Номер 261, страница 432 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 261, страница 432.

Условие.

261 а) Какое количество воды надо добавить в 1 литр $10\%$-ного водного раствора спирта, чтобы получить $6\%$-ный раствор?

б) Имеется 1 литр $6\%$-ного раствора спирта. Сколько литров $3\%$-ного раствора спирта нужно добавить в первый раствор, чтобы получить $5\%$-ный раствор?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Для решения этой задачи сначала найдем количество чистого спирта в исходном растворе. При объеме раствора 1 литр и концентрации 10% количество спирта составляет:

$V_{спирта} = 1 \text{ л} \times 10\% = 1 \times 0.10 = 0.1 \text{ л}$

При добавлении воды количество чистого спирта в растворе не меняется. Меняется только общий объем раствора и, как следствие, его концентрация.

Пусть $x$ – это количество воды (в литрах), которое необходимо добавить. Тогда новый объем раствора будет равен $1 + x$ литров.

Новая концентрация должна составить 6%, или 0.06. Мы можем составить уравнение, где концентрация равна отношению объема спирта к общему объему раствора:

$\frac{0.1}{1 + x} = 0.06$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$0.1 = 0.06 \times (1 + x)$

$0.1 = 0.06 + 0.06x$

$0.06x = 0.1 - 0.06$

$0.06x = 0.04$

$x = \frac{0.04}{0.06} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Таким образом, необходимо добавить $\frac{2}{3}$ литра воды.

Ответ: $\frac{2}{3}$ литра.

б)

В этой задаче мы смешиваем два раствора разной концентрации, чтобы получить третий. Используем правило сохранения массы (или объема) чистого вещества (спирта).

Найдем количество чистого спирта в первом растворе:

$V_{спирта1} = 1 \text{ л} \times 6\% = 1 \times 0.06 = 0.06 \text{ л}$

Пусть $y$ – это объем 3%-ного раствора (в литрах), который нужно добавить. Количество чистого спирта во втором растворе будет:

$V_{спирта2} = y \times 3\% = y \times 0.03$

При смешивании двух растворов их объемы и объемы чистого спирта складываются. Общий объем нового раствора составит $1 + y$ литров. Общее количество спирта в нем будет $0.06 + 0.03y$ литров.

Концентрация итогового раствора должна быть 5%, или 0.05. Составим уравнение:

$\frac{0.06 + 0.03y}{1 + y} = 0.05$

Решим это уравнение относительно $y$:

$0.06 + 0.03y = 0.05 \times (1 + y)$

$0.06 + 0.03y = 0.05 + 0.05y$

$0.06 - 0.05 = 0.05y - 0.03y$

$0.01 = 0.02y$

$y = \frac{0.01}{0.02} = \frac{1}{2} = 0.5$

Следовательно, нужно добавить 0.5 литра 3%-ного раствора спирта.

Ответ: 0.5 литра.