Страница 366 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

ИССЛЕДУЕМ. Для каждого значения параметра a решите систему уравнений (15.24–15.29):

15.24 а) $\begin{cases} (a - 1)y = a + 1 \\ x + y = a; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (a + 1)y = a + 2 \\ x + y = a; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (a - 1)y = a + 3 \\ x - y = a; \end{cases}$

г) $\begin{cases} (a + 1)y = a + 4 \\ x - y = a. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} (a - 1)y = a + 1 \\ x + y = a \end{cases} $

Для решения системы исследуем первое уравнение $(a - 1)y = a + 1$ относительно переменной $y$. Решение зависит от значения параметра $a$.

Случай 1: Коэффициент при $y$ не равен нулю, то есть $a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$.
В этом случае можно выразить $y$ из первого уравнения: $y = \frac{a+1}{a-1}$.
Теперь подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы $x + y = a$ и найдем $x$:
$x = a - y = a - \frac{a+1}{a-1} = \frac{a(a-1) - (a+1)}{a-1} = \frac{a^2 - a - a - 1}{a-1} = \frac{a^2 - 2a - 1}{a-1}$.
Таким образом, при $a \neq 1$ система имеет единственное решение.

Случай 2: Коэффициент при $y$ равен нулю, то есть $a - 1 = 0 \implies a = 1$.
Подставим значение $a=1$ в первое уравнение системы:
$(1 - 1)y = 1 + 1$
$0 \cdot y = 2$
Это уравнение не имеет решений, так как не существует такого значения $y$, которое при умножении на 0 дало бы 2. Следовательно, при $a=1$ вся система уравнений не имеет решений.

Ответ:
если $a \neq 1$, то $x = \frac{a^2 - 2a - 1}{a-1}$, $y = \frac{a+1}{a-1}$;
если $a = 1$, то решений нет.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} (a + 1)y = a + 2 \\ x + y = a \end{cases} $

Рассмотрим первое уравнение $(a + 1)y = a + 2$. Решение зависит от коэффициента при $y$.

Случай 1: Коэффициент при $y$ не равен нулю, то есть $a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$.
В этом случае выражаем $y$:
$y = \frac{a+2}{a+1}$.
Подставляем $y$ во второе уравнение $x + y = a$ для нахождения $x$:
$x = a - y = a - \frac{a+2}{a+1} = \frac{a(a+1) - (a+2)}{a+1} = \frac{a^2 + a - a - 2}{a+1} = \frac{a^2 - 2}{a+1}$.
При $a \neq -1$ система имеет единственное решение.

Случай 2: Коэффициент при $y$ равен нулю, то есть $a + 1 = 0 \implies a = -1$.
Подставим $a=-1$ в первое уравнение:
$(-1 + 1)y = -1 + 2$
$0 \cdot y = 1$
Данное уравнение не имеет решений. Следовательно, при $a=-1$ система не имеет решений.

Ответ:
если $a \neq -1$, то $x = \frac{a^2 - 2}{a+1}$, $y = \frac{a+2}{a+1}$;
если $a = -1$, то решений нет.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} (a - 1)y = a + 3 \\ x - y = a \end{cases} $

Проанализируем первое уравнение $(a - 1)y = a + 3$.

Случай 1: Коэффициент при $y$ не равен нулю, то есть $a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$.
Выражаем $y$:
$y = \frac{a+3}{a-1}$.
Из второго уравнения $x - y = a$ выражаем $x = a + y$. Подставляем найденное значение $y$:
$x = a + \frac{a+3}{a-1} = \frac{a(a-1) + (a+3)}{a-1} = \frac{a^2 - a + a + 3}{a-1} = \frac{a^2 + 3}{a-1}$.
При $a \neq 1$ система имеет единственное решение.

