Страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите систему уравнений (14.38–14.45):

14.38 а) $\begin{cases} 2x^2 + 1 = y - |\sin x| \\ \operatorname{tg}^2 x + y^2 = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2^{|x|} + |x| = y + x^2 \\ x^2 + y^2 = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x^5 + y^5 = 1. \end{cases}$

14.39 а) $ \begin{cases} y^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0 \\ z^3 - 6y^2 + 12y - 8 = 0 \\ x^3 - 6z^2 + 12z - 8 = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (x+3)^3 = 3 - 2y \\ (\sqrt{z})^4 + 4y^2 = 8y \\ (2z - x)(x + 3) = 5x + 16. \end{cases} $

а)

Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} y^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0 \\ z^3 - 6y^2 + 12y - 8 = 0 \\ x^3 - 6z^2 + 12z - 8 = 0 \end{cases} $$

Перепишем уравнения, перенеся часть слагаемых в правую часть:

$$ \begin{cases} y^3 = 6x^2 - 12x + 8 \\ z^3 = 6y^2 - 12y + 8 \\ x^3 = 6z^2 - 12z + 8 \end{cases} $$

Правые части уравнений имеют одинаковую структуру. Введем функцию $f(t) = 6t^2 - 12t + 8$. Выделив полный квадрат, получим: $f(t) = 6(t^2 - 2t) + 8 = 6(t^2 - 2t + 1 - 1) + 8 = 6(t-1)^2 - 6 + 8 = 6(t-1)^2 + 2$.

Система принимает вид:

$$ \begin{cases} y^3 = f(x) \\ z^3 = f(y) \\ x^3 = f(z) \end{cases} $$

Поскольку $(t-1)^2 \ge 0$ для любого действительного $t$, минимальное значение функции $f(t)$ равно $f(1)=2$. Следовательно, $f(t) \ge 2$ для всех $t$. Из этого следует, что $y^3 \ge 2$, $z^3 \ge 2$, $x^3 \ge 2$. Отсюда $y \ge \sqrt[3]{2}$, $z \ge \sqrt[3]{2}$, $x \ge \sqrt[3]{2}$. Так как $\sqrt[3]{2} \approx 1.26$, то $x, y, z > 1$.

Рассмотрим поведение функций. Функция $g(t) = t^3$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Функция $f(t) = 6(t-1)^2 + 2$ на промежутке $(1, +\infty)$ также является строго возрастающей.

Предположим, что $x > y$. Поскольку $x, y > 1$, а на этом промежутке функция $f(t)$ возрастает, то $f(x) > f(y)$. Это означает, что $y^3 > z^3$. Так как функция $t^3$ возрастающая, то $y > z$. Из $y > z$ (где $y, z > 1$) следует, что $f(y) > f(z)$, то есть $z^3 > x^3$. Отсюда $z > x$. Мы получили противоречивую цепочку неравенств: $x > y > z > x$. Следовательно, наше предположение $x > y$ неверно.

Аналогично, если предположить, что $x < y$, мы получим $f(x) < f(y) \implies y^3 < z^3 \implies y < z$. Далее, $f(y) < f(z) \implies z^3 < x^3 \implies z < x$. Это приводит к противоречию $x < y < z < x$. Следовательно, предположение $x < y$ также неверно.

Единственной оставшейся возможностью является $x = y$. Если $x = y$, то $f(x) = f(y)$, что ведет к $y^3 = z^3$, и, следовательно, $y = z$. Таким образом, мы должны иметь $x = y = z$.

Подставим $x=y=z$ в любое из уравнений системы, например, в третье:

$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0$

Заметим, что левая часть является разложением куба разности: $(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

Таким образом, уравнение принимает вид $(x-2)^3 = 0$, откуда $x-2 = 0$, то есть $x=2$. Поскольку $x=y=z$, единственным решением системы является $(2, 2, 2)$.

Ответ: $(2, 2, 2)$.

б)

Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x+3)^3 = 3 - 2y \\ (\sqrt{z})^4 + 4y^2 = 8y \\ (2z-x)(x+3) = 5x + 16 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение. ОДЗ: $z \ge 0$.

