Номер 263, страница 432 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 263, страница 432.

Условие.

263 а) Из пункта А в одном направлении одновременно отправились пешеход и велосипедист. Через 2 ч вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист, скорость которого равна 30 км/ч. Найдите скорость пешехода, если она постоянна и составляет $\frac{2}{5}$ скорости велосипедиста и мотоциклист догнал пешехода на 1,5 ч раньше, чем велосипедиста.

б) Из пункта А по одному и тому же маршруту одновременно выехали грузовик и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля постоянна и составляет $\frac{6}{5}$ скорости грузовика. Через 30 мин вслед за ними из того же пункта выехал мотоциклист со скоростью 90 км/ч. Найдите скорость легкового автомобиля, если известно, что мотоциклист догнал грузовик на 1 ч раньше, чем легковой автомобиль.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_п$ — скорость пешехода (в км/ч).
• $v_в$ — скорость велосипедиста (в км/ч).
• $v_м = 30$ км/ч — скорость мотоциклиста.

Из условия известно, что скорость пешехода составляет $\frac{2}{5}$ скорости велосипедиста, то есть: $v_п = \frac{2}{5} v_в$, из чего следует, что $v_в = \frac{5}{2} v_п$.

Мотоциклист выехал на 2 часа позже пешехода и велосипедиста. Пусть $t$ — это время, прошедшее с момента выезда мотоциклиста. Тогда пешеход и велосипедист к этому моменту были в пути $(t + 2)$ часа.

Найдем время $t_п$, через которое мотоциклист догнал пешехода. В момент встречи они преодолели одинаковое расстояние от пункта А. $v_п \cdot (t_п + 2) = v_м \cdot t_п$ $v_п t_п + 2v_п = v_м t_п$ $2v_п = t_п (v_м - v_п)$ $t_п = \frac{2v_п}{v_м - v_п}$

Аналогично найдем время $t_в$, через которое мотоциклист догнал велосипедиста. $v_в \cdot (t_в + 2) = v_м \cdot t_в$ $v_в t_в + 2v_в = v_м t_в$ $2v_в = t_в (v_м - v_в)$ $t_в = \frac{2v_в}{v_м - v_в}$

По условию, мотоциклист догнал пешехода на 1,5 часа раньше, чем велосипедиста. Это означает, что время движения мотоциклиста до встречи с велосипедистом было на 1,5 часа больше, чем до встречи с пешеходом: $t_в - t_п = 1,5$

Подставим в это уравнение полученные выражения для $t_п$ и $t_в$: $\frac{2v_в}{v_м - v_в} - \frac{2v_п}{v_м - v_п} = 1,5$

Теперь подставим известные значения: $v_м = 30$ и $v_в = \frac{5}{2}v_п$. $\frac{2(\frac{5}{2}v_п)}{30 - \frac{5}{2}v_п} - \frac{2v_п}{30 - v_п} = 1,5$ $\frac{5v_п}{30 - 2,5v_п} - \frac{2v_п}{30 - v_п} = 1,5$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $v_п \left( \frac{5(30 - v_п) - 2(30 - 2,5v_п)}{(30 - 2,5v_п)(30 - v_п)} \right) = 1,5$ $v_п \left( \frac{150 - 5v_п - 60 + 5v_п}{(30 - 2,5v_п)(30 - v_п)} \right) = 1,5$ $v_п \left( \frac{90}{(30 - 2,5v_п)(30 - v_п)} \right) = 1,5$ $\frac{90v_п}{900 - 30v_п - 75v_п + 2,5v_п^2} = 1,5$ $90v_п = 1,5(2,5v_п^2 - 105v_п + 900)$ Разделим обе части на 1,5: $60v_п = 2,5v_п^2 - 105v_п + 900$ $2,5v_п^2 - 165v_п + 900 = 0$ Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: $5v_п^2 - 330v_п + 1800 = 0$ Разделим на 5: $v_п^2 - 66v_п + 360 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-66)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 4356 - 1440 = 2916 = 54^2$ $v_п = \frac{66 \pm \sqrt{2916}}{2} = \frac{66 \pm 54}{2}$ Уравнение имеет два корня: $v_{п1} = \frac{66 + 54}{2} = 60$ $v_{п2} = \frac{66 - 54}{2} = 6$

Проверим полученные значения. Чтобы мотоциклист мог догнать пешехода и велосипедиста, их скорости должны быть меньше скорости мотоциклиста ($30$ км/ч). Если $v_п = 60$ км/ч, то скорость больше $v_м = 30$ км/ч, что противоречит условию задачи (догнать невозможно). Если $v_п = 6$ км/ч, то $v_в = \frac{5}{2} \cdot 6 = 15$ км/ч. Обе скорости ($6$ км/ч и $15$ км/ч) меньше $30$ км/ч, что является верным.