Случай 2: Коэффициент при $y$ равен нулю, то есть $a - 1 = 0 \implies a = 1$.
Подставим $a=1$ в первое уравнение:
$(1 - 1)y = 1 + 3$
$0 \cdot y = 4$
Уравнение не имеет решений, а значит и вся система не имеет решений при $a=1$.

Ответ:
если $a \neq 1$, то $x = \frac{a^2 + 3}{a-1}$, $y = \frac{a+3}{a-1}$;
если $a = 1$, то решений нет.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} (a + 1)y = a + 4 \\ x - y = a \end{cases} $

Исследуем первое уравнение $(a + 1)y = a + 4$.

Случай 1: Коэффициент при $y$ не равен нулю, то есть $a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$.
Выражаем $y$:
$y = \frac{a+4}{a+1}$.
Из второго уравнения $x - y = a$ получаем $x = a + y$. Подставляем $y$:
$x = a + \frac{a+4}{a+1} = \frac{a(a+1) + (a+4)}{a+1} = \frac{a^2 + a + a + 4}{a+1} = \frac{a^2 + 2a + 4}{a+1}$.
При $a \neq -1$ система имеет единственное решение.

Случай 2: Коэффициент при $y$ равен нулю, то есть $a + 1 = 0 \implies a = -1$.
Подставим $a=-1$ в первое уравнение:
$(-1 + 1)y = -1 + 4$
$0 \cdot y = 3$
Это уравнение не имеет решений. Следовательно, и система не имеет решений при $a=-1$.

Ответ:
если $a \neq -1$, то $x = \frac{a^2 + 2a + 4}{a+1}$, $y = \frac{a+4}{a+1}$;
если $a = -1$, то решений нет.

15.25 a) $\begin{cases} (a - 1)y = a^2 - 1 \\ x + y = a; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (a + 1)y = a^2 - 1 \\ x + y = a; \end{cases}$

В) $\begin{cases} (a - 1)y = a^2 - 1 \\ x - y = a; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} (a + 1)y = a^2 - 1 \\ x - y = a. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений с параметром $a$:

$\begin{cases} (a - 1)y = a^2 - 1 \\ x + y = a \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы. Разложим правую часть на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.

Первое уравнение принимает вид: $(a - 1)y = (a - 1)(a + 1)$.

Решение этого уравнения зависит от значения параметра $a$. Рассмотрим два случая.

1. Если коэффициент при $y$ не равен нулю, то есть $a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(a - 1)$:

$y = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1} = a + 1$.

Теперь подставим найденное значение $y$ во второе уравнение системы, чтобы найти $x$:

$x + (a + 1) = a$

$x = a - a - 1$

$x = -1$.

Таким образом, при $a \neq 1$ система имеет единственное решение: $x = -1, y = a + 1$.

2. Если коэффициент при $y$ равен нулю, то есть $a - 1 = 0 \implies a = 1$.

Подставим $a=1$ в исходную систему уравнений:

$\begin{cases} (1 - 1)y = 1^2 - 1 \\ x + y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot y = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$

Первое уравнение, $0 \cdot y = 0$, является верным равенством для любого значения $y$. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений. Все решения лежат на прямой, заданной вторым уравнением $x + y = 1$.

Выразим $x$ через $y$: $x = 1 - y$.

Решениями системы являются все пары чисел $(1 - y, y)$, где $y$ — любое действительное число. Обозначив $y = t$, где $t \in \mathbb{R}$, получим решения в виде $(1 - t, t)$.

Ответ: при $a = 1$ система имеет бесконечное множество решений вида $(1-t, t)$, где $t \in \mathbb{R}$; при $a \neq 1$ система имеет единственное решение $x=-1, y=a+1$.

б)

Дана система уравнений с параметром $a$:

$\begin{cases} (a + 1)y = a^2 - 1 \\ x + y = a \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение. Преобразуем правую часть: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.

Уравнение принимает вид: $(a + 1)y = (a - 1)(a + 1)$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$.

Разделим обе части уравнения на $(a + 1)$:

$y = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1} = a - 1$.

