Номер 15.34, страница 372 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.34, страница 372.

Условие.

15.34 При каких значениях параметра a число:

а) 0 является корнем уравнения $\sqrt{a \cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x$;

б) $-\frac{\pi}{2}$ является корнем уравнения $\sqrt{2 \sin 2x - a \cos 2x} = -\sin x?$

Для каждого такого значения a решите уравнение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $ \sqrt{a \cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x $.

По условию, $ x = 0 $ является корнем уравнения. Подставим это значение в уравнение, учитывая, что $ \cos(2 \cdot 0) = 1 $, $ \sin(2 \cdot 0) = 0 $ и $ \cos(0) = 1 $:

$ \sqrt{a \cdot 1 - 3 \cdot 0} = 1 $

$ \sqrt{a} = 1 $

Возводя обе части в квадрат, получаем $ a = 1 $. Это значение удовлетворяет условию неотрицательности подкоренного выражения ($ a \ge 0 $). Таким образом, искомое значение параметра $ a = 1 $.

Теперь решим уравнение при $ a = 1 $:

$ \sqrt{\cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x $

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \cos 2x - 3 \sin 2x = \cos^2 x \\ \cos x \ge 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы, используя формулы двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $ и $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ (2\cos^2 x - 1) - 3(2\sin x \cos x) = \cos^2 x $

$ \cos^2 x - 6\sin x \cos x - 1 = 0 $

Заменим $ -1 $ на $ -(\sin^2 x + \cos^2 x) $ согласно основному тригонометрическому тождеству:

$ \cos^2 x - 6\sin x \cos x - (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 $

$ -\sin^2 x - 6\sin x \cos x = 0 $

$ \sin x (\sin x + 6\cos x) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1) $ \sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin x + 6\cos x = 0 $. Так как $ \cos x = 0 $ не является решением этого уравнения, разделим его на $ \cos x $:

$ \tan x + 6 = 0 \implies \tan x = -6 \implies x = -\arctan(6) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Теперь отберем корни с учетом условия $ \cos x \ge 0 $.

Для первой серии корней $ x = \pi k $: $ \cos(\pi k) = (-1)^k $. Условие $ \cos x \ge 0 $ выполняется, только если $ k $ — четное число. Пусть $ k = 2m, m \in \mathbb{Z} $. Тогда решениями являются $ x = 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Для второй серии корней $ x = -\arctan(6) + \pi n $: так как $ \tan x = -6 < 0 $, угол $ x $ находится во II или IV координатной четверти. Условие $ \cos x \ge 0 $ выполняется в I и IV четвертях. Следовательно, угол $ x $ должен находиться в IV четверти. Этому условию соответствуют корни, когда $ n $ — четное число. Пусть $ n = 2m, m \in \mathbb{Z} $. Тогда решениями являются $ x = -\arctan(6) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ a=1; \quad x = 2\pi m, \quad x = -\arctan(6) + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $.

б)

Исходное уравнение: $ \sqrt{2 \sin 2x - a \cos 2x} = -\sin x $.

По условию, $ x = -\frac{\pi}{2} $ является корнем уравнения. Подставим это значение в уравнение, учитывая, что $ \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = \sin(-\pi) = 0 $, $ \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = \cos(-\pi) = -1 $ и $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $:

$ \sqrt{2 \cdot 0 - a \cdot (-1)} = -(-1) $

$ \sqrt{a} = 1 $

Отсюда, с учетом области определения корня ($ a \ge 0 $), получаем $ a = 1 $.

Теперь решим уравнение при $ a = 1 $:

$ \sqrt{2 \sin 2x - \cos 2x} = -\sin x $

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2 \sin 2x - \cos 2x = (-\sin x)^2 = \sin^2 x \\ -\sin x \ge 0 \implies \sin x \le 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы. Используем формулы двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $ и $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $:

$ 2(2\sin x \cos x) - (1 - 2\sin^2 x) = \sin^2 x $

$ 4\sin x \cos x - 1 + 2\sin^2 x - \sin^2 x = 0 $

$ \sin^2 x + 4\sin x \cos x - 1 = 0 $

Заменим $ -1 $ на $ -(\sin^2 x + \cos^2 x) $:

$ \sin^2 x + 4\sin x \cos x - (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 $

$ 4\sin x \cos x - \cos^2 x = 0 $

$ \cos x (4\sin x - \cos x) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1) $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 4\sin x - \cos x = 0 $. Разделив на $ \cos x \ne 0 $, получим:

$ 4\tan x - 1 = 0 \implies \tan x = \frac{1}{4} \implies x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Теперь отберем корни с учетом условия $ \sin x \le 0 $.

Для первой серии корней $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $: условие $ \sin x \le 0 $ выполняется, когда $ \sin x = -1 $. Это происходит при $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Для второй серии корней $ x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi n $: так как $ \tan x = \frac{1}{4} > 0 $, угол $ x $ находится в I или III координатной четверти. Условие $ \sin x \le 0 $ выполняется в III и IV четвертях. Следовательно, угол $ x $ должен находиться в III четверти. Этому условию соответствуют корни, когда к $ \arctan(\frac{1}{4}) $ (угол из I четверти) прибавляется $ \pi $ и его полные обороты. То есть, $ x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ a=1; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $.