Страница 431 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

246 Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $144^{-|2x-1|} - 2 \cdot 12^{-|2x-1|} + 12a = 0$ имеет хотя бы один корень.

Исходное уравнение:$144^{-|2x-1|} - 2 \cdot 12^{-|2x-1|} + 12a = 0$

Заметим, что $144 = 12^2$. Перепишем уравнение, используя это свойство:$(12^2)^{-|2x-1|} - 2 \cdot 12^{-|2x-1|} + 12a = 0$$(12^{-|2x-1|})^2 - 2 \cdot 12^{-|2x-1|} + 12a = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно выражения $12^{-|2x-1|}$. Сделаем замену переменной.Пусть $t = 12^{-|2x-1|}$.Теперь необходимо определить область допустимых значений для переменной $t$.Выражение под знаком модуля $|2x-1|$ принимает все неотрицательные значения, то есть $|2x-1| \ge 0$.Следовательно, показатель степени $-|2x-1|$ принимает все неположительные значения: $-|2x-1| \le 0$.Поскольку показательная функция $y(z) = 12^z$ является монотонно возрастающей, то для $z = -|2x-1| \in (-\infty, 0]$ её значения будут находиться в промежутке $(0, 1]$.При $z \to -\infty$, $12^z \to 0$.При $z = 0$, $12^0 = 1$.Таким образом, новая переменная $t$ может принимать значения из полуинтервала $t \in (0, 1]$.

После замены уравнение принимает вид:$t^2 - 2t + 12a = 0$

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых это квадратное уравнение имеет хотя бы один корень $t$ на промежутке $(0, 1]$.

Выразим $12a$ из уравнения:$12a = -t^2 + 2t$

Рассмотрим функцию $f(t) = -t^2 + 2t$. Нам нужно найти множество значений, которые принимает эта функция при $t \in (0, 1]$.Графиком функции $f(t)$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Координата вершины параболы по оси абсцисс:$t_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$

Вершина параболы находится в точке $t=1$. На промежутке $(-\infty, 1]$ функция $f(t)$ возрастает. Так как интересующий нас промежуток $(0, 1]$ целиком лежит на промежутке возрастания, то для нахождения множества значений функции достаточно найти её значения на концах этого промежутка.

• При $t \to 0$ (справа), значение функции $f(t) \to -0^2 + 2 \cdot 0 = 0$.
• При $t = 1$, значение функции $f(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 = 1$.

Поскольку функция $f(t)$ непрерывна и возрастает на $(0, 1]$, она принимает все значения из промежутка $(0, 1]$.Таким образом, выражение $12a$ должно принадлежать этому множеству:$0 < 12a \le 1$

Решим это двойное неравенство относительно $a$:$\frac{0}{12} < a \le \frac{1}{12}$$0 < a \le \frac{1}{12}$

Для каждого значения $a$ из этого интервала существует корень $t \in (0, 1]$. Каждому такому $t$ соответствует хотя бы один корень $x$ исходного уравнения, так как уравнение $|2x-1| = -\log_{12}(t)$ имеет решения, поскольку $-\log_{12}(t) \ge 0$ для $t \in (0, 1]$.

Ответ: $a \in (0, \frac{1}{12}]$.

Для каждого значения параметра a решите неравенство (247–248):

247 $|2x + a| \le x + 2$.

Исходное неравенство $|2x + a| \le x + 2$ равносильно системе, в которой, во-первых, правая часть должна быть неотрицательной (так как модуль всегда неотрицателен), и, во-вторых, подмодульное выражение должно быть заключено между правой частью и ей противоположной.

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ -(x+2) \le 2x+a \le x+2 \end{cases}$

Из первого неравенства системы получаем область допустимых значений для $x$: $x \ge -2$.

Второе двойное неравенство $-(x+2) \le 2x+a \le x+2$ эквивалентно системе из двух линейных неравенств:

$\begin{cases} 2x+a \le x+2 \\ 2x+a \ge -(x+2) \end{cases}$

Решим каждое из них:

1) $2x+a \le x+2 \implies 2x - x \le 2 - a \implies x \le 2-a$.

2) $2x+a \ge -x-2 \implies 2x + x \ge -a - 2 \implies 3x \ge -a-2 \implies x \ge \frac{-a-2}{3}$.

Теперь необходимо найти значения $x$, удовлетворяющие всем трем условиям одновременно:

$\begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 2-a \\ x \ge \frac{-a-2}{3} \end{cases}$

Из второго и третьего неравенств следует, что $x \in [\frac{-a-2}{3}, 2-a]$. Данный отрезок существует (не является пустым множеством) только в том случае, если его левая граница меньше или равна правой:

$\frac{-a-2}{3} \le 2-a$

$-a-2 \le 3(2-a) \implies -a-2 \le 6-3a \implies 2a \le 8 \implies a \le 4$.

Таким образом, если $a > 4$, система не имеет решений.

При $a \le 4$ решение неравенства является пересечением отрезка $[\frac{-a-2}{3}, 2-a]$ и луча $[-2, +\infty)$. Чтобы найти это пересечение, сравним левую границу отрезка, $\frac{-a-2}{3}$, с числом $-2$:

$\frac{-a-2}{3} - (-2) = \frac{-a-2+6}{3} = \frac{4-a}{3}$.

Проанализируем результат в зависимости от параметра $a$:

1. Если $a < 4$.

Тогда $4-a > 0$, и, следовательно, $\frac{4-a}{3} > 0$, что означает $\frac{-a-2}{3} > -2$. В этом случае нижняя граница отрезка $[\frac{-a-2}{3}, 2-a]$ больше, чем $-2$, поэтому весь отрезок входит в область допустимых значений $x \ge -2$. Решением является $x \in [\frac{-a-2}{3}, 2-a]$.

2. Если $a = 4$.

Тогда $4-a = 0$, и, следовательно, $\frac{-a-2}{3} = -2$. Левая и правая границы отрезка решений: Левая: $\frac{-4-2}{3} = -2$. Правая: $2-4 = -2$. Отрезок вырождается в точку: $[-2, -2]$. Решением является единственное значение $x=-2$.

3. Если $a > 4$.

Как было установлено ранее, в этом случае неравенство не имеет решений.

Ответ: при $a \in (-\infty, 4)$ решением является $x \in [\frac{-a-2}{3}, 2-a]$; при $a=4$ решением является $x=-2$; при $a \in (4, +\infty)$ решений нет.

248 $3(2x - a) + 5a\sqrt{2x - a - 2a^2} > 0.$

Решим неравенство $3(2x - a) + 5a\sqrt{2x - a} - 2a^2 > 0$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$2x - a \ge 0 \implies 2x \ge a \implies x \ge \frac{a}{2}$.

2. Замена переменной

Для упрощения неравенства введём замену. Пусть $t = \sqrt{2x - a}$. По определению арифметического квадратного корня, $t \ge 0$.

Тогда $2x - a = t^2$. Подставим новую переменную в исходное неравенство:

$3t^2 + 5at - 2a^2 > 0$.

3. Решение квадратного неравенства относительно $t$

Мы получили квадратное неравенство относительно $t$. Найдём корни соответствующего уравнения $3t^2 + 5at - 2a^2 = 0$.

Дискриминант $D = (5a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2a^2) = 25a^2 + 24a^2 = 49a^2 = (7a)^2$.

Корни уравнения:

$t = \frac{-5a \pm \sqrt{(7a)^2}}{2 \cdot 3} = \frac{-5a \pm |7a|}{6}$.

Решение зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим три случая.