Подставим $y = a - 1$ во второе уравнение системы:

$x + (a - 1) = a$

$x = a - a + 1$

$x = 1$.

Следовательно, при $a \neq -1$ система имеет единственное решение: $x = 1, y = a - 1$.

2. Если $a + 1 = 0 \implies a = -1$.

Подставим $a=-1$ в исходную систему:

$\begin{cases} (-1 + 1)y = (-1)^2 - 1 \\ x + y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot y = 0 \\ x + y = -1 \end{cases}$

Первое уравнение $0 \cdot y = 0$ верно для любого $y$. Система имеет бесконечное множество решений, которые удовлетворяют второму уравнению $x + y = -1$.

Выразим $x$ через $y$: $x = -1 - y$.

Обозначив $y = t$, где $t \in \mathbb{R}$, получим решения в виде $(-1 - t, t)$.

Ответ: при $a = -1$ система имеет бесконечное множество решений вида $(-1-t, t)$, где $t \in \mathbb{R}$; при $a \neq -1$ система имеет единственное решение $x=1, y=a-1$.

в)

Дана система уравнений с параметром $a$:

$\begin{cases} (a - 1)y = a^2 - 1 \\ x - y = a \end{cases}$

Первое уравнение, как и в пункте а), принимает вид: $(a - 1)y = (a - 1)(a + 1)$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$.

Из первого уравнения получаем $y = a + 1$.

Подставим это значение во второе уравнение системы:

$x - (a + 1) = a$

$x = a + a + 1$

$x = 2a + 1$.

При $a \neq 1$ система имеет единственное решение: $x = 2a + 1, y = a + 1$.

2. Если $a - 1 = 0 \implies a = 1$.

Подставим $a=1$ в систему:

$\begin{cases} (1 - 1)y = 1^2 - 1 \\ x - y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot y = 0 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Первое уравнение $0 \cdot y = 0$ истинно для любого $y$. Система имеет бесконечное множество решений, удовлетворяющих уравнению $x - y = 1$.

Выразим $x$ через $y$: $x = 1 + y$.

Обозначив $y = t$, где $t \in \mathbb{R}$, получим решения в виде $(1 + t, t)$.

Ответ: при $a = 1$ система имеет бесконечное множество решений вида $(1+t, t)$, где $t \in \mathbb{R}$; при $a \neq 1$ система имеет единственное решение $x=2a+1, y=a+1$.

г)

Дана система уравнений с параметром $a$:

$\begin{cases} (a + 1)y = a^2 - 1 \\ x - y = a \end{cases}$

Первое уравнение, как и в пункте б), принимает вид: $(a + 1)y = (a - 1)(a + 1)$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$.

Из первого уравнения получаем $y = a - 1$.

Подставим это значение во второе уравнение системы:

$x - (a - 1) = a$

$x = a + a - 1$

$x = 2a - 1$.

При $a \neq -1$ система имеет единственное решение: $x = 2a - 1, y = a - 1$.

2. Если $a + 1 = 0 \implies a = -1$.

Подставим $a=-1$ в систему:

$\begin{cases} (-1 + 1)y = (-1)^2 - 1 \\ x - y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot y = 0 \\ x - y = -1 \end{cases}$

Первое уравнение $0 \cdot y = 0$ истинно для любого $y$. Система имеет бесконечное множество решений, удовлетворяющих уравнению $x - y = -1$.

Выразим $x$ через $y$: $x = y - 1$.

Обозначив $y = t$, где $t \in \mathbb{R}$, получим решения в виде $(t - 1, t)$.

Ответ: при $a = -1$ система имеет бесконечное множество решений вида $(t-1, t)$, где $t \in \mathbb{R}$; при $a \neq -1$ система имеет единственное решение $x=2a-1, y=a-1$.