Ответ: скорость пешехода равна 6 км/ч.

---

б)

Введем обозначения для скоростей:

• $v_г$ — скорость грузовика (в км/ч).
• $v_л$ — скорость легкового автомобиля (в км/ч).
• $v_м = 90$ км/ч — скорость мотоциклиста.

Из условия известно, что $v_л = \frac{6}{5} v_г$, следовательно, $v_г = \frac{5}{6} v_л$.

Мотоциклист выехал на 30 минут (0,5 часа) позже грузовика и легкового автомобиля. Пусть $t$ — время движения мотоциклиста. Тогда грузовик и легковой автомобиль были в пути $(t + 0,5)$ часа.

Найдем время $t_г$, которое потребовалось мотоциклисту, чтобы догнать грузовик. В момент встречи их пройденные пути равны: $v_г \cdot (t_г + 0,5) = v_м \cdot t_г$ $0,5v_г = t_г(v_м - v_г)$ $t_г = \frac{0,5v_г}{v_м - v_г}$

Аналогично для легкового автомобиля (время $t_л$): $v_л \cdot (t_л + 0,5) = v_м \cdot t_л$ $0,5v_л = t_л(v_м - v_л)$ $t_л = \frac{0,5v_л}{v_м - v_л}$

По условию, мотоциклист догнал грузовик на 1 час раньше, чем легковой автомобиль. Это значит: $t_л - t_г = 1$

Подставим выражения для $t_л$ и $t_г$: $\frac{0,5v_л}{v_м - v_л} - \frac{0,5v_г}{v_м - v_г} = 1$

Подставим в уравнение $v_м = 90$ и $v_г = \frac{5}{6} v_л$: $\frac{0,5v_л}{90 - v_л} - \frac{0,5(\frac{5}{6} v_л)}{90 - \frac{5}{6}v_л} = 1$ $\frac{0,5v_л}{90 - v_л} - \frac{\frac{2,5}{6}v_л}{90 - \frac{5}{6}v_л} = 1$ Умножим числитель и знаменатель второй дроби на 6, чтобы упростить: $\frac{0,5v_л}{90 - v_л} - \frac{2,5v_л}{540 - 5v_л} = 1$ Вынесем $0,5v_л$ за скобки в левой части: $0,5v_л \left( \frac{1}{90 - v_л} - \frac{5}{540 - 5v_л} \right) = 1$ $0,5v_л \left( \frac{1}{90 - v_л} - \frac{5}{5(108 - v_л)} \right) = 1$ $0,5v_л \left( \frac{1}{90 - v_л} - \frac{1}{108 - v_л} \right) = 1$ Приведем к общему знаменателю: $0,5v_л \left( \frac{(108 - v_л) - (90 - v_л)}{(90 - v_л)(108 - v_л)} \right) = 1$ $0,5v_л \left( \frac{18}{(90 - v_л)(108 - v_л)} \right) = 1$ $\frac{9v_л}{(90 - v_л)(108 - v_л)} = 1$ $9v_л = (90 - v_л)(108 - v_л)$ $9v_л = 9720 - 90v_л - 108v_л + v_л^2$ $v_л^2 - 198v_л - 9v_л + 9720 = 0$ $v_л^2 - 207v_л + 9720 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-207)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9720 = 42849 - 38880 = 3969 = 63^2$ $v_л = \frac{207 \pm \sqrt{3969}}{2} = \frac{207 \pm 63}{2}$ Корни уравнения: $v_{л1} = \frac{207 + 63}{2} = \frac{270}{2} = 135$ $v_{л2} = \frac{207 - 63}{2} = \frac{144}{2} = 72$

Скорости догоняемых объектов должны быть меньше скорости догоняющего ($v_м = 90$ км/ч). Корень $v_л = 135$ км/ч не подходит, так как $135 > 90$. Корень $v_л = 72$ км/ч подходит, так как $72 < 90$. При этом скорость грузовика $v_г = \frac{5}{6} \cdot 72 = 60$ км/ч, что также меньше 90 км/ч.

Ответ: скорость легкового автомобиля равна 72 км/ч.