Номер 15.30, страница 372 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.30, страница 372.

Условие.

ИССЛЕДУЕМ (15.30—15.45):

15.30 При каких значениях параметра:

a) $a \neq -3$ уравнение $2 \sin 2x = \frac{a - 1}{a + 3}$ не имеет корней;

б) $a \neq 2$ уравнение $3 \cos x = \frac{a + 5}{a - 2}$ не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Рассмотрим уравнение $2 \sin 2x = \frac{a-1}{a+3}$ при условии $a \neq -3$.

Для начала выразим тригонометрическую функцию:

$\sin 2x = \frac{a-1}{2(a+3)}$

Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Уравнение не будет иметь действительных корней, если значение выражения в правой части выйдет за пределы этого отрезка. Таким образом, должно выполняться условие:

$|\sin 2x| > 1$

что эквивалентно неравенству:

$|\frac{a-1}{2(a+3)}| > 1$

Это неравенство с модулем равносильно совокупности двух неравенств:

1) $\frac{a-1}{2(a+3)} > 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{a-1}{2(a+3)} - 1 > 0 \implies \frac{a-1 - 2(a+3)}{2(a+3)} > 0 \implies \frac{a-1-2a-6}{2(a+3)} > 0 \implies \frac{-a-7}{2(a+3)} > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{a+7}{2(a+3)} < 0 \implies \frac{a+7}{a+3} < 0$

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $a \in (-7, -3)$.

2) $\frac{a-1}{2(a+3)} < -1$

Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{a-1}{2(a+3)} + 1 < 0 \implies \frac{a-1 + 2(a+3)}{2(a+3)} < 0 \implies \frac{a-1+2a+6}{2(a+3)} < 0 \implies \frac{3a+5}{2(a+3)} < 0$

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $a \in (-3, -5/3)$.

Объединяя решения обоих неравенств, получаем искомое множество значений параметра $a$.

Ответ: $a \in (-7, -3) \cup (-3, -5/3)$.

б)

Рассмотрим уравнение $3 \cos x = \frac{a+5}{a-2}$ при условии $a \neq 2$.

Выразим тригонометрическую функцию:

$\cos x = \frac{a+5}{3(a-2)}$

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Уравнение не будет иметь действительных корней, если значение выражения в правой части будет по модулю больше 1:

$|\cos x| > 1$

что эквивалентно неравенству:

$|\frac{a+5}{3(a-2)}| > 1$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

1) $\frac{a+5}{3(a-2)} > 1$

$\frac{a+5}{3(a-2)} - 1 > 0 \implies \frac{a+5 - 3(a-2)}{3(a-2)} > 0 \implies \frac{a+5-3a+6}{3(a-2)} > 0 \implies \frac{-2a+11}{3(a-2)} > 0$

Умножим на -1/3, изменив знак неравенства:

$\frac{2a-11}{a-2} < 0$

Решением этого неравенства является интервал $a \in (2, 11/2)$.

2) $\frac{a+5}{3(a-2)} < -1$

$\frac{a+5}{3(a-2)} + 1 < 0 \implies \frac{a+5 + 3(a-2)}{3(a-2)} < 0 \implies \frac{a+5+3a-6}{3(a-2)} < 0 \implies \frac{4a-1}{3(a-2)} < 0$

Решением этого неравенства является интервал $a \in (1/4, 2)$.

Объединяя решения обоих неравенств, получаем искомое множество значений параметра $a$.

Ответ: $a \in (1/4, 2) \cup (2, 11/2)$.