Второе уравнение: $(\sqrt{z})^4 = z^2$. $z^2 + 4y^2 - 8y = 0$. Выделим полный квадрат: $z^2 + (4y^2 - 8y + 4) - 4 = 0 \implies z^2 + 4(y-1)^2 = 4$. Разделив на 4, получаем $\frac{z^2}{4} + (y-1)^2 = 1$. Из этого уравнения эллипса следуют ограничения: $0 \le y \le 2$ и $0 \le z \le 2$.

Третье уравнение: $2z(x+3) - x(x+3) = 5x + 16 \implies 2z(x+3) = x^2+3x+5x+16 \implies 2z(x+3) = x^2+8x+16$. Правая часть является полным квадратом: $2z(x+3) = (x+4)^2$.

Сделаем замену $A = x+3$. Тогда $x=A-3$ и $x+4=A+1$. Система примет вид: 1) $A^3 = 3 - 2y$ 2) $\frac{z^2}{4} + (y-1)^2 = 1$ 3) $2zA = (A+1)^2$

Из уравнения (1) и ограничения $0 \le y \le 2$ найдем диапазон для $A$: $-1 = 3-2(2) \le 3-2y \le 3-2(0) = 3$. То есть $-1 \le A^3 \le 3$, откуда $-1 \le A \le \sqrt[3]{3}$.

Рассмотрим уравнение (3): $2zA = (A+1)^2$. Поскольку $z \ge 0$, левая часть $2zA$ имеет тот же знак, что и $A$. Правая часть $(A+1)^2$ всегда неотрицательна. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $A > 0$. Из $2zA = (A+1)^2$ выразим $z$: $z = \frac{(A+1)^2}{2A}$. Так как $z \le 2$, получаем неравенство: $\frac{(A+1)^2}{2A} \le 2$. Поскольку $A>0$, умножим на $2A$: $(A+1)^2 \le 4A \implies A^2+2A+1 \le 4A \implies A^2-2A+1 \le 0 \implies (A-1)^2 \le 0$. Единственное решение этого неравенства — $(A-1)^2=0$, то есть $A=1$. Если $A=1$, то $x+3=1 \implies x=-2$. $z = \frac{(1+1)^2}{2(1)} = 2$. $1^3 = 3-2y \implies 2y=2 \implies y=1$. Получили решение $(-2, 1, 2)$. Проверим его в исходной системе: 1) $(-2+3)^3 = 1^3 = 1$; $3-2(1)=1$. Верно. 2) $(\sqrt{2})^4+4(1)^2=4+4=8$; $8(1)=8$. Верно. 3) $(2(2)-(-2))(-2+3)=(6)(1)=6$; $5(-2)+16=6$. Верно. Решение $(-2, 1, 2)$ подходит.

Случай 2: $A \le 0$. Так как $A \in [-1, \sqrt[3]{3}]$, то $A \in [-1, 0]$. Уравнение $2zA = (A+1)^2$. Левая часть $\le 0$, правая $\ge 0$. Равенство возможно только если обе части равны 0. $(A+1)^2 = 0 \implies A = -1$. $2z(-1)=0 \implies z=0$. Значит, единственная возможность в этом случае — $A=-1$ и $z=0$. Если $A=-1$, то $x+3=-1 \implies x=-4$. Из первого уравнения: $A^3=3-2y \implies (-1)^3 = 3-2y \implies -1=3-2y \implies 2y=4 \implies y=2$. Получили решение $(-4, 2, 0)$. Проверим его в исходной системе: 1) $(-4+3)^3 = (-1)^3 = -1$; $3-2(2)=-1$. Верно. 2) $(\sqrt{0})^4+4(2)^2=16$; $8(2)=16$. Верно. 3) $(2(0)-(-4))(-4+3)=(4)(-1)=-4$; $5(-4)+16=-4$. Верно. Решение $(-4, 2, 0)$ также подходит.

Ответ: $(-2, 1, 2)$, $(-4, 2, 0)$.

