Номер 15.32, страница 372 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.32, страница 372.

Условие.

15.32 Сколько решений в зависимости от параметра $a$ имеет уравнение:

а) $|x + 2| = ax + 1;$

б) $|x - 4| = ax + 2?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим уравнение $|x + 2| = ax + 1$. Данное уравнение можно решить графически. Для этого построим в одной системе координат графики функций $y = |x + 2|$ и $y = ax + 1$. Количество решений уравнения будет равно количеству точек пересечения этих графиков.

График функции $y = |x + 2|$ представляет собой "галочку", состоящую из двух лучей, выходящих из вершины в точке $(-2, 0)$.
При $x \ge -2$, $y = x + 2$ (луч с угловым коэффициентом 1).
При $x < -2$, $y = -(x + 2) = -x - 2$ (луч с угловым коэффициентом -1).

График функции $y = ax + 1$ — это семейство прямых (пучок прямых), проходящих через точку $(0, 1)$, где параметр $a$ является угловым коэффициентом.

Для более строгого анализа решим уравнение аналитически. Уравнение $|A| = B$ равносильно системе $\begin{cases} B \ge 0 \\ A^2 = B^2 \end{cases}$. Применим это к нашему уравнению: $\begin{cases} ax+1 \ge 0 \\ (x+2)^2 = (ax+1)^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение: $x^2 + 4x + 4 = a^2x^2 + 2ax + 1$ $(1-a^2)x^2 + (4-2a)x + 3 = 0$

Рассмотрим случаи:

1. Если $1-a^2 = 0$, то есть $a=1$ или $a=-1$.
- При $a=1$: уравнение принимает вид $(4-2(1))x + 3 = 0 \Rightarrow 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1.5$. Проверим условие $ax+1 \ge 0$: $1(-1.5) + 1 = -0.5 < 0$. Условие не выполнено, значит, при $a=1$ решений нет.
- При $a=-1$: уравнение принимает вид $(4-2(-1))x + 3 = 0 \Rightarrow 6x + 3 = 0 \Rightarrow x = -0.5$. Проверим условие $ax+1 \ge 0$: $(-1)(-0.5) + 1 = 1.5 > 0$. Условие выполнено, значит, при $a=-1$ есть одно решение $x=-0.5$.

2. Если $1-a^2 \ne 0$, то есть $a \ne \pm 1$. Мы имеем квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: $D = (4-2a)^2 - 4(1-a^2)(3) = 4(2-a)^2 - 12(1-a^2) = 4(4-4a+a^2) - 12+12a^2 = 16-16a+4a^2-12+12a^2 = 16a^2-16a+4 = 4(4a^2-4a+1) = 4(2a-1)^2 = (2(2a-1))^2$. Так как $D \ge 0$ при любом $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Корни уравнения: $x = \frac{-(4-2a) \pm \sqrt{4(2a-1)^2}}{2(1-a^2)} = \frac{2a-4 \pm 2(2a-1)}{2(1-a^2)} = \frac{a-2 \pm (2a-1)}{1-a^2}$.
$x_1 = \frac{a-2 + (2a-1)}{1-a^2} = \frac{3a-3}{(1-a)(1+a)} = \frac{-3(1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{-3}{1+a}$.
$x_2 = \frac{a-2 - (2a-1)}{1-a^2} = \frac{-a-1}{1-a^2} = \frac{-(a+1)}{(1-a)(1+a)} = \frac{-1}{1-a} = \frac{1}{a-1}$.

Корни совпадают при $D=0$, то есть при $2a-1=0 \Rightarrow a=1/2$. В этом случае есть один корень $x=-2$.

Теперь для каждого корня проверим выполнение условия $ax+1 \ge 0$.
- Для $x_1 = \frac{-3}{1+a}$: $a(\frac{-3}{1+a}) + 1 = \frac{-3a+1+a}{1+a} = \frac{1-2a}{1+a} \ge 0$. Методом интервалов получаем, что это неравенство выполняется при $a \in (-1, 1/2]$.
- Для $x_2 = \frac{1}{a-1}$: $a(\frac{1}{a-1}) + 1 = \frac{a+a-1}{a-1} = \frac{2a-1}{a-1} \ge 0$. Методом интервалов получаем, что это неравенство выполняется при $a \in (-\infty, 1/2] \cup (1, \infty)$.