15.26 a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x - y = 1. \end{cases}$

а)
Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + y = 1 \end{cases} $$
Для решения этой системы методом подстановки выразим переменную $y$ из второго уравнения: $y = 1 - x$.
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:
$x^2 + (1 - x)^2 = a$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 1 - 2x + x^2 = a$
$2x^2 - 2x + 1 - a = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Количество решений этого уравнения (и, соответственно, исходной системы) зависит от знака его дискриминанта $D$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 4 - 8(1 - a) = 4 - 8 + 8a = 8a - 4$.
Рассмотрим три возможных случая:
1. Система не имеет действительных решений, если дискриминант $D < 0$.
$8a - 4 < 0 \implies 8a < 4 \implies a < \frac{1}{2}$.
2. Система имеет одно единственное решение, если дискриминант $D = 0$.
$8a - 4 = 0 \implies 8a = 4 \implies a = \frac{1}{2}$.
При $a = \frac{1}{2}$ найдем корень уравнения для $x$:
$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Теперь найдем соответствующее значение $y$:
$y = 1 - x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, при $a = \frac{1}{2}$ решение одно: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
3. Система имеет два различных решения, если дискриминант $D > 0$.
$8a - 4 > 0 \implies 8a > 4 \implies a > \frac{1}{2}$.
При $a > \frac{1}{2}$ найдем два корня уравнения для $x$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{8a - 4}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm \sqrt{4(2a - 1)}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2a - 1}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{2a - 1}}{2}$.
Получаем два значения $x$:
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}$.
Для каждого $x$ найдем соответствующий $y$:
$y_1 = 1 - x_1 = 1 - \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{2 - (1 + \sqrt{2a - 1})}{2} = \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}$.
$y_2 = 1 - x_2 = 1 - \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{2 - (1 - \sqrt{2a - 1})}{2} = \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}$.
Таким образом, при $a > \frac{1}{2}$ имеем два решения: $(\frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2})$ и $(\frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2})$.
Ответ: если $a < \frac{1}{2}$, то решений нет; если $a = \frac{1}{2}$, то одно решение $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$; если $a > \frac{1}{2}$, то два решения $(\frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2})$ и $(\frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2})$.

б)
Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x - y = 1 \end{cases} $$
Из второго уравнения выразим переменную $x$: $x = 1 + y$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$(1 + y)^2 + y^2 = a$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$1 + 2y + y^2 + y^2 = a$
$2y^2 + 2y + 1 - a = 0$
Получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его дискриминант $D$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 4 - 8(1 - a) = 4 - 8 + 8a = 8a - 4$.
Значение дискриминанта и условия на параметр $a$ совпадают с предыдущим пунктом.
1. Система не имеет действительных решений при $D < 0$, то есть при $a < \frac{1}{2}$.
2. Система имеет одно решение при $D = 0$, то есть при $a = \frac{1}{2}$.
Найдем корень уравнения для $y$:
$y = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$.
Теперь найдем соответствующее значение $x$:
$x = 1 + y = 1 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
Решение: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.
3. Система имеет два различных решения при $D > 0$, то есть при $a > \frac{1}{2}$.
Найдем корни уравнения для $y$:
$y = \frac{-2 \pm \sqrt{8a - 4}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4(2a - 1)}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2a - 1}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{2a - 1}}{2}$.
Получаем два значения $y$:
$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2}$ и $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2}$.
Для каждого $y$ найдем соответствующий $x$:
$x_1 = 1 + y_1 = 1 + \frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{2 - 1 + \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}$.
$x_2 = 1 + y_2 = 1 + \frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{2 - 1 - \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}$.
Таким образом, при $a > \frac{1}{2}$ имеем два решения: $(\frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2})$ и $(\frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2})$.
Ответ: если $a < \frac{1}{2}$, то решений нет; если $a = \frac{1}{2}$, то одно решение $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$; если $a > \frac{1}{2}$, то два решения $(\frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2})$ и $(\frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2})$.