Случай 1: $a > 0$

При $a > 0$, имеем $|a| = a$. Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-5a + 7a}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$

$t_2 = \frac{-5a - 7a}{6} = \frac{-12a}{6} = -2a$

Неравенство $3t^2 + 5at - 2a^2 > 0$ можно записать как $3(t - \frac{a}{3})(t + 2a) > 0$.

Поскольку $a > 0$, то $\frac{a}{3} > 0$ и $-2a < 0$. Ветви параболы $y=3t^2+5at-2a^2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями: $t < -2a$ или $t > \frac{a}{3}$.

Учитывая условие $t \ge 0$, отбрасываем решение $t < -2a$. Остаётся $t > \frac{a}{3}$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{2x - a} > \frac{a}{3}$.

Так как при $a > 0$ обе части неравенства положительны, можно возвести их в квадрат:

$2x - a > \left(\frac{a}{3}\right)^2 \implies 2x - a > \frac{a^2}{9}$

$2x > a + \frac{a^2}{9} \implies 2x > \frac{a^2 + 9a}{9}$

$x > \frac{a^2 + 9a}{18}$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge \frac{a}{2}$), поскольку при $a>0$ выполняется $a^2 > 0 \implies a^2+9a > 9a \implies \frac{a^2+9a}{18} > \frac{9a}{18} = \frac{a}{2}$.

Случай 2: $a < 0$

При $a < 0$, имеем $|a| = -a$. Корни для $t$:

$t_1 = \frac{-5a + 7(-a)}{6} = \frac{-12a}{6} = -2a$

$t_2 = \frac{-5a - 7(-a)}{6} = \frac{2a}{6} = \frac{a}{3}$

Неравенство $3(t + 2a)(t - \frac{a}{3}) > 0$.

Поскольку $a < 0$, то $-2a > 0$ и $\frac{a}{3} < 0$. Решением неравенства является $t < \frac{a}{3}$ или $t > -2a$.

Учитывая условие $t \ge 0$, отбрасываем решение $t < \frac{a}{3}$. Остаётся $t > -2a$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{2x - a} > -2a$.

Так как при $a < 0$ обе части неравенства положительны ($-2a > 0$), можно возвести их в квадрат:

$2x - a > (-2a)^2 \implies 2x - a > 4a^2$

$2x > 4a^2 + a$

$x > \frac{4a^2 + a}{2}$.

Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \ge \frac{a}{2}$), поскольку при $a<0$ выполняется $4a^2 > 0 \implies 4a^2+a > a \implies \frac{4a^2+a}{2} > \frac{a}{2}$.

Случай 3: $a = 0$

При $a = 0$ исходное неравенство принимает вид:

$3(2x) > 0 \implies 6x > 0 \implies x > 0$.

ОДЗ при $a=0$ даёт $x \ge 0$. Таким образом, решение $x > 0$ является верным.

Заметим, что этот результат совпадает с результатом для $a > 0$ при подстановке $a=0$: $x > \frac{0^2 + 9 \cdot 0}{18} \implies x > 0$. Поэтому этот случай можно объединить с первым.

4. Итоговый результат

Объединяем решения для всех случаев:

• При $a \ge 0$, решение: $x > \frac{a^2 + 9a}{18}$.
• При $a < 0$, решение: $x > \frac{4a^2 + a}{2}$.

Ответ: если $a \ge 0$, то $x \in (\frac{a^2 + 9a}{18}, +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (\frac{4a^2 + a}{2}, +\infty)$.

249 Для каждого значения параметра a решите уравнение

$\sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x - 2a(\sin x + \sin 2x + \sin 3x) + \cos x - \cos 3x + 2a^2 = 0.$

Преобразуем данное уравнение. Заметим, что выражение $ \cos x - \cos 3x $ можно упростить, используя формулу разности косинусов:

$ \cos x - \cos 3x = -2 \sin \frac{x+3x}{2} \sin \frac{x-3x}{2} = -2 \sin(2x) \sin(-x) = 2 \sin x \sin 2x $.

Подставим это в исходное уравнение:

$ \sin^2 x + \sin^2 2x + \sin^2 3x - 2a(\sin x + \sin 2x + \sin 3x) + 2 \sin x \sin 2x + 2a^2 = 0 $.

Теперь сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Обратим внимание на члены $ \sin^2 x, \sin^2 2x $ и $ 2 \sin x \sin 2x $.

$ (\sin^2 x + 2 \sin x \sin 2x + \sin^2 2x) + \sin^2 3x - 2a(\sin x + \sin 2x + \sin 3x) + 2a^2 = 0 $.

Первые три слагаемых образуют квадрат суммы:

$ (\sin x + \sin 2x)^2 + \sin^2 3x - 2a(\sin x + \sin 2x) - 2a\sin 3x + 2a^2 = 0 $.

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить квадраты относительно параметра $a$. Представим $2a^2$ как $a^2 + a^2$.

$ [(\sin x + \sin 2x)^2 - 2a(\sin x + \sin 2x) + a^2] + [\sin^2 3x - 2a\sin 3x + a^2] = 0 $.

Это выражение является суммой двух полных квадратов:

$ (\sin x + \sin 2x - a)^2 + (\sin 3x - a)^2 = 0 $.

Сумма квадратов двух действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$ \begin{cases} \sin x + \sin 2x - a = 0 \\ \sin 3x - a = 0 \end{cases} $

Из этой системы следует, что для существования решения необходимо, чтобы выполнялось равенство:

$ \sin x + \sin 2x = \sin 3x $.

Решим это тригонометрическое уравнение:

$ \sin 3x - \sin x - \sin 2x = 0 $.

Применим формулу разности синусов $ \sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2} $ к первым двум членам:

$ 2\sin\frac{3x-x}{2}\cos\frac{3x+x}{2} - \sin 2x = 0 $

$ 2\sin x \cos 2x - \sin 2x = 0 $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:

$ 2\sin x \cos 2x - 2 \sin x \cos x = 0 $

$ 2\sin x (\cos 2x - \cos x) = 0 $.

Это уравнение распадается на два:

1) $ \sin x = 0 $, откуда $ x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \cos 2x - \cos x = 0 $, или $ \cos 2x = \cos x $. Это уравнение равносильно совокупности:

$ \begin{cases} 2x = x + 2n\pi \\ 2x = -x + 2n\pi \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2n\pi \\ 3x = 2n\pi \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2n\pi, n \in \mathbb{Z} \\ x = \frac{2n\pi}{3}, n \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Решения $ x = 2n\pi $ являются частным случаем решений $ x = k\pi $ (при четных $k$).

Итак, множество всех значений $x$, при которых может существовать решение, задается совокупностью $ x = k\pi $ и $ x = \frac{2n\pi}{3} $, где $k, n \in \mathbb{Z} $.

Теперь найдем, каким должно быть значение параметра $a$. Из системы уравнений мы имеем $ a = \sin 3x $. Подставим найденные значения $x$ в это выражение.

Если $ x = k\pi $, то $ a = \sin(3k\pi) = 0 $.

Если $ x = \frac{2n\pi}{3} $, то $ a = \sin(3 \cdot \frac{2n\pi}{3}) = \sin(2n\pi) = 0 $.

В обоих случаях мы получаем, что $ a = 0 $. Это означает, что исходное уравнение может иметь решения только при $ a = 0 $. Если $ a \neq 0 $, то система уравнений, а следовательно, и исходное уравнение, решений не имеют.

Таким образом, получаем окончательный результат.