14.40 а) $ \begin{cases} (x^2 + xy + y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 185 \\ (x^2 - xy + y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 65; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (x^2 + xy + 2y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 145 \\ (2x^2 - xy + y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 230; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} (3x^2 + 2xy + y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 6\sqrt{2} \\ (x^2 - 2xy + 3y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{2}; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} (x + y) \sqrt{x^2 + y^2} = 221 \\ (x - y) \sqrt{x^2 + y^2} = 91. \end{cases} $

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x^2 + xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 185 \\ (x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 65 \end{cases} $$

Поскольку $\sqrt{x^2 + y^2} > 0$ (случай $x=y=0$ не является решением), мы можем производить операции с уравнениями. Сложим два уравнения системы:

$$(x^2 + xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} + (x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 185 + 65$$

$$(2x^2 + 2y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 250$$

$$2(x^2 + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 250$$

$$(x^2 + y^2)^{3/2} = 125$$

Возведя обе части в степень 2/3, получаем:

$$x^2 + y^2 = 125^{2/3} = (5^3)^{2/3} = 5^2 = 25$$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$$(x^2 + xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} - (x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 185 - 65$$

$$2xy\sqrt{x^2 + y^2} = 120$$

Подставим найденное значение $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{25} = 5$:

$$2xy \cdot 5 = 120$$

$$10xy = 120$$

$$xy = 12$$

Таким образом, исходная система свелась к системе проще:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y = 12/x$ и подставим в первое:

$$x^2 + (\frac{12}{x})^2 = 25$$

$$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$$t^2 - 25t + 144 = 0$$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 9$, $t_2 = 16$.

1. Если $x^2 = 9$, то $x = \pm 3$.
При $x = 3$, $y = 12/3 = 4$.
При $x = -3$, $y = 12/(-3) = -4$.

2. Если $x^2 = 16$, то $x = \pm 4$.
При $x = 4$, $y = 12/4 = 3$.
При $x = -4$, $y = 12/(-4) = -3$.

Ответ: $(3, 4), (-3, -4), (4, 3), (-4, -3)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x^2 + xy + 2y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 145 \\ (2x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 230 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы:

$$(x^2 + xy + 2y^2 + 2x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 145 + 230$$

$$(3x^2 + 3y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 375$$

$$3(x^2 + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 375$$

$$(x^2 + y^2)^{3/2} = 125$$

$$x^2 + y^2 = 125^{2/3} = 25$$

Подставим $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{25} = 5$ в первое уравнение исходной системы:

$$(x^2 + xy + 2y^2) \cdot 5 = 145$$

$$x^2 + xy + 2y^2 = 29$$

Мы знаем, что $x^2 + y^2 = 25$. Преобразуем уравнение:

$$(x^2 + y^2) + y^2 + xy = 29$$

$$25 + y^2 + xy = 29$$

$$y^2 + xy = 4$$

Аналогично, подставим $\sqrt{x^2 + y^2} = 5$ во второе уравнение:

$$(2x^2 - xy + y^2) \cdot 5 = 230$$

$$2x^2 - xy + y^2 = 46$$

$$x^2 + (x^2 + y^2) - xy = 46$$

$$x^2 + 25 - xy = 46$$

$$x^2 - xy = 21$$

Получили систему:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 - xy = 21 \end{cases} $$

Из второго уравнения $xy = x^2 - 21$. Выразим $y = \frac{x^2-21}{x}$ и подставим в первое:

$$x^2 + \left(\frac{x^2-21}{x}\right)^2 = 25$$

$$x^2 + \frac{x^4 - 42x^2 + 441}{x^2} = 25$$

$$x^4 + x^4 - 42x^2 + 441 = 25x^2$$

$$2x^4 - 67x^2 + 441 = 0$$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$$2t^2 - 67t + 441 = 0$$

Дискриминант $D = (-67)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 441 = 4489 - 3528 = 961 = 31^2$.

$$t = \frac{67 \pm 31}{4}$$

Корни: $t_1 = \frac{67+31}{4} = \frac{98}{4} = \frac{49}{2}$ и $t_2 = \frac{67-31}{4} = \frac{36}{4} = 9$.

