s_о}{v} = v k \frac{v_1+v_2}{v_1v_2} \implies k = \frac{v_1v_2}{v(v_1+v_2)} \left( t - \frac{s_о}{v} \right)$

Теперь воспользуемся уравнением для общей длины пути: $s_1 + s_2 = s - s_о$. Выразим $s_1$ и $s_2$ через $k$:

$s_1 = k \frac{v^2-v_1^2}{v_1}$ и $s_2 = k \frac{v^2-v_2^2}{v_2}$

$k \left( \frac{v^2-v_1^2}{v_1} + \frac{v^2-v_2^2}{v_2} \right) = s - s_о$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{v^2}{v_1} - v_1 + \frac{v^2}{v_2} - v_2 = v^2\left(\frac{1}{v_1}+\frac{1}{v_2}\right) - (v_1+v_2) = v^2\frac{v_1+v_2}{v_1v_2} - (v_1+v_2) = (v_1+v_2)\left(\frac{v^2}{v_1v_2} - 1\right)$

Подставим это и выражение для $k$ в уравнение:

$\frac{v_1v_2}{v(v_1+v_2)} \left( t - \frac{s_о}{v} \right) (v_1+v_2)\left(\frac{v^2}{v_1v_2} - 1\right) = s - s_о$

Сократим $(v_1+v_2)$:

$\frac{v_1v_2}{v} \left( t - \frac{s_о}{v} \right) \left(\frac{v^2-v_1v_2}{v_1v_2}\right) = s - s_о$

Сократим $v_1v_2$:

$\frac{1}{v} \left( t - \frac{s_о}{v} \right) (v^2-v_1v_2) = s - s_о$

Теперь раскроем скобки и решим уравнение относительно $s_о$:

$\frac{t(v^2-v_1v_2)}{v} - \frac{s_о(v^2-v_1v_2)}{v^2} = s - s_о$

$s_о - \frac{s_о(v^2-v_1v_2)}{v^2} = s - \frac{t(v^2-v_1v_2)}{v}$

$s_о \left(1 - \frac{v^2-v_1v_2}{v^2}\right) = s - \frac{t(v^2-v_1v_2)}{v}$

$s_о \left(\frac{v^2 - (v^2-v_1v_2)}{v^2}\right) = s - t\left(v - \frac{v_1v_2}{v}\right)$

$s_о \left(\frac{v_1v_2}{v^2}\right) = s - vt + t\frac{v_1v_2}{v}$

$s_о = \frac{v^2}{v_1v_2} \left( s - vt + \frac{tv_1v_2}{v} \right)$

$s_о = \frac{v^2 s}{v_1v_2} - \frac{v^3 t}{v_1v_2} + vt$

Перегруппируем слагаемые для более компактного вида:

$s_о = vt + \frac{v^2}{v_1v_2}(s - vt)$

Ответ: Расстояние, которое теплоход идёт по озеру в одном направлении, равно $vt + \frac{v^2}{v_1 v_2}(s - vt)$.