Ответ:

Если $ a = 0 $, то решениями уравнения являются $ x = k\pi $, $ k \in \mathbb{Z} $, и $ x = \frac{2n\pi}{3} $, $ n \in \mathbb{Z} $.

Если $ a \neq 0 $, то уравнение не имеет решений.

250 При каких значениях параметра $a \ge 1$ уравнение $\sin \left(\frac{4}{13} x\right) \operatorname{tg} x=0$ имеет ровно 6 различных корней на отрезке $[2a\pi; (a^2 + 1)\pi]$? Укажите эти корни.

Исходное уравнение $\sin\left(\frac{4}{13}x\right) \text{tg}\,x = 0$ можно разбить на совокупность двух уравнений при условии, что тангенс определён, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ для всех целых $k$.

1. Нахождение серий решений

Уравнение распадается на два случая:

а) $\text{tg}\,x = 0$.
Решения этого уравнения имеют вид $x = m\pi$, где $m \in \mathbb{Z}$. Все эти решения удовлетворяют области определения тангенса.

б) $\sin\left(\frac{4}{13}x\right) = 0$.
Решения этого уравнения получаем, когда аргумент синуса равен $n\pi$:
$\frac{4}{13}x = n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = \frac{13n\pi}{4}$.
Теперь необходимо проверить условие $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$:
$\frac{13n\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies \frac{13n}{4} \neq \frac{1+2k}{2} \implies 13n \neq 2(1+2k)$.
Правая часть этого неравенства — чётное число, которое не делится на 4. Левая часть $13n$ будет таким числом, если $n$ является чётным числом, не кратным 4 (например, $n = \pm 2, \pm 6, \pm 10, \dots$). Если же $n$ — нечётное число, то $13n$ нечётно, и неравенство всегда выполняется. Если $n$ кратно 4, то $13n$ кратно 4, и неравенство также выполняется. Таким образом, чтобы избежать исключения корней, мы должны рассматривать только те значения $x = \frac{13n\pi}{4}$, для которых $n$ не является чётным, не кратным 4. Проще всего рассмотреть отдельно случаи с чётными и нечётными $n$. Для решения задачи достаточно заметить, что если $n$ — нечётное, то корень всегда существует.

Проверим, могут ли корни этих двух серий совпадать:
$m\pi = \frac{13n\pi}{4} \implies 4m = 13n$.
Так как 4 и 13 — взаимно простые числа, это равенство возможно только если $m$ кратно 13, а $n$ кратно 4. Если мы рассматриваем серию $x = \frac{13n\pi}{4}$ только для нечётных $n$, то пересечений с серией $x = m\pi$ нет.

Итак, мы ищем на отрезке $[2a\pi; (a^2 + 1)\pi]$ корни двух непересекающихся серий:
1. $x_m = m\pi, m \in \mathbb{Z}$
2. $x_n = \frac{13n\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}$ и $n$ — нечётное.

2. Поиск параметра $a$

Найдём количество корней каждого типа на заданном отрезке.
а) Для корней $x_m = m\pi$:
$2a\pi \leq m\pi \leq (a^2 + 1)\pi \implies 2a \leq m \leq a^2 + 1$.
б) Для корней $x_n = \frac{13n\pi}{4}$ (с нечётным $n$):
$2a\pi \leq \frac{13n\pi}{4} \leq (a^2 + 1)\pi \implies \frac{8a}{13} \leq n \leq \frac{4(a^2 + 1)}{13}$.

Нам нужно, чтобы общее число корней было равно 6. Проанализируем ситуацию при целочисленных значениях $a \geq 1$.

• При $a=1$: отрезок $[2\pi, 2\pi]$. Есть один корень $x=2\pi$ ($m=2$). Всего 1 корень.
• При $a=2$: отрезок $[4\pi, 5\pi]$.
  Для $x_m$: $4 \leq m \leq 5$, то есть $m=4, 5$. Два корня.
  Для $x_n$: $\frac{16}{13} \leq n \leq \frac{20}{13} \implies 1,23... \leq n \leq 1,53...$. Нечётных целых $n$ в этом интервале нет. Ноль корней.
  Всего $2+0=2$ корня.
• При $a=3$: отрезок $[6\pi, 10\pi]$.
  Для $x_m$: $6 \leq m \leq 10$, то есть $m=6, 7, 8, 9, 10$. Пять корней.
  Для $x_n$: $\frac{8 \cdot 3}{13} \leq n \leq \frac{4(3^2+1)}{13} \implies \frac{24}{13} \leq n \leq \frac{40}{13} \implies 1,84... \leq n \leq 3,07...$.
  Единственное нечётное целое $n$ в этом интервале — это $n=3$. Один корень.
  Всего $5+1=6$ корней.

Таким образом, значение $a=3$ удовлетворяет условию задачи.

Можно показать, что это решение единственное. Количество корней является неубывающей функцией от $a$. При $a>3$, например $a=4$, отрезок $[8\pi, 17\pi]$, и уже корней вида $x_m=m\pi$ будет $17-8+1=10$, что больше 6. При $a<3$ общее число корней, как показывают расчёты, меньше 6.

Ответ: Уравнение имеет ровно 6 различных корней на указанном отрезке при $a=3$.

Укажите эти корни

При $a=3$ отрезок для поиска корней: $[6\pi, 10\pi]$.
1. Корни вида $x_m = m\pi$:
$m$ принимает целые значения от 6 до 10.
Корни: $6\pi, 7\pi, 8\pi, 9\pi, 10\pi$.
2. Корни вида $x_n = \frac{13n\pi}{4}$ (где $n$ нечётное):
Как было найдено, единственное подходящее значение $n=3$.
Корень: $x = \frac{13 \cdot 3 \pi}{4} = \frac{39\pi}{4}$.
Проверим, что корень $x = \frac{39\pi}{4} = 9,75\pi$ лежит в отрезке $[6\pi, 10\pi]$, что верно.

Ответ: Корни уравнения: $6\pi, 7\pi, 8\pi, 9\pi, 10\pi, \frac{39\pi}{4}$.

251 При каких значениях параметра $a$ имеет единственное решение уравнение $|2x + 6| + |2x - 8| = ax + 12$?

Для решения данного уравнения с параметром воспользуемся графическим методом. Перепишем уравнение в виде равенства двух функций:

$f(x) = g(x)$, где $f(x) = |2x + 6| + |2x - 8|$ и $g(x) = ax + 12$.

Количество решений исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Нам нужно найти такие значения параметра $a$, при которых графики имеют ровно одну общую точку.

1. Построение графика функции $y = f(x) = |2x + 6| + |2x - 8|$

Для раскрытия модулей найдем нули подмодульных выражений:

$2x + 6 = 0 \implies x = -3$

$2x - 8 = 0 \implies x = 4$

Эти точки делят числовую ось на три промежутка. Раскроем модули на каждом из них:

• При $x < -3$: оба подмодульных выражения отрицательны.
  $f(x) = -(2x + 6) - (2x - 8) = -2x - 6 - 2x + 8 = -4x + 2$.
• При $-3 \le x \le 4$: первое выражение неотрицательно, второе — отрицательно.
  $f(x) = (2x + 6) - (2x - 8) = 2x + 6 - 2x + 8 = 14$.
• При $x > 4$: оба подмодульных выражения положительны.
  $f(x) = (2x + 6) + (2x - 8) = 2x + 6 + 2x - 8 = 4x - 2$.

