Номер 16.2, страница 382 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел. Глава 3. Комплексные числа - номер 16.2, страница 382.

Условие.

16.2° Что называют множеством комплексных чисел; комплексным числом?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Множеством комплексных чисел

Множеством комплексных чисел, которое обозначается символом $\mathbb{C}$, называют множество всех выражений (чисел) вида $z = a + bi$, где $a$ и $b$ являются действительными числами ($a, b \in \mathbb{R}$), а $i$ — это специальный символ, называемый мнимой единицей, для которого выполняется свойство $i^2 = -1$.

На этом множестве определены две основные арифметические операции:

• Сложение: Сумма двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ определяется как $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$.
• Умножение: Произведение двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ определяется как $(a + bi) \cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$.

Множество комплексных чисел с этими операциями образует поле. Это означает, что для комплексных чисел выполняются привычные законы арифметики (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность), существует нулевой и единичный элементы, а для любого ненулевого числа существует обратное. Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ является подмножеством множества комплексных чисел $\mathbb{C}$ (это комплексные числа, у которых мнимая часть равна нулю).

Ответ: Множеством комплексных чисел ($\mathbb{C}$) называют множество всех чисел вида $a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$), вместе с определенными на нем операциями сложения и умножения.

Комплексным числом

Комплексным числом $z$ называется отдельный элемент множества комплексных чисел. Это выражение вида $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица.

Компоненты комплексного числа имеют специальные названия:

• Число $a$ называется действительной (вещественной) частью комплексного числа и обозначается $\text{Re}(z)$.
• Число $b$ называется мнимой частью комплексного числа и обозначается $\text{Im}(z)$.

Форма записи $a + bi$ называется алгебраической формой комплексного числа.

Примеры:

• Если $b=0$, то комплексное число $z = a + 0i = a$ является действительным числом. Например, $5$ — это комплексное число, где $a=5$, $b=0$.
• Если $a=0$ и $b \neq 0$, то комплексное число $z = 0 + bi = bi$ называется чисто мнимым. Например, $3i$ — это чисто мнимое число, где $a=0$, $b=3$.

Ответ: Комплексное число — это выражение вида $a + bi$, где $a$ — действительная часть, $b$ — мнимая часть (оба являются действительными числами), а $i$ — мнимая единица, такая что $i^2 = -1$.