Номер 246, страница 431 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения - номер 246, страница 431.

Условие.

246 Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $144^{-|2x-1|} - 2 \cdot 12^{-|2x-1|} + 12a = 0$ имеет хотя бы один корень.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Исходное уравнение:$144^{-|2x-1|} - 2 \cdot 12^{-|2x-1|} + 12a = 0$

Заметим, что $144 = 12^2$. Перепишем уравнение, используя это свойство:$(12^2)^{-|2x-1|} - 2 \cdot 12^{-|2x-1|} + 12a = 0$$(12^{-|2x-1|})^2 - 2 \cdot 12^{-|2x-1|} + 12a = 0$

Данное уравнение является квадратным относительно выражения $12^{-|2x-1|}$. Сделаем замену переменной.Пусть $t = 12^{-|2x-1|}$.Теперь необходимо определить область допустимых значений для переменной $t$.Выражение под знаком модуля $|2x-1|$ принимает все неотрицательные значения, то есть $|2x-1| \ge 0$.Следовательно, показатель степени $-|2x-1|$ принимает все неположительные значения: $-|2x-1| \le 0$.Поскольку показательная функция $y(z) = 12^z$ является монотонно возрастающей, то для $z = -|2x-1| \in (-\infty, 0]$ её значения будут находиться в промежутке $(0, 1]$.При $z \to -\infty$, $12^z \to 0$.При $z = 0$, $12^0 = 1$.Таким образом, новая переменная $t$ может принимать значения из полуинтервала $t \in (0, 1]$.

После замены уравнение принимает вид:$t^2 - 2t + 12a = 0$

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых это квадратное уравнение имеет хотя бы один корень $t$ на промежутке $(0, 1]$.

Выразим $12a$ из уравнения:$12a = -t^2 + 2t$

Рассмотрим функцию $f(t) = -t^2 + 2t$. Нам нужно найти множество значений, которые принимает эта функция при $t \in (0, 1]$.Графиком функции $f(t)$ является парабола с ветвями, направленными вниз. Координата вершины параболы по оси абсцисс:$t_в = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$

Вершина параболы находится в точке $t=1$. На промежутке $(-\infty, 1]$ функция $f(t)$ возрастает. Так как интересующий нас промежуток $(0, 1]$ целиком лежит на промежутке возрастания, то для нахождения множества значений функции достаточно найти её значения на концах этого промежутка.

• При $t \to 0$ (справа), значение функции $f(t) \to -0^2 + 2 \cdot 0 = 0$.
• При $t = 1$, значение функции $f(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 = 1$.

Поскольку функция $f(t)$ непрерывна и возрастает на $(0, 1]$, она принимает все значения из промежутка $(0, 1]$.Таким образом, выражение $12a$ должно принадлежать этому множеству:$0 < 12a \le 1$

Решим это двойное неравенство относительно $a$:$\frac{0}{12} < a \le \frac{1}{12}$$0 < a \le \frac{1}{12}$

Для каждого значения $a$ из этого интервала существует корень $t \in (0, 1]$. Каждому такому $t$ соответствует хотя бы один корень $x$ исходного уравнения, так как уравнение $|2x-1| = -\log_{12}(t)$ имеет решения, поскольку $-\log_{12}(t) \ge 0$ для $t \in (0, 1]$.

Ответ: $a \in (0, \frac{1}{12}]$.