Таким образом, функция $f(x)$ задается кусочно-линейно:

$f(x) = \begin{cases} -4x + 2, & \text{если } x < -3 \\ 14, & \text{если } -3 \le x \le 4 \\ 4x - 2, & \text{если } x > 4 \end{cases}$

График функции $f(x)$ состоит из двух лучей и горизонтального отрезка. "Угловые" точки графика (вершины) находятся при $x=-3$ и $x=4$:

$f(-3) = -4(-3) + 2 = 14$. Вершина $A(-3, 14)$.

$f(4) = 4(4) - 2 = 14$. Вершина $B(4, 14)$.

2. Анализ графика функции $y = g(x) = ax + 12$

График функции $g(x)$ — это прямая с угловым коэффициентом (наклоном) $a$. При любом значении $a$ эта прямая проходит через точку $(0, 12)$, так как $g(0) = a \cdot 0 + 12 = 12$. Обозначим эту точку $P(0, 12)$.

Таким образом, задача сводится к нахождению таких угловых коэффициентов $a$, при которых прямая, вращающаяся вокруг точки $P(0, 12)$, пересекает график функции $f(x)$ ровно в одной точке.

3. Графический анализ пересечений

Точка $P(0, 12)$ лежит ниже горизонтального участка графика $f(x)$ (который находится на высоте $y=14$).

Рассмотрим "граничные" положения прямой $y = ax+12$:

• Прямая проходит через вершину $A(-3, 14)$.
  Подставим координаты точки $A$ в уравнение прямой: $14 = a(-3) + 12 \implies 2 = -3a \implies a = -2/3$. При таком $a$ прямая имеет ровно одну общую точку с графиком $f(x)$ — точку $A$.
• Прямая проходит через вершину $B(4, 14)$.
  Подставим координаты точки $B$: $14 = a(4) + 12 \implies 2 = 4a \implies a = 1/2$. При таком $a$ прямая имеет ровно одну общую точку с графиком $f(x)$ — точку $B$.
• Прямая параллельна левому лучу графика $f(x)$.
  Угловой коэффициент левого луча $(y = -4x+2)$ равен $-4$. Значит, $a = -4$. Прямая $y=-4x+12$ не совпадает с лучом $y=-4x+2$. Она пересечет горизонтальный участок $y=14$ в точке, где $-4x+12=14 \implies -4x=2 \implies x=-1/2$. Так как $-3 \le -1/2 \le 4$, это единственная точка пересечения.
• Прямая параллельна правому лучу графика $f(x)$.
  Угловой коэффициент правого луча $(y = 4x-2)$ равен $4$. Значит, $a = 4$. Прямая $y=4x+12$ не совпадает с лучом $y=4x-2$. Она пересечет горизонтальный участок $y=14$ в точке, где $4x+12=14 \implies 4x=2 \implies x=1/2$. Так как $-3 \le 1/2 \le 4$, это единственная точка пересечения.

Теперь проанализируем количество решений в зависимости от значения $a$, основываясь на этих граничных случаях:

• При $a \in (-\infty, -4)$, прямая имеет больший по модулю отрицательный наклон, чем левый луч. Она пересечет только горизонтальный участок $y=14$. Одно решение.
• При $a = -4$, как мы выяснили, одно решение.
• При $a \in (-4, -2/3)$, прямая пересекает и левый луч, и горизонтальный участок. Два решения.
• При $a = -2/3$, прямая проходит через точку $A$. Одно решение.
• При $a \in (-2/3, 1/2)$, прямая проходит "под" графиком $f(x)$ и не имеет с ним общих точек. Нет решений.
• При $a = 1/2$, прямая проходит через точку $B$. Одно решение.
• При $a \in (1/2, 4)$, прямая пересекает и горизонтальный участок, и правый луч. Два решения.
• При $a = 4$, как мы выяснили, одно решение.
• При $a \in (4, \infty)$, прямая имеет больший наклон, чем правый луч. Она пересечет только горизонтальный участок $y=14$. Одно решение.

Объединяя все случаи, когда уравнение имеет единственное решение, получаем:

$a \in (-\infty, -4] \cup \{-2/3\} \cup \{1/2\} \cup [4, \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, -4] \cup \{-2/3\} \cup \{1/2\} \cup [4, \infty)$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств имеет единственное решение (252—253):

252 $\begin{cases} ax^2 - 2(a+1)x + a+5 \leq 0 \\ (a+1)x^2 - 2(a+2)x + a+2 \geq 0 \end{cases}$

252

Запишем систему неравенств:$$ \begin{cases} ax^2 - 2(a + 1)x + a + 5 \le 0 & (1) \\ (a + 1)x^2 - 2(a + 2)x + a + 2 \ge 0 & (2) \end{cases} $$Система должна иметь единственное решение.Обозначим левые части неравенств как функции от $x$:$f(x) = ax^2 - 2(a + 1)x + a + 5$$g(x) = (a + 1)x^2 - 2(a + 2)x + a + 2$Система имеет вид:$$ \begin{cases} f(x) \le 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases} $$Рассмотрим особые случаи, когда коэффициенты при $x^2$ обращаются в ноль.

Случай 1: $a = 0$
Система принимает вид:$$ \begin{cases} -2x + 5 \le 0 \\ x^2 - 4x + 2 \ge 0 \end{cases} $$Из первого неравенства: $2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$.Второе неравенство: $x^2 - 4x + 2 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 4x + 2 = 0$ равны $x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty, 2-\sqrt{2}] \cup [2+\sqrt{2}, \infty)$.Поскольку $2.5 < 2+\sqrt{2}$ (так как $0.5 < \sqrt{2}$), пересечение решений двух неравенств дает $x \in [2+\sqrt{2}, \infty)$, что является бесконечным множеством решений. Следовательно, $a=0$ не подходит.

Случай 2: $a = -1$
Система принимает вид:$$ \begin{cases} -x^2 + 4 \le 0 \\ -2x + 1 \ge 0 \end{cases} $$Из первого неравенства: $x^2 \ge 4 \implies x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.Из второго неравенства: $2x \le 1 \implies x \le 0.5$.Пересечение решений: $x \in (-\infty, -2]$. Это бесконечное множество решений. Следовательно, $a=-1$ не подходит.

Случай 3: $a \ne 0$ и $a \ne -1$
Оба неравенства являются квадратными. Единственное решение возможно в двух основных ситуациях:1) Множество решений одного из неравенств состоит из одной точки, и эта точка удовлетворяет второму неравенству.2) Множества решений неравенств — это промежутки, которые "касаются" друг друга в одной точке. Это происходит, если уравнения $f(x)=0$ и $g(x)=0$ имеют общий корень, и параболы расположены определённым образом.

Подслучай 3.1: Множество решений одного из неравенств — одна точка.

а) Для неравенства $f(x) \le 0$ решение будет единственной точкой, если парабола $y=f(x)$ касается оси абсцисс в своей вершине и ее ветви направлены вверх. Это требует выполнения условий:Коэффициент при $x^2$: $a > 0$.Дискриминант $D_f = 0$.$D_f/4 = (a+1)^2 - a(a+5) = a^2+2a+1 - a^2-5a = 1-3a$.$1-3a = 0 \implies a = 1/3$.Это значение удовлетворяет условию $a > 0$. При $a=1/3$ неравенство $f(x) \le 0$ имеет единственное решение $x = -\frac{-2(a+1)}{2a} = \frac{a+1}{a} = \frac{1/3+1}{1/3} = 4$.Проверим, удовлетворяет ли $x=4$ второму неравенству при $a=1/3$:$g(4) = (1/3+1) \cdot 4^2 - 2(1/3+2) \cdot 4 + 1/3+2 = \frac{4}{3} \cdot 16 - 2 \cdot \frac{7}{3} \cdot 4 + \frac{7}{3} = \frac{64}{3} - \frac{56}{3} + \frac{7}{3} = \frac{15}{3} = 5$.$5 \ge 0$ — верно.Следовательно, при $a=1/3$ система имеет единственное решение $x=4$.

