Номер 15.40, страница 373 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.40, страница 373.

Условие.

15.40 Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство:

a) $a^2 + a - \sin^2 x - 2a \cos x > 1$;

б) $|3 \sin^2 x + 2a \sin x \cos x + \cos^2 x + a| \le 3$

выполняется для любого значения $x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим неравенство $a^2 + a - \sin^2 x - 2a \cos x > 1$. Оно должно выполняться для любого значения $x$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, чтобы выразить неравенство через $\cos x$:

$a^2 + a - (1 - \cos^2 x) - 2a \cos x > 1$

$a^2 + a - 1 + \cos^2 x - 2a \cos x > 1$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их относительно $\cos x$:

$\cos^2 x - 2a \cos x + a^2 + a - 2 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Поскольку область значений косинуса — отрезок $[-1, 1]$, то $t \in [-1, 1]$.

Теперь задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых квадратное неравенство $f(t) > 0$ выполняется для всех $t \in [-1, 1]$, где $f(t) = t^2 - 2at + (a^2 + a - 2)$.

График функции $f(t)$ — парабола с ветвями, направленными вверх. Её наименьшее значение на отрезке $[-1, 1]$ должно быть больше нуля. Положение вершины параболы $t_v = -(-2a) / (2 \cdot 1) = a$ определяет, где достигается минимум.

Рассмотрим три случая:

1. Вершина параболы находится левее отрезка $[-1, 1]$, то есть $a < -1$.

В этом случае функция $f(t)$ возрастает на отрезке $[-1, 1]$, и её наименьшее значение достигается в точке $t = -1$.

Требуем, чтобы $f(-1) > 0$:

$f(-1) = (-1)^2 - 2a(-1) + a^2 + a - 2 = 1 + 2a + a^2 + a - 2 = a^2 + 3a - 1 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 + 3a - 1 = 0$: $a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Неравенство $a^2 + 3a - 1 > 0$ выполняется при $a < \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$ или $a > \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$.

Учитывая условие $a < -1$, получаем $a < \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$ (так как $\frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-3+3.6}{2} = 0.3 > -1$).

2. Вершина параболы находится на отрезке $[-1, 1]$, то есть $-1 \le a \le 1$.

В этом случае наименьшее значение функции $f(t)$ на отрезке достигается в вершине $t = a$.

Требуем, чтобы $f(a) > 0$:

$f(a) = a^2 - 2a(a) + a^2 + a - 2 = a^2 - 2a^2 + a^2 + a - 2 = a - 2 > 0$.

Отсюда $a > 2$. Однако это противоречит условию $-1 \le a \le 1$. Следовательно, в этом случае решений нет.

3. Вершина параболы находится правее отрезка $[-1, 1]$, то есть $a > 1$.

В этом случае функция $f(t)$ убывает на отрезке $[-1, 1]$, и её наименьшее значение достигается в точке $t = 1$.

Требуем, чтобы $f(1) > 0$:

$f(1) = 1^2 - 2a(1) + a^2 + a - 2 = 1 - 2a + a^2 + a - 2 = a^2 - a - 1 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - a - 1 = 0$: $a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Неравенство $a^2 - a - 1 > 0$ выполняется при $a < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ или $a > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Учитывая условие $a > 1$, получаем $a > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (так как $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1-2.23}{2} = -0.615 < 1$ и $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1+2.23}{2} = 1.615 > 1$).

Объединяя решения из всех случаев, получаем искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$

б)

Рассмотрим неравенство $|3\sin^2 x + 2a \sin x \cos x + \cos^2 x + a| \le 3$. Оно должно выполняться для любого значения $x$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-3 \le 3\sin^2 x + 2a \sin x \cos x + \cos^2 x + a \le 3$

Преобразуем выражение в середине, используя формулы двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$. Отсюда $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ и $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

Пусть $E(x) = 3\sin^2 x + 2a \sin x \cos x + \cos^2 x + a$.

$E(x) = 3(\frac{1 - \cos(2x)}{2}) + a \sin(2x) + (\frac{1 + \cos(2x)}{2}) + a$

$E(x) = \frac{3 - 3\cos(2x) + 1 + \cos(2x)}{2} + a \sin(2x) + a$

$E(x) = \frac{4 - 2\cos(2x)}{2} + a \sin(2x) + a$

$E(x) = 2 - \cos(2x) + a \sin(2x) + a$

Сгруппируем члены с $x$:

$E(x) = a \sin(2x) - \cos(2x) + a + 2$

Неравенство принимает вид:

$-3 \le a \sin(2x) - \cos(2x) + a + 2 \le 3$

Вычтем из всех частей $a+2$:

$-5 - a \le a \sin(2x) - \cos(2x) \le 1 - a$

Рассмотрим выражение $F(x) = a \sin(2x) - \cos(2x)$. Его можно представить в виде $R \sin(2x + \phi)$, где $R = \sqrt{a^2 + (-1)^2} = \sqrt{a^2+1}$.

Область значений функции $F(x)$ — это отрезок $[-\sqrt{a^2+1}, \sqrt{a^2+1}]$.

Чтобы неравенство $-5 - a \le F(x) \le 1 - a$ выполнялось для всех $x$, необходимо и достаточно, чтобы вся область значений функции $F(x)$ содержалась в отрезке $[-5-a, 1-a]$. Это эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} -\sqrt{a^2+1} \ge -5 - a \\ \sqrt{a^2+1} \le 1 - a \end{cases}$

Решим первое неравенство: $-\sqrt{a^2+1} \ge -5 - a \Leftrightarrow \sqrt{a^2+1} \le a+5$.

Это неравенство имеет решения только если $a+5 \ge 0$, то есть $a \ge -5$. При этом условии можно возвести обе части в квадрат:

$a^2+1 \le (a+5)^2$

$a^2+1 \le a^2+10a+25$

$-24 \le 10a \Leftrightarrow a \ge -2.4$

Пересекая с условием $a \ge -5$, получаем $a \ge -2.4$.

Решим второе неравенство: $\sqrt{a^2+1} \le 1 - a$.

Это неравенство имеет решения только если $1-a \ge 0$, то есть $a \le 1$. При этом условии можно возвести обе части в квадрат:

$a^2+1 \le (1-a)^2$

$a^2+1 \le 1-2a+a^2$

$0 \le -2a \Leftrightarrow 2a \le 0 \Leftrightarrow a \le 0$.

Пересекая с условием $a \le 1$, получаем $a \le 0$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств системы:

$\begin{cases} a \ge -2.4 \\ a \le 0 \end{cases}$

Решением системы является отрезок $[-2.4, 0]$.

Ответ: $a \in [-2.4; 0]$