Страница 382 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

16.1° В каком случае выражения $a + bi$ и $c + di$ считаются:

а) равными;

б) различными?

Выражения $a + bi$ и $c + di$ представляют собой комплексные числа в алгебраической форме, где $a, b, c, d$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$). Числа $a$ и $c$ называются действительными (вещественными) частями, а числа $b$ и $d$ — мнимыми частями этих комплексных чисел.

а) равными;

Два комплексных числа $a + bi$ и $c + di$ считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и одновременно равны их мнимые части. Иными словами, для выполнения равенства $a + bi = c + di$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система из двух уравнений:

$a = c$ (равенство действительных частей)
$b = d$ (равенство мнимых частей)

Оба этих условия должны соблюдаться одновременно. Если хотя бы одно из них не выполняется, числа не равны.

Ответ: Выражения $a + bi$ и $c + di$ считаются равными, если $a = c$ и $b = d$.

б) различными?

Два комплексных числа $a + bi$ и $c + di$ считаются различными (неравными), если они не являются равными. Это означает, что нарушается хотя бы одно из условий равенства. То есть, их действительные части не равны, или их мнимые части не равны, или и то, и другое. Математически это записывается как $a + bi \neq c + di$ и выполняется в том случае, если справедливо хотя бы одно из неравенств:

$a \neq c$
или
$b \neq d$

Таким образом, для того чтобы комплексные числа были различными, достаточно, чтобы отличалась либо их действительная часть, либо мнимая.

Ответ: Выражения $a + bi$ и $c + di$ считаются различными, если $a \neq c$ или $b \neq d$.

16.2° Что называют множеством комплексных чисел; комплексным числом?

Множеством комплексных чисел

Множеством комплексных чисел, которое обозначается символом $\mathbb{C}$, называют множество всех выражений (чисел) вида $z = a + bi$, где $a$ и $b$ являются действительными числами ($a, b \in \mathbb{R}$), а $i$ — это специальный символ, называемый мнимой единицей, для которого выполняется свойство $i^2 = -1$.

На этом множестве определены две основные арифметические операции:

• Сложение: Сумма двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ определяется как $(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$.
• Умножение: Произведение двух комплексных чисел $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$ определяется как $(a + bi) \cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$.

Множество комплексных чисел с этими операциями образует поле. Это означает, что для комплексных чисел выполняются привычные законы арифметики (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность), существует нулевой и единичный элементы, а для любого ненулевого числа существует обратное. Множество действительных чисел $\mathbb{R}$ является подмножеством множества комплексных чисел $\mathbb{C}$ (это комплексные числа, у которых мнимая часть равна нулю).

Ответ: Множеством комплексных чисел ($\mathbb{C}$) называют множество всех чисел вида $a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$), вместе с определенными на нем операциями сложения и умножения.

Комплексным числом

Комплексным числом $z$ называется отдельный элемент множества комплексных чисел. Это выражение вида $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица.

Компоненты комплексного числа имеют специальные названия:

• Число $a$ называется действительной (вещественной) частью комплексного числа и обозначается $\text{Re}(z)$.
• Число $b$ называется мнимой частью комплексного числа и обозначается $\text{Im}(z)$.

Форма записи $a + bi$ называется алгебраической формой комплексного числа.

Примеры:

• Если $b=0$, то комплексное число $z = a + 0i = a$ является действительным числом. Например, $5$ — это комплексное число, где $a=5$, $b=0$.
• Если $a=0$ и $b \neq 0$, то комплексное число $z = 0 + bi = bi$ называется чисто мнимым. Например, $3i$ — это чисто мнимое число, где $a=0$, $b=3$.

Ответ: Комплексное число — это выражение вида $a + bi$, где $a$ — действительная часть, $b$ — мнимая часть (оба являются действительными числами), а $i$ — мнимая единица, такая что $i^2 = -1$.

16.3° При каком условии комплексное число $a + bi$ отождествляется с действительным числом $a$?

16.3°

Комплексное число в алгебраической форме записывается как $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$). Число $a$ называется действительной частью комплексного числа $z$ (обозначается $a = \text{Re}(z)$), а число $b$ — мнимой частью (обозначается $b = \text{Im}(z)$).

Действительные числа являются подмножеством комплексных чисел. Любое действительное число $a$ можно представить в виде комплексного числа, у которого мнимая часть равна нулю: $a = a + 0 \cdot i$.

Чтобы комплексное число $a + bi$ отождествлялось (было равно) с действительным числом $a$, необходимо и достаточно, чтобы их значения были равны. Запишем это равенство, представив правую часть также в виде комплексного числа:

$a + bi = a + 0 \cdot i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части.

Приравняем действительные части:

$a = a$

Это равенство является тождеством и выполняется при любых значениях $a$.

Приравняем мнимые части:

$b = 0$

Это и есть искомое условие. Таким образом, комплексное число $a + bi$ является действительным числом $a$ тогда и только тогда, когда его мнимая часть $b$ равна нулю.

Ответ: $b = 0$.

Какое комплексное число называют мнимым числом?

Для ответа на этот вопрос необходимо сперва определить, что такое комплексное число. Комплексное число — это выражение вида $z = a + bi$, где $a$ и $b$ являются действительными (вещественными) числами, а $i$ — это так называемая мнимая единица. Мнимая единица определяется как число, квадрат которого равен $-1$, то есть $i^2 = -1$.

В записи комплексного числа $z = a + bi$:
- число $a$ называется действительной частью комплексного числа (обозначается $\text{Re}(z)$).
- число $b$ называется мнимой частью комплексного числа (обозначается $\text{Im}(z)$).

Комплексное число называют мнимым числом (или, более строго, чисто мнимым числом), если его действительная часть $a$ равна нулю. Таким образом, мнимое число — это комплексное число вида $z = 0 + bi = bi$.

Важно отметить, что обычно, говоря "мнимое число", подразумевают, что его мнимая часть $b$ не равна нулю ($b \neq 0$). Если и действительная, и мнимая части равны нулю ($a=0$, $b=0$), то мы получаем число $z=0$, которое является действительным. Число $0$ — единственное, которое является одновременно и действительным, и чисто мнимым.

Примеры мнимых чисел: $i$, $3i$, $-7i$, $i\sqrt{2}$. Все эти числа имеют вид $bi$, где $b$ — это ненулевое действительное число.

Ответ: Мнимым числом называют комплексное число, у которого действительная часть равна нулю. Такое число имеет вид $z = bi$, где $b$ — действительное число, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$). Как правило, подразумевается, что $b \neq 0$.

16.5° Какое комплексное число называют мнимой единицей?

16.5°

Мнимой единицей называют специальное комплексное число, которое расширяет множество действительных чисел до множества комплексных чисел. Необходимость введения такого числа возникла при решении алгебраических уравнений, которые не имеют решений в действительных числах.

Классическим примером является уравнение $x^2 + 1 = 0$. В множестве действительных чисел оно не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Для решения этого уравнения вводят мнимую единицу, обозначаемую символом $i$.

По определению, мнимая единица $i$ — это число, квадрат которого равен -1:

$i^2 = -1$

Из этого определения следует, что мнимая единица является одним из корней уравнения $x^2 = -1$, то есть $i = \sqrt{-1}$.

Мнимая единица является чисто мнимым числом. В стандартной форме записи комплексного числа $z = a + bi$ (где $a$ — действительная часть, а $b$ — мнимая часть), мнимая единица $i$ имеет вид $0 + 1 \cdot i$.

Ответ: Мнимой единицей называют комплексное число $i$, определяемое свойством $i^2 = -1$.