б) Для неравенства $g(x) \ge 0$ решение будет единственной точкой, если парабола $y=g(x)$ касается оси абсцисс в своей вершине и ее ветви направлены вниз.Коэффициент при $x^2$: $a+1 < 0 \implies a < -1$.Дискриминант $D_g = 0$.$D_g/4 = (a+2)^2 - (a+1)(a+2) = (a+2)(a+2 - a - 1) = a+2$.$a+2=0 \implies a=-2$.Это значение удовлетворяет условию $a < -1$. При $a=-2$ неравенство $g(x) \ge 0$ имеет единственное решение $x = \frac{a+2}{a+1} = \frac{-2+2}{-2+1} = 0$.Проверим, удовлетворяет ли $x=0$ первому неравенству при $a=-2$:$f(0) = a \cdot 0^2 - 2(a+1) \cdot 0 + a+5 = a+5 = -2+5 = 3$.$3 \le 0$ — неверно.Следовательно, $a=-2$ не подходит.

Подслучай 3.2: Уравнения $f(x)=0$ и $g(x)=0$ имеют общий корень.

Если $x_0$ — общий корень, то $f(x_0)=0$ и $g(x_0)=0$. Тогда и разность этих выражений равна нулю:$g(x_0) - f(x_0) = 0$.$((a+1)x_0^2 - 2(a+2)x_0 + a+2) - (ax_0^2 - 2(a+1)x_0 + a+5) = 0$$x_0^2 - 2x_0 - 3 = 0$$(x_0-3)(x_0+1) = 0$.Следовательно, общие корни могут быть только $x_0=3$ или $x_0=-1$.

а) Пусть общий корень $x_0 = 3$. Подставим его в $f(x)=0$:$f(3) = a \cdot 3^2 - 2(a+1) \cdot 3 + a+5 = 9a - 6a - 6 + a + 5 = 4a - 1 = 0 \implies a = 1/4$.При $a=1/4$: $a > 0$ и $a+1 > 0$, обе параболы ветвями вверх.$f(x) \le 0$: корни $f(x)=0$ — это $x=3$ и $x = \frac{a+5}{a \cdot 3} = \frac{1/4+5}{1/4 \cdot 3} = \frac{21/4}{3/4} = 7$. Решение: $x \in [3, 7]$.$g(x) \ge 0$: один корень $x=3$. Найдем второй корень из произведения корней $x_1 x_2 = \frac{a+2}{a+1} = \frac{1/4+2}{1/4+1} = \frac{9/4}{5/4} = 9/5 = 1.8$. Корни $1.8$ и $3$. Решение: $x \in (-\infty, 1.8] \cup [3, \infty)$.Пересечение множеств решений $[3, 7]$ и $(-\infty, 1.8] \cup [3, \infty)$ дает $[3, 7]$. Это бесконечное множество. Значит, $a=1/4$ не подходит.

б) Пусть общий корень $x_0 = -1$. Подставим его в $f(x)=0$:$f(-1) = a(-1)^2 - 2(a+1)(-1) + a+5 = a + 2a + 2 + a + 5 = 4a + 7 = 0 \implies a = -7/4$.При $a=-7/4$: $a < 0$ и $a+1 = -3/4 < 0$. Обе параболы ветвями вниз.$f(x) \le 0$: парабола ветвями вниз. Решение находится вне корней. Один корень $x=-1$. Второй корень из произведения $x_1 x_2 = \frac{a+5}{a} = \frac{-7/4+5}{-7/4} = \frac{13/4}{-7/4} = -13/7$. Другой корень $13/7$.Решение $f(x) \le 0$: $x \in (-\infty, -1] \cup [13/7, \infty)$.$g(x) \ge 0$: парабола ветвями вниз. Решение находится между корнями. Один корень $x=-1$. Второй корень из произведения $x_1 x_2 = \frac{a+2}{a+1} = \frac{-7/4+2}{-7/4+1} = \frac{1/4}{-3/4} = -1/3$. Другой корень $1/3$.Решение $g(x) \ge 0$: $x \in [-1, 1/3]$.Найдем пересечение множеств решений:$((-\infty, -1] \cup [13/7, \infty)) \cap [-1, 1/3]$.Пересечение $[-1, 1/3]$ с $(-\infty, -1]$ дает точку $\{-1\}$.Пересечение $[-1, 1/3]$ с $[13/7, \infty)$ пусто, так как $1/3 < 13/7$.Таким образом, система имеет единственное решение $x=-1$. Значит, $a=-7/4$ подходит.

Объединяя все найденные значения, получаем ответ.
Ответ: $a = -7/4, a = 1/3$.

253 $$ \begin{cases} x^3 - (a+3)x^2 + (3a+2)x - 2a \ge 0 \\ x^3 - (a+3)x^2 + 3ax \le 0. \end{cases} $$

Для решения данной системы неравенств сначала упростим каждое неравенство.

Первое неравенство: $x^3 - (a+3)x^2 + (3a+2)x - 2a \ge 0$

Обозначим левую часть как многочлен $P(x) = x^3 - (a+3)x^2 + (3a+2)x - 2a$. Попробуем найти его корни. Заметим, что коэффициенты многочлена содержат параметр $a$. Попробуем подставить значения $x$, которые могут упростить выражение.
При $x=1$: $1^3 - (a+3)1^2 + (3a+2)1 - 2a = 1 - a - 3 + 3a + 2 - 2a = (1-3+2) + (-a+3a-2a) = 0$.
Следовательно, $x=1$ является корнем многочлена при любом значении $a$.
При $x=2$: $2^3 - (a+3)2^2 + (3a+2)2 - 2a = 8 - 4(a+3) + 2(3a+2) - 2a = 8 - 4a - 12 + 6a + 4 - 2a = (8-12+4) + (-4a+6a-2a) = 0$.
Следовательно, $x=2$ также является корнем многочлена.
Так как мы нашли два корня многочлена третьей степени, мы можем найти и третий корень. По теореме Виета, произведение корней $x_1x_2x_3$ равно свободному члену с противоположным знаком, то есть $-(-2a) = 2a$.
Имеем $1 \cdot 2 \cdot x_3 = 2a$, откуда $x_3 = a$.
Таким образом, корни многочлена $P(x)$ это $1, 2, a$. Неравенство можно переписать в виде:
$(x-1)(x-2)(x-a) \ge 0$.

Второе неравенство: $x^3 - (a+3)x^2 + 3ax \le 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - (a+3)x + 3a) \le 0$.
Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 - (a+3)x + 3a$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна $a+3$, а их произведение равно $3a$. Легко подобрать корни: это $3$ и $a$.
Действительно, $3+a = a+3$ и $3 \cdot a = 3a$.
Таким образом, второе неравенство можно переписать в виде:
$x(x-3)(x-a) \le 0$.

Исходная система неравенств эквивалентна следующей:

$$\begin{cases}(x-1)(x-2)(x-a) \ge 0 \\x(x-3)(x-a) \le 0\end{cases}$$

Решение системы зависит от взаимного расположения корней $0, 1, 2, 3, a$ на числовой оси. Это определяется значением параметра $a$. Рассмотрим все возможные случаи.

