Страница 359 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

ИССЛЕДУЕМ. Для каждого значения параметра $a$ решите уравнение (15.1–15.8):

15.1 а) $(a - 2)x = a^2 - 4;$

б) $(a + 2)x = a^2 - 4;$

в) $(a + 3)x = a^2 - 9;$

г) $(a - 4)x = a^2 - 16.$

а) Дано уравнение $ (a - 2)x = a^2 - 4 $. Это линейное уравнение относительно переменной $x$ с параметром $a$. Воспользуемся формулой разности квадратов для правой части: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$. Уравнение принимает вид: $ (a - 2)x = (a - 2)(a + 2) $. Для решения необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от коэффициента при $x$.
1. Если коэффициент при $x$ не равен нулю: $ a - 2 \neq 0 $, то есть $ a \neq 2 $. В этом случае можно разделить обе части уравнения на $ (a - 2) $, получив единственное решение: $ x = \frac{(a - 2)(a + 2)}{a - 2} $ $ x = a + 2 $.
2. Если коэффициент при $x$ равен нулю: $ a - 2 = 0 $, то есть $ a = 2 $. Подставим это значение параметра в исходное уравнение: $ (2 - 2)x = 2^2 - 4 $ $ 0 \cdot x = 4 - 4 $ $ 0 \cdot x = 0 $. Это равенство является верным для любого значения $x$. Следовательно, решением уравнения является любое число.
Ответ: если $a=2$, то $x$ — любое число; если $a \neq 2$, то $x = a+2$.

б) Дано уравнение $ (a + 2)x = a^2 - 4 $. Разложим правую часть на множители: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$. Уравнение принимает вид: $ (a + 2)x = (a - 2)(a + 2) $. Рассмотрим два случая.
1. Если $ a + 2 \neq 0 $, то есть $ a \neq -2 $. Разделим обе части на $ (a + 2) $: $ x = \frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 2} $ $ x = a - 2 $.
2. Если $ a + 2 = 0 $, то есть $ a = -2 $. Подставим $ a = -2 $ в исходное уравнение: $ (-2 + 2)x = (-2)^2 - 4 $ $ 0 \cdot x = 4 - 4 $ $ 0 \cdot x = 0 $. Равенство верно для любого значения $x$.
Ответ: если $a=-2$, то $x$ — любое число; если $a \neq -2$, то $x = a-2$.

в) Дано уравнение $ (a + 3)x = a^2 - 9 $. Разложим правую часть на множители: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$. Уравнение принимает вид: $ (a + 3)x = (a - 3)(a + 3) $. Рассмотрим два случая.
1. Если $ a + 3 \neq 0 $, то есть $ a \neq -3 $. Разделим обе части на $ (a + 3) $: $ x = \frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 3} $ $ x = a - 3 $.
2. Если $ a + 3 = 0 $, то есть $ a = -3 $. Подставим $ a = -3 $ в исходное уравнение: $ (-3 + 3)x = (-3)^2 - 9 $ $ 0 \cdot x = 9 - 9 $ $ 0 \cdot x = 0 $. Равенство верно для любого значения $x$.
Ответ: если $a=-3$, то $x$ — любое число; если $a \neq -3$, то $x = a-3$.

г) Дано уравнение $ (a - 4)x = a^2 - 16 $. Разложим правую часть на множители: $a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)$. Уравнение принимает вид: $ (a - 4)x = (a - 4)(a + 4) $. Рассмотрим два случая.
1. Если $ a - 4 \neq 0 $, то есть $ a \neq 4 $. Разделим обе части на $ (a - 4) $: $ x = \frac{(a - 4)(a + 4)}{a - 4} $ $ x = a + 4 $.
2. Если $ a - 4 = 0 $, то есть $ a = 4 $. Подставим $ a = 4 $ в исходное уравнение: $ (4 - 4)x = 4^2 - 16 $ $ 0 \cdot x = 16 - 16 $ $ 0 \cdot x = 0 $. Равенство верно для любого значения $x$.
Ответ: если $a=4$, то $x$ — любое число; если $a \neq 4$, то $x = a+4$.