Номер 16.12, страница 383 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.12, страница 383.

Условие.

16.12 Докажите справедливость основных законов сложения и умножения комплексных чисел.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для доказательства справедливости основных законов сложения и умножения комплексных чисел введем три произвольных комплексных числа в алгебраической форме: $z_1 = a_1 + ib_1$, $z_2 = a_2 + ib_2$ и $z_3 = a_3 + ib_3$, где $a_1, b_1, a_2, b_2, a_3, b_3$ являются действительными числами, а $i$ — мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$. Все доказательства основываются на соответствующих законах для действительных чисел.

1. Коммутативный (переместительный) закон сложения: $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$

Вычислим левую часть равенства, используя определение сложения комплексных чисел:$z_1 + z_2 = (a_1 + ib_1) + (a_2 + ib_2) = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)$.

Теперь вычислим правую часть равенства:$z_2 + z_1 = (a_2 + ib_2) + (a_1 + ib_1) = (a_2 + a_1) + i(b_2 + b_1)$.

Поскольку для действительных чисел сложение коммутативно ($a_1 + a_2 = a_2 + a_1$ и $b_1 + b_2 = b_2 + b_1$), действительные и мнимые части обоих выражений равны. Следовательно, $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$.

Ответ: Справедливость коммутативного закона сложения доказана.

2. Ассоциативный (сочетательный) закон сложения: $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$

Преобразуем левую часть равенства:$(z_1 + z_2) + z_3 = ((a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2)) + (a_3 + ib_3) = ((a_1 + a_2) + a_3) + i((b_1 + b_2) + b_3)$.

Преобразуем правую часть равенства:$z_1 + (z_2 + z_3) = (a_1 + ib_1) + ((a_2 + a_3) + i(b_2 + b_3)) = (a_1 + (a_2 + a_3)) + i(b_1 + (b_2 + b_3))$.

Так как сложение действительных чисел ассоциативно ($(a_1 + a_2) + a_3 = a_1 + (a_2 + a_3)$), левая и правая части равенства равны.

Ответ: Справедливость ассоциативного закона сложения доказана.

3. Коммутативный (переместительный) закон умножения: $z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$

Вычислим левую часть, используя определение умножения комплексных чисел:$z_1 \cdot z_2 = (a_1 + ib_1)(a_2 + ib_2) = (a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + b_1a_2)$.

Вычислим правую часть:$z_2 \cdot z_1 = (a_2 + ib_2)(a_1 + ib_1) = (a_2a_1 - b_2b_1) + i(a_2b_1 + b_2a_1)$.

В силу коммутативности сложения и умножения действительных чисел ($a_1a_2 = a_2a_1$, $b_1b_2 = b_2b_1$ и $a_1b_2 + b_1a_2 = b_2a_1 + a_2b_1$), действительные и мнимые части выражений равны.

Ответ: Справедливость коммутативного закона умножения доказана.

4. Ассоциативный (сочетательный) закон умножения: $(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$

Преобразуем левую часть:$(z_1 z_2) z_3 = ((a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + b_1a_2))(a_3 + ib_3)$$= (a_1a_2a_3 - b_1b_2a_3 - a_1b_2b_3 - b_1a_2b_3) + i(a_1a_2b_3 - b_1b_2b_3 + a_1b_2a_3 + b_1a_2a_3)$.

Преобразуем правую часть:$z_1 (z_2 z_3) = (a_1 + ib_1)((a_2a_3 - b_2b_3) + i(a_2b_3 + b_2a_3))$$= (a_1a_2a_3 - a_1b_2b_3 - b_1a_2b_3 - b_1b_2a_3) + i(a_1a_2b_3 + a_1b_2a_3 + b_1a_2a_3 - b_1b_2b_3)$.

Используя ассоциативность и коммутативность операций над действительными числами, можно убедиться, что действительные и мнимые части обоих выражений совпадают.

Ответ: Справедливость ассоциативного закона умножения доказана.

5. Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения: $z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3$

Преобразуем левую часть:$z_1(z_2 + z_3) = (a_1 + ib_1)((a_2+a_3) + i(b_2+b_3))$$= (a_1(a_2+a_3) - b_1(b_2+b_3)) + i(a_1(b_2+b_3) + b_1(a_2+a_3))$$= (a_1a_2 + a_1a_3 - b_1b_2 - b_1b_3) + i(a_1b_2 + a_1b_3 + b_1a_2 + b_1a_3)$.

Преобразуем правую часть:$z_1z_2 + z_1z_3 = ((a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + b_1a_2)) + ((a_1a_3 - b_1b_3) + i(a_1b_3 + b_1a_3))$$= (a_1a_2 - b_1b_2 + a_1a_3 - b_1b_3) + i(a_1b_2 + b_1a_2 + a_1b_3 + b_1a_3)$.

Сравнивая и перегруппировывая слагаемые в действительной и мнимой частях (что возможно благодаря свойствам действительных чисел), видим, что выражения равны.

Ответ: Справедливость дистрибутивного закона доказана.