1. Случай $a < 0$
Корни первого неравенства в порядке возрастания: $a, 1, 2$. Решение: $x \in [a, 1] \cup [2, \infty)$.
Корни второго неравенства в порядке возрастания: $a, 0, 3$. Решение: $x \in (-\infty, a] \cup [0, 3]$.
Пересечение решений: $([a, 1] \cup [2, \infty)) \cap ((-\infty, a] \cup [0, 3]) = \{a\} \cup [0, 1] \cup [2, 3]$.

2. Случай $a=0$
Система принимает вид:$$\begin{cases}x(x-1)(x-2) \ge 0 \\x^2(x-3) \le 0\end{cases}$$
Решение первого неравенства: $x \in [0, 1] \cup [2, \infty)$.
Решение второго неравенства ($x^2 \ge 0$ всегда): $x-3 \le 0$ или $x=0$, т.е. $x \in (-\infty, 3]$.
Пересечение: $([0, 1] \cup [2, \infty)) \cap (-\infty, 3] = [0, 1] \cup [2, 3]$.

3. Случай $0 < a < 1$
Корни первого неравенства: $a, 1, 2$. Решение: $x \in [a, 1] \cup [2, \infty)$.
Корни второго неравенства: $0, a, 3$. Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [a, 3]$.
Пересечение: $([a, 1] \cup [2, \infty)) \cap ((-\infty, 0] \cup [a, 3]) = [a, 1] \cup [2, 3]$.

4. Случай $a=1$
Система принимает вид:$$\begin{cases}(x-1)^2(x-2) \ge 0 \\x(x-1)(x-3) \le 0\end{cases}$$
Решение первого неравенства ($ (x-1)^2 \ge 0 $ всегда): $x-2 \ge 0$ или $x=1$, т.е. $x \in \{1\} \cup [2, \infty)$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [1, 3]$.
Пересечение: $(\{1\} \cup [2, \infty)) \cap ((-\infty, 0] \cup [1, 3]) = \{1\} \cup [2, 3]$.

5. Случай $1 < a < 2$
Корни первого неравенства: $1, a, 2$. Решение: $x \in [1, a] \cup [2, \infty)$.
Корни второго неравенства: $0, a, 3$. Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [a, 3]$.
Пересечение: $([1, a] \cup [2, \infty)) \cap ((-\infty, 0] \cup [a, 3]) = \{a\} \cup [2, 3]$.

6. Случай $a=2$
Система принимает вид:$$\begin{cases}(x-1)(x-2)^2 \ge 0 \\x(x-2)(x-3) \le 0\end{cases}$$
Решение первого неравенства ($(x-2)^2 \ge 0$ всегда): $x-1 \ge 0$ или $x=2$, т.е. $x \in [1, \infty)$.
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3]$.
Пересечение: $[1, \infty) \cap ((-\infty, 0] \cup [2, 3]) = [2, 3]$.

7. Случай $2 < a < 3$
Корни первого неравенства: $1, 2, a$. Решение: $x \in [1, 2] \cup [a, \infty)$.
Корни второго неравенства: $0, a, 3$. Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [a, 3]$.
Пересечение: $([1, 2] \cup [a, \infty)) \cap ((-\infty, 0] \cup [a, 3]) = [a, 3]$.

8. Случай $a=3$
Система принимает вид:$$\begin{cases}(x-1)(x-2)(x-3) \ge 0 \\x(x-3)^2 \le 0\end{cases}$$
Решение первого неравенства: $x \in [1, 2] \cup [3, \infty)$.
Решение второго неравенства ($(x-3)^2 \ge 0$ всегда): $x \le 0$ или $x=3$, т.е. $x \in (-\infty, 0] \cup \{3\}$.
Пересечение: $([1, 2] \cup [3, \infty)) \cap ((-\infty, 0] \cup \{3\}) = \{3\}$.

9. Случай $a > 3$
Корни первого неравенства: $1, 2, a$. Решение: $x \in [1, 2] \cup [a, \infty)$.
Корни второго неравенства: $0, 3, a$. Решение: $x \in (-\infty, 0] \cup [3, a]$.
Пересечение: $([1, 2] \cup [a, \infty)) \cap ((-\infty, 0] \cup [3, a]) = \{a\}$.

Ответ:
при $a < 0$: $x \in \{a\} \cup [0, 1] \cup [2, 3]$;
при $a = 0$: $x \in [0, 1] \cup [2, 3]$;
при $a \in (0, 1)$: $x \in [a, 1] \cup [2, 3]$;
при $a = 1$: $x \in \{1\} \cup [2, 3]$;
при $a \in (1, 2)$: $x \in \{a\} \cup [2, 3]$;
при $a = 2$: $x \in [2, 3]$;
при $a \in (2, 3)$: $x \in [a, 3]$;
при $a = 3$: $x = 3$;
при $a > 3$: $x = a$.

254 Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$ \begin{cases} \sin x = \cos(\sqrt{6 - 2a^2x}) \\ \cos x = \left(a - \frac{2}{3}\right) \sin(\sqrt{6 - 2a^2x}) \end{cases} $

имеет ровно одно решение на отрезке $ [0; 2\pi] $.

Обозначим $y = \sqrt{6 - 2a^2x}$. Исходная система уравнений примет вид:

$\begin{cases} \sin x = \cos y \\ \cos x = \left(a - \frac{2}{3}\right) \sin y \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $6 - 2a^2x \ge 0$, что равносильно $a^2x \le 3$. Также по условию $x \in [0; 2\pi]$.

Возведем оба уравнения системы в квадрат и сложим их:

$\sin^2 x + \cos^2 x = \cos^2 y + \left(a - \frac{2}{3}\right)^2 \sin^2 y$

$1 = \cos^2 y + \left(a - \frac{2}{3}\right)^2 \sin^2 y$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$, получим:

$1 = 1 - \sin^2 y + \left(a - \frac{2}{3}\right)^2 \sin^2 y$

$0 = \sin^2 y \left( \left(a - \frac{2}{3}\right)^2 - 1 \right)$

Это уравнение означает, что для любого решения системы должно выполняться хотя бы одно из двух условий: $\sin y = 0$ или $\left(a - \frac{2}{3}\right)^2 - 1 = 0$. Рассмотрим эти случаи.

Это уравнение равносильно $\left(a - \frac{2}{3}\right)^2 = 1$, откуда $a - \frac{2}{3} = 1$ или $a - \frac{2}{3} = -1$.

Получаем два значения для параметра $a$: $a_1 = \frac{5}{3}$ и $a_2 = -\frac{1}{3}$.

Подслучай 1.1: $a = \frac{5}{3}$

При этом значении $a$ система принимает вид:

$\begin{cases} \sin x = \cos y \\ \cos x = \sin y \end{cases}$

где $y = \sqrt{6 - 2\left(\frac{5}{3}\right)^2 x} = \sqrt{6 - \frac{50}{9}x}$.

Эта система равносильна тому, что $\cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - y\right)$ и $\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - y\right)$, что выполняется тогда и только тогда, когда $x = \frac{\pi}{2} - y + 2k\pi$ для некоторого целого $k$.

Отсюда $y = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi$.

Поскольку $y \ge 0$ и $x \in [0; 2\pi]$, возможны только $k \ge 0$.

ОДЗ для $x$: $6 - \frac{50}{9}x \ge 0 \Rightarrow x \le \frac{54}{50} = \frac{27}{25}$. Таким образом, мы ищем решения на отрезке $[0; \frac{27}{25}]$.

Рассмотрим $k=0$: $y = \frac{\pi}{2} - x$. Так как $x \le \frac{27}{25} \approx 1.08$, а $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$, то $y > 0$ на данном отрезке.