Сведем результаты в таблицу и определим количество решений:

• При $a \in (-\infty, -1)$: $x_1$ не является решением, $x_2$ является решением. Одно решение.
• При $a = -1$: Одно решение ($x=-0.5$).
• При $a \in (-1, 1/2)$: $x_1$ и $x_2$ являются различными решениями. Два решения.
• При $a = 1/2$: $x_1=x_2=-2$, и оба условия выполнены. Одно решение.
• При $a \in (1/2, 1)$: ни $x_1$, ни $x_2$ не являются решениями. Нет решений.
• При $a = 1$: Нет решений.
• При $a \in (1, \infty)$: $x_1$ не является решением, $x_2$ является решением. Одно решение.

Объединяя интервалы, получаем:

Ответ: при $a \in (-1, 1/2)$ — два решения; при $a \in (-\infty, -1] \cup \{1/2\} \cup (1, \infty)$ — одно решение; при $a \in (1/2, 1]$ — нет решений.

б)

Рассмотрим уравнение $|x - 4| = ax + 2$. Аналогично пункту а), будем решать уравнение $|A|=B$ через систему $\begin{cases} B \ge 0 \\ A^2 = B^2 \end{cases}$. $\begin{cases} ax+2 \ge 0 \\ (x-4)^2 = (ax+2)^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение: $x^2 - 8x + 16 = a^2x^2 + 4ax + 4$ $(1-a^2)x^2 - (8+4a)x + 12 = 0$

1. Если $1-a^2 = 0$, то есть $a=1$ или $a=-1$.
- При $a=1$: уравнение принимает вид $-(8+4)x + 12 = 0 \Rightarrow -12x + 12 = 0 \Rightarrow x=1$. Проверим условие $ax+2 \ge 0$: $1(1)+2=3 \ge 0$. Условие выполнено. При $a=1$ есть одно решение $x=1$.
- При $a=-1$: уравнение принимает вид $-(8-4)x + 12 = 0 \Rightarrow -4x+12=0 \Rightarrow x=3$. Проверим условие $ax+2 \ge 0$: $(-1)(3)+2 = -1 < 0$. Условие не выполнено. При $a=-1$ решений нет.

2. Если $1-a^2 \ne 0$, решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-(8+4a))^2 - 4(1-a^2)(12) = 16(2+a)^2 - 48(1-a^2) = 16(4+4a+a^2) - 48+48a^2 = 64+64a+16a^2-48+48a^2 = 64a^2+64a+16 = 16(4a^2+4a+1) = 16(2a+1)^2 = (4(2a+1))^2$.

Корни уравнения: $x = \frac{8+4a \pm \sqrt{16(2a+1)^2}}{2(1-a^2)} = \frac{4(2+a) \pm 4(2a+1)}{2(1-a^2)} = \frac{2(2+a) \pm 2(2a+1)}{1-a^2}$.
$x_1 = \frac{4+2a+4a+2}{1-a^2} = \frac{6a+6}{1-a^2} = \frac{6(a+1)}{(1-a)(1+a)} = \frac{6}{1-a}$.
$x_2 = \frac{4+2a-(4a+2)}{1-a^2} = \frac{2-2a}{1-a^2} = \frac{2(1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{2}{1+a}$.

Корни совпадают при $D=0$, то есть при $2a+1=0 \Rightarrow a=-1/2$. В этом случае $x=4$.

Проверим для каждого корня условие $ax+2 \ge 0$.
- Для $x_1 = \frac{6}{1-a}$: $a(\frac{6}{1-a}) + 2 = \frac{6a+2(1-a)}{1-a} = \frac{4a+2}{1-a} \ge 0$. Методом интервалов получаем $a \in [-1/2, 1)$.
- Для $x_2 = \frac{2}{1+a}$: $a(\frac{2}{1+a}) + 2 = \frac{2a+2(1+a)}{1+a} = \frac{4a+2}{1+a} \ge 0$. Методом интервалов получаем $a \in (-\infty, -1) \cup [-1/2, \infty)$.

Сведем результаты в таблицу и определим количество решений:

• При $a \in (-\infty, -1)$: $x_1$ не является решением, $x_2$ является решением. Одно решение.
• При $a = -1$: Нет решений.
• При $a \in (-1, -1/2)$: ни $x_1$, ни $x_2$ не являются решениями. Нет решений.
• При $a = -1/2$: $x_1=x_2=4$, и оба условия выполнены. Одно решение.
• При $a \in (-1/2, 1)$: $x_1$ и $x_2$ являются различными решениями. Два решения.
• При $a = 1$: Одно решение ($x=1$).
• При $a \in (1, \infty)$: $x_1$ не является решением, $x_2$ является решением. Одно решение.

Объединяя интервалы, получаем:

Ответ: при $a \in (-1/2, 1)$ — два решения; при $a \in (-\infty, -1) \cup \{-1/2\} \cup [1, \infty)$ — одно решение; при $a \in [-1, -1/2)$ — нет решений.