15.27 a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + y = -1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x - y = -1. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + y = -1 \end{cases} $$

Для решения этой системы используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим переменную y через x:

$y = -1 - x$

Подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:

$x^2 + (-1 - x)^2 = a$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$x^2 + (1 + 2x + x^2) = a$

$2x^2 + 2x + 1 = a$

Перенесем a в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$2x^2 + 2x + (1 - a) = 0$

Количество решений исходной системы совпадает с количеством корней этого квадратного уравнения относительно x. Количество корней, в свою очередь, зависит от знака дискриминанта D.

Вычислим дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$, где $A=2$, $B=2$, $C = 1 - a$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 4 - 8(1 - a) = 4 - 8 + 8a = 8a - 4$

Теперь проанализируем количество решений в зависимости от значения a:

1. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, а значит, система не имеет решений.

$8a - 4 < 0 \implies 8a < 4 \implies a < \frac{1}{2}$

2. Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень, значит, система имеет одно решение.

$8a - 4 = 0 \implies 8a = 4 \implies a = \frac{1}{2}$

3. Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, значит, система имеет два решения.

$8a - 4 > 0 \implies 8a > 4 \implies a > \frac{1}{2}$

Ответ: если $a < \frac{1}{2}$, то решений нет; если $a = \frac{1}{2}$, то одно решение; если $a > \frac{1}{2}$, то два решения.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x - y = -1 \end{cases} $$

Решим эту систему также методом подстановки. Из второго уравнения выразим x:

$x = y - 1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y - 1)^2 + y^2 = a$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - 2y + 1) + y^2 = a$

$2y^2 - 2y + 1 = a$

Перенесем a в левую часть:

$2y^2 - 2y + (1 - a) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно y. Найдем его дискриминант D по формуле $D = B^2 - 4AC$, где $A=2$, $B=-2$, $C = 1 - a$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 4 - 8(1 - a) = 4 - 8 + 8a = 8a - 4$

Дискриминант этого уравнения оказался таким же, как и в пункте а). Следовательно, исследование количества решений будет идентичным.

1. Если $D < 0$, то есть $a < \frac{1}{2}$, система не имеет решений.

2. Если $D = 0$, то есть $a = \frac{1}{2}$, система имеет одно решение.

3. Если $D > 0$, то есть $a > \frac{1}{2}$, система имеет два решения.

Ответ: если $a < \frac{1}{2}$, то решений нет; если $a = \frac{1}{2}$, то одно решение; если $a > \frac{1}{2}$, то два решения.

15.28 a) $$\begin{cases}\sin 2x \cos y = -a^2 - 1 \\\sin y \cos 2x = a\end{cases}$$

б) $$\begin{cases}\sin 3x \cos 2y = -a^2 - 1 \\\sin 2y \cos 3x = a + 1\end{cases}$$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin 2x \cos y = -a^2 - 1 \\ \sin y \cos 2x = a \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся формулами синуса суммы и разности двух углов: $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$.

Сложим левые и правые части уравнений системы:

$\sin 2x \cos y + \cos 2x \sin y = -a^2 - 1 + a$

$\sin(2x + y) = -a^2 + a - 1$

Вычтем из первого уравнения второе:

$\sin 2x \cos y - \cos 2x \sin y = -a^2 - 1 - a$

$\sin(2x - y) = -a^2 - a - 1$

Для того чтобы система имела решения, необходимо, чтобы значения синусов находились в отрезке $[-1, 1]$. Таким образом, должны выполняться два условия:

$ \begin{cases} -1 \le -a^2 + a - 1 \le 1 \\ -1 \le -a^2 - a - 1 \le 1 \end{cases} $

Рассмотрим первое двойное неравенство: $-1 \le -a^2 + a - 1 \le 1$.