Подставляем в выражение для $y$: $\left(\frac{\pi}{2} - x\right)^2 = 6 - \frac{50}{9}x$.

Рассмотрим функции $f(x) = \left(\frac{\pi}{2} - x\right)^2$ и $g(x) = 6 - \frac{50}{9}x$ на отрезке $[0; \frac{27}{25}]$.

При $x=0$: $f(0) = \frac{\pi^2}{4} \approx 2.47$, $g(0) = 6$. Имеем $f(0) < g(0)$.

При $x=\frac{27}{25}$: $f\left(\frac{27}{25}\right) = \left(\frac{\pi}{2} - \frac{27}{25}\right)^2 > 0$, $g\left(\frac{27}{25}\right) = 6 - \frac{50}{9}\cdot\frac{27}{25} = 6 - 6 = 0$. Имеем $f\left(\frac{27}{25}\right) > g\left(\frac{27}{25}\right)$.

Функция $h(x) = f(x) - g(x) = x^2 - \left(\pi - \frac{50}{9}\right)x + \left(\frac{\pi^2}{4}-6\right)$ непрерывна на $[0; \frac{27}{25}]$, причем $h(0)<0$ и $h(\frac{27}{25})>0$. Её производная $h'(x) = 2x - \pi + \frac{50}{9} = 2x + \left(\frac{50}{9} - \pi\right) > 0$ на отрезке $[0; \frac{27}{25}]$, так как $\frac{50}{9} - \pi \approx 5.56 - 3.14 > 0$. Следовательно, функция $h(x)$ строго возрастает, а значит, имеет ровно один корень. Таким образом, при $k=0$ есть ровно одно решение.

Рассмотрим $k \ge 1$: $y = \frac{\pi}{2} - x + 2k\pi$. Левая часть уравнения $(y(x))^2 = g(x)$ возрастает с ростом $k$. Уже при $k=1$, $y = \frac{5\pi}{2} - x$. На отрезке $[0; \frac{27}{25}]$, $y(x) \ge \frac{5\pi}{2} - \frac{27}{25} > \frac{5 \cdot 3}{2} - 1.08 = 6.42$. Тогда $y(x)^2 > 6.42^2 > 41$. А правая часть $g(x) = 6 - \frac{50}{9}x \le 6$. Очевидно, что $y(x)^2 > g(x)$, и решений нет. Тем более решений не будет при $k>1$.

Следовательно, при $a=\frac{5}{3}$ система имеет ровно одно решение.

Подслучай 1.2: $a = -\frac{1}{3}$

При этом значении $a$ система принимает вид:

$\begin{cases} \sin x = \cos y \\ \cos x = -\sin y \end{cases}$

где $y = \sqrt{6 - 2\left(-\frac{1}{3}\right)^2 x} = \sqrt{6 - \frac{2}{9}x}$.

Эта система равносильна $\sin x = \sin\left(\frac{\pi}{2}+y\right)$ и $\cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2}+y\right)$, что выполняется тогда и только тогда, когда $x = \frac{\pi}{2} + y + 2k\pi$ для некоторого целого $k$.

Отсюда $y = x - \frac{\pi}{2} - 2k\pi$.

Поскольку $y \ge 0$ и $x \in [0; 2\pi]$, возможны только $k \le 0$.

ОДЗ для $x$: $6 - \frac{2}{9}x \ge 0 \Rightarrow x \le 27$. Это условие выполняется для всех $x \in [0; 2\pi]$.

Рассмотрим $k=0$: $y = x - \frac{\pi}{2}$. Условие $y \ge 0$ требует $x \ge \frac{\pi}{2}$. Ищем решения на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$.

Уравнение: $\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2 = 6 - \frac{2}{9}x$.

Рассмотрим функции $f(x) = \left(x - \frac{\pi}{2}\right)^2$ и $g(x) = 6 - \frac{2}{9}x$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$.

Функция $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает на этом отрезке.

При $x=\frac{\pi}{2}$: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, $g\left(\frac{\pi}{2}\right) = 6 - \frac{\pi}{9} > 0$. Имеем $f < g$.

При $x=2\pi$: $f(2\pi) = \left(\frac{3\pi}{2}\right)^2 = \frac{9\pi^2}{4} \approx 22.2$, $g(2\pi) = 6 - \frac{4\pi}{9} \approx 4.6$. Имеем $f > g$.

Так как $f(x)$ непрерывно возрастает, а $g(x)$ непрерывно убывает на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$, и на концах отрезка $f<g$ и $f>g$, существует ровно одно решение.

Рассмотрим $k=-1$: $y = x - \frac{\pi}{2} + 2\pi = x + \frac{3\pi}{2}$. Условие $y \ge 0$ выполнено для всех $x \in [0; 2\pi]$.

Уравнение: $\left(x + \frac{3\pi}{2}\right)^2 = 6 - \frac{2}{9}x$.

На отрезке $[0; 2\pi]$ левая часть $f(x) = \left(x + \frac{3\pi}{2}\right)^2$ возрастает. Ее минимальное значение $f(0) = \frac{9\pi^2}{4} \approx 22.2$. Правая часть $g(x) = 6 - \frac{2}{9}x$ убывает. Ее максимальное значение $g(0)=6$. Так как $f(x) > g(x)$ на всем отрезке, решений нет.

При $k \le -2$ левая часть будет еще больше, и решений также не будет.

Следовательно, при $a=-\frac{1}{3}$ система имеет ровно одно решение.

Условие $\left(a - \frac{2}{3}\right)^2 - 1 \neq 0$ означает, что $a \neq \frac{5}{3}$ и $a \neq -\frac{1}{3}$.

Если $\sin y = 0$, то $y = k\pi$ для некоторого целого $k \ge 0$.

Исходная система принимает вид:

$\begin{cases} \sin x = \cos(k\pi) = (-1)^k \\ \cos x = 0 \end{cases}$

Из $\cos x = 0$ на отрезке $[0; 2\pi]$ следует $x = \frac{\pi}{2}$ или $x = \frac{3\pi}{2}$.

Подслучай 2.1: $x = \frac{\pi}{2}$

При $x = \frac{\pi}{2}$ имеем $\sin x = 1$. Тогда из первого уравнения системы $(-1)^k = 1$, что возможно только для четных $k$. Пусть $k=2m$, где $m \ge 0$ - целое.

Итак, $y=2m\pi$. Подставляем в определение $y$:

$\sqrt{6 - 2a^2\left(\frac{\pi}{2}\right)} = 2m\pi$

$6 - a^2\pi = 4m^2\pi^2$

$a^2\pi = 6 - 4m^2\pi^2$

$a^2 = \frac{6 - 4m^2\pi^2}{\pi}$

Поскольку $a^2 \ge 0$, требуется $6 - 4m^2\pi^2 \ge 0 \Rightarrow m^2 \le \frac{6}{4\pi^2} = \frac{3}{2\pi^2}$.

Так как $\pi^2 \approx 9.87$, то $2\pi^2 \approx 19.74$, и $\frac{3}{2\pi^2} < 1$. Единственное неотрицательное целое $m$, удовлетворяющее этому условию, это $m=0$.

При $m=0$ получаем $a^2 = \frac{6}{\pi}$. Отсюда $a = \pm\sqrt{\frac{6}{\pi}}$. Эти значения не равны $\frac{5}{3}$ или $-\frac{1}{3}$, поэтому они удовлетворяют условию этого случая.

