Номер 15.27, страница 366 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.27, страница 366.

Условие.

15.27 a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + y = -1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x - y = -1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + y = -1 \end{cases} $$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную y через x:

$y = -1 - x$

Подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$x^2 + (-1 - x)^2 = a$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$x^2 + (1 + 2x + x^2) = a$

$2x^2 + 2x + 1 = a$

Перенесем a в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$2x^2 + 2x + (1 - a) = 0$

Количество решений исходной системы совпадает с количеством корней этого квадратного уравнения относительно x. Количество корней, в свою очередь, зависит от знака дискриминанта D.

Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$, где $A=2$, $B=2$, $C = 1 - a$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 4 - 8(1 - a) = 4 - 8 + 8a = 8a - 4$

Теперь проанализируем количество решений в зависимости от значения a:

1. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, а значит, система не имеет решений.

$8a - 4 < 0 \implies 8a < 4 \implies a < \frac{1}{2}$

2. Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, значит, система имеет одно решение.

$8a - 4 = 0 \implies 8a = 4 \implies a = \frac{1}{2}$

3. Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, значит, система имеет два решения.

$8a - 4 > 0 \implies 8a > 4 \implies a > \frac{1}{2}$

Ответ: если $a < \frac{1}{2}$, то решений нет; если $a = \frac{1}{2}$, то одно решение; если $a > \frac{1}{2}$, то два решения.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x - y = -1 \end{cases} $$

Решим эту систему также методом подстановки. Из второго уравнения выразим x:

$x = y - 1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y - 1)^2 + y^2 = a$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - 2y + 1) + y^2 = a$

$2y^2 - 2y + 1 = a$

Перенесем a в левую часть:

$2y^2 - 2y + (1 - a) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно y. Найдем его дискриминант D по формуле $D = B^2 - 4AC$, где $A=2$, $B=-2$, $C = 1 - a$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 4 - 8(1 - a) = 4 - 8 + 8a = 8a - 4$

Дискриминант этого уравнения оказался таким же, как и в пункте а). Следовательно, исследование количества решений будет идентичным.

1. Если $D < 0$, то есть $a < \frac{1}{2}$, система не имеет решений.

2. Если $D = 0$, то есть $a = \frac{1}{2}$, система имеет одно решение.

3. Если $D > 0$, то есть $a > \frac{1}{2}$, система имеет два решения.

Ответ: если $a < \frac{1}{2}$, то решений нет; если $a = \frac{1}{2}$, то одно решение; если $a > \frac{1}{2}$, то два решения.