Оно эквивалентно системе:

$ \begin{cases} -a^2 + a - 1 \ge -1 \\ -a^2 + a - 1 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -a^2 + a \ge 0 \\ -a^2 + a - 2 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a^2 - a \le 0 \\ a^2 - a + 2 \ge 0 \end{cases} $

Решаем первое неравенство: $a(a-1) \le 0$, что дает $a \in [0, 1]$.

Для второго неравенства $a^2 - a + 2 \ge 0$ вычислим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$. Так как ветви параболы направлены вверх, это неравенство выполняется для всех действительных $a$.

Таким образом, решение первого двойного неравенства: $a \in [0, 1]$.

Рассмотрим второе двойное неравенство: $-1 \le -a^2 - a - 1 \le 1$.

Оно эквивалентно системе:

$ \begin{cases} -a^2 - a - 1 \ge -1 \\ -a^2 - a - 1 \le 1 \end{cases} \implies \begin{cases} -a^2 - a \ge 0 \\ -a^2 - a - 2 \le 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a^2 + a \le 0 \\ a^2 + a + 2 \ge 0 \end{cases} $

Решаем первое неравенство: $a(a+1) \le 0$, что дает $a \in [-1, 0]$.

Для второго неравенства $a^2 + a + 2 \ge 0$ дискриминант: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -7 < 0$. Неравенство выполняется для всех действительных $a$.

Таким образом, решение второго двойного неравенства: $a \in [-1, 0]$.

Для существования решения исходной системы необходимо, чтобы параметр $a$ удовлетворял обоим условиям. Найдем пересечение полученных множеств:

$[0, 1] \cap [-1, 0] = \{0\}$

Единственное возможное значение параметра — $a = 0$. Проверим, существуют ли решения при $a=0$. Система принимает вид:

$ \begin{cases} \sin(2x + y) = -1 \\ \sin(2x - y) = -1 \end{cases} $

Эта система имеет решения. Например:

$ \begin{cases} 2x + y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \\ 2x - y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \end{cases} $

Сложив уравнения, получим $4x = -\pi + 2\pi(k+n)$, откуда $x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}(k+n)$. Вычитая второе из первого, получим $2y = 2\pi(k-n)$, откуда $y = \pi(k-n)$.

Так как при $a=0$ решения существуют, это значение является ответом.

Ответ: $a = 0$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \sin 3x \cos 2y = -a^2 - 1 \\ \sin 2y \cos 3x = a + 1 \end{cases} $

Как и в предыдущем пункте, применим формулы синуса суммы и разности. Сложим уравнения:

$\sin 3x \cos 2y + \cos 3x \sin 2y = -a^2 - 1 + a + 1$

$\sin(3x + 2y) = -a^2 + a$

Вычтем из первого уравнения второе:

$\sin 3x \cos 2y - \cos 3x \sin 2y = -a^2 - 1 - (a + 1)$

$\sin(3x - 2y) = -a^2 - a - 2$

Для существования решений системы необходимо, чтобы правые части полученных уравнений принадлежали отрезку $[-1, 1]$. Рассмотрим второе уравнение:

$\sin(3x - 2y) = -a^2 - a - 2$

Значение $\sin(3x - 2y)$ должно быть в пределах от -1 до 1. Проанализируем правую часть $f(a) = -a^2 - a - 2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем ее максимальное значение. Вершина параболы находится в точке $a_0 = -\frac{-1}{2(-1)} = -\frac{1}{2}$.

Максимальное значение функции равно:

$f(-\frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) - 2 = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - 2 = -\frac{7}{4}$

Поскольку максимальное значение выражения $-a^2 - a - 2$ равно $-\frac{7}{4}$, а $-\frac{7}{4} < -1$, то правая часть уравнения $\sin(3x - 2y) = -a^2 - a - 2$ всегда меньше -1 при любом действительном значении $a$.

Так как область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, равенство $\sin(3x - 2y) = -a^2 - a - 2$ не может выполняться ни при каких значениях $x, y, a$.

Следовательно, система не имеет решений ни при каком значении параметра $a$.

Ответ: решений нет.