Подслучай 2.2: $x = \frac{3\pi}{2}$

При $x = \frac{3\pi}{2}$ имеем $\sin x = -1$. Тогда из первого уравнения системы $(-1)^k = -1$, что возможно только для нечетных $k$. Пусть $k=2m+1$, где $m \ge 0$ - целое.

Итак, $y=(2m+1)\pi$. Подставляем в определение $y$:

$\sqrt{6 - 2a^2\left(\frac{3\pi}{2}\right)} = (2m+1)\pi$

$6 - 3a^2\pi = (2m+1)^2\pi^2$

$a^2 = \frac{6 - (2m+1)^2\pi^2}{3\pi}$

Поскольку $a^2 \ge 0$, требуется $6 - (2m+1)^2\pi^2 \ge 0 \Rightarrow (2m+1)^2 \le \frac{6}{\pi^2}$.

Так как $\pi^2 \approx 9.87$, то $\frac{6}{\pi^2} < 1$. Не существует целого $m \ge 0$, удовлетворяющего этому условию.

Таким образом, для $a$, не равных $\frac{5}{3}$ и $-\frac{1}{3}$, единственным возможным решением является $x=\frac{\pi}{2}$, и это решение существует только при $a = \pm\sqrt{\frac{6}{\pi}}$. При этих значениях $a$ система имеет ровно одно решение.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем все искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a \in \left\{-\sqrt{\frac{6}{\pi}}, -\frac{1}{3}, \frac{5}{3}, \sqrt{\frac{6}{\pi}}\right\}$.

255 а) Сумма десяти чисел равна нулю, и сумма их попарных произведений равна нулю. Чему равна сумма кубов этих чисел?

б) Сумма двенадцати чисел равна нулю, и сумма их попарных произведений равна нулю. Чему равна сумма четвёртых степеней этих чисел?

а) Пусть даны десять чисел $x_1, x_2, \dots, x_{10}$.

Согласно условию задачи, сумма этих чисел равна нулю. Запишем это математически:

$ \sum_{i=1}^{10} x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_{10} = 0 $

Также по условию, сумма их попарных произведений равна нулю:

$ \sum_{1 \le i < j \le 10} x_i x_j = 0 $

Для решения задачи воспользуемся известным алгебраическим тождеством, которое связывает квадрат суммы чисел, сумму их квадратов и сумму их попарных произведений:

$ \left(\sum_{i=1}^{n} x_i\right)^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le n} x_i x_j $

Подставим в это тождество данные из условия для $n=10$:

$ (0)^2 = \sum_{i=1}^{10} x_i^2 + 2 \cdot (0) $

Из этого уравнения следует, что сумма квадратов этих десяти чисел также равна нулю:

$ \sum_{i=1}^{10} x_i^2 = x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{10}^2 = 0 $

Если предположить, что данные числа являются действительными (вещественными), то квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть $x_i^2 \ge 0$. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Таким образом, мы можем заключить, что $x_i^2 = 0$ для всех $i$ от 1 до 10, а это означает, что и сами числа равны нулю: $x_i = 0$ для всех $i$.

Следовательно, все десять чисел равны нулю. Тогда и сумма их кубов будет равна нулю:

$ \sum_{i=1}^{10} x_i^3 = \sum_{i=1}^{10} 0^3 = 0 $

Ответ: 0

б) Пусть даны двенадцать чисел $x_1, x_2, \dots, x_{12}$.

Условия задачи аналогичны предыдущему пункту:

Сумма чисел равна нулю: $ \sum_{i=1}^{12} x_i = 0 $

Сумма попарных произведений равна нулю: $ \sum_{1 \le i < j \le 12} x_i x_j = 0 $

Применим то же самое тождество для квадрата суммы, что и в пункте а), но теперь для $n=12$:

$ \left(\sum_{i=1}^{12} x_i\right)^2 = \sum_{i=1}^{12} x_i^2 + 2 \sum_{1 \le i < j \le 12} x_i x_j $

Подставим известные значения:

$ (0)^2 = \sum_{i=1}^{12} x_i^2 + 2 \cdot (0) $

Отсюда получаем, что сумма квадратов этих двенадцати чисел равна нулю:

$ \sum_{i=1}^{12} x_i^2 = x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_{12}^2 = 0 $

Рассуждая аналогично пункту а), если числа действительные, то из равенства суммы их квадратов нулю следует, что каждое из чисел равно нулю: $x_i = 0$ для всех $i$ от 1 до 12.

Соответственно, сумма четвёртых степеней этих чисел также будет равна нулю:

$ \sum_{i=1}^{12} x_i^4 = \sum_{i=1}^{12} 0^4 = 0 $

Ответ: 0

256 Старинная задача. У торговца имеется два бочонка вина: ёмкостью 40 л, ценою 7 р. за литр, и ёмкостью 10 л, ценою 5 р. за литр. По какому одинаковому количеству вина надо взять из каждого бочонка и перелить в другой бочонок, чтобы цена вина за литр в двух бочонках сравнялась?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это одинаковое количество вина в литрах, которое нужно взять из каждого бочонка и перелить в другой.

Исходные данные:

• Первый бочонок: объем 40 л, цена 7 р. за литр. Общая стоимость вина: $40 \text{ л} \times 7 \text{ р./л} = 280 \text{ р.}$
• Второй бочонок: объем 10 л, цена 5 р. за литр. Общая стоимость вина: $10 \text{ л} \times 5 \text{ р./л} = 50 \text{ р.}$

Процесс переливания:

Из первого бочонка забирают $x$ литров вина стоимостью $7x$ р. и добавляют в него $x$ литров вина из второго бочонка стоимостью $5x$ р.

Из второго бочонка забирают $x$ литров вина стоимостью $5x$ р. и добавляют в него $x$ литров вина из первого бочонка стоимостью $7x$ р.

Состояние после переливания:

• Первый бочонок:
  • Объем вина останется прежним: $40 - x + x = 40$ л.
  • Новая общая стоимость вина: $280 - 7x + 5x = 280 - 2x$ р.
  • Новая цена за литр: $P_1 = \frac{280 - 2x}{40}$ р./л.
• Второй бочонок:
  • Объем вина останется прежним: $10 - x + x = 10$ л.
  • Новая общая стоимость вина: $50 - 5x + 7x = 50 + 2x$ р.
  • Новая цена за литр: $P_2 = \frac{50 + 2x}{10}$ р./л.

По условию задачи, цена вина за литр в двух бочонках должна сравняться, то есть $P_1 = P_2$. Составим и решим уравнение:

$\frac{280 - 2x}{40} = \frac{50 + 2x}{10}$

Умножим обе части уравнения на 40, чтобы избавиться от знаменателей:

$280 - 2x = 4 \times (50 + 2x)$

Раскроем скобки:

$280 - 2x = 200 + 8x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$280 - 200 = 8x + 2x$

$80 = 10x$

Найдем $x$:

$x = \frac{80}{10}$

$x = 8$

Таким образом, из каждого бочонка нужно взять по 8 литров вина и перелить в другой. Проверим, будет ли цена одинаковой:

• Цена в первом бочонке: $P_1 = \frac{280 - 2 \times 8}{40} = \frac{280 - 16}{40} = \frac{264}{40} = 6,6$ р./л.
• Цена во втором бочонке: $P_2 = \frac{50 + 2 \times 8}{10} = \frac{50 + 16}{10} = \frac{66}{10} = 6,6$ р./л.

Цены действительно сравнялись.

Ответ: из каждого бочонка надо взять по 8 литров вина и перелить в другой.