1. Если $x^2 = 9$, то $x = \pm 3$.
При $x = 3$, $xy = 3^2 - 21 = -12$, тогда $y = -12/3 = -4$.
При $x = -3$, $xy = (-3)^2 - 21 = -12$, тогда $y = -12/(-3) = 4$.

2. Если $x^2 = 49/2$, то $x = \pm \frac{7}{\sqrt{2}} = \pm \frac{7\sqrt{2}}{2}$.
При $x = \frac{7\sqrt{2}}{2}$, $xy = (\frac{7\sqrt{2}}{2})^2 - 21 = \frac{49}{2} - 21 = \frac{7}{2}$, тогда $y = \frac{7/2}{7\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $x = -\frac{7\sqrt{2}}{2}$, $xy = \frac{7}{2}$, тогда $y = \frac{7/2}{-7\sqrt{2}/2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $(3, -4), (-3, 4), (\frac{7\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (-\frac{7\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (3x^2 + 2xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 6\sqrt{2} \\ (x^2 - 2xy + 3y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{2} \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы:

$$(3x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + 3y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$$

$$(4x^2 + 4y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 8\sqrt{2}$$

$$4(x^2 + y^2)^{3/2} = 8\sqrt{2}$$

$$(x^2 + y^2)^{3/2} = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$$

$$x^2 + y^2 = 2$$

Подставим $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2}$ в первое уравнение исходной системы:

$$(3x^2 + 2xy + y^2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

$$3x^2 + 2xy + y^2 = 6$$

Используя $x^2 + y^2 = 2$, преобразуем уравнение:

$$2x^2 + (x^2+y^2) + 2xy = 6$$

$$2x^2 + 2 + 2xy = 6$$

$$2x^2 + 2xy = 4$$

$$x^2 + xy = 2$$

Теперь решаем систему:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2 \\ x^2 + xy = 2 \end{cases} $$

Приравнивая левые части уравнений, получаем:

$$x^2 + y^2 = x^2 + xy$$

$$y^2 = xy$$

$$y^2 - xy = 0$$

$$y(y - x) = 0$$

Это дает два случая:

1. $y = 0$. Подставляем в $x^2+y^2=2$:
$x^2 + 0^2 = 2 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Получаем решения: $(\sqrt{2}, 0)$ и $(-\sqrt{2}, 0)$.

2. $y = x$. Подставляем в $x^2+y^2=2$:
$x^2 + x^2 = 2 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Если $x=1$, то $y=1$. Если $x=-1$, то $y=-1$.
Получаем решения: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Ответ: $(\sqrt{2}, 0), (-\sqrt{2}, 0), (1, 1), (-1, -1)$.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x + y)\sqrt{x^2 + y^2} = 221 \\ (x - y)\sqrt{x^2 + y^2} = 91 \end{cases} $$

Сложим и вычтем уравнения. Обозначим $A = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Сложение уравнений:

$$(x+y)A + (x-y)A = 221+91$$

$$2xA = 312 \implies xA = 156$$

$$x\sqrt{x^2 + y^2} = 156$$

Вычитание второго уравнения из первого:

$$(x+y)A - (x-y)A = 221-91$$

$$2yA = 130 \implies yA = 65$$

$$y\sqrt{x^2 + y^2} = 65$$

Мы получили новую систему:

$$ \begin{cases} x\sqrt{x^2 + y^2} = 156 \\ y\sqrt{x^2 + y^2} = 65 \end{cases} $$

Возведем оба уравнения в квадрат:

$$ \begin{cases} x^2(x^2 + y^2) = 156^2 \\ y^2(x^2 + y^2) = 65^2 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$$x^2(x^2 + y^2) + y^2(x^2 + y^2) = 156^2 + 65^2$$

$$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2) = (12 \cdot 13)^2 + (5 \cdot 13)^2$$

$$(x^2 + y^2)^2 = 144 \cdot 169 + 25 \cdot 169$$

$$(x^2 + y^2)^2 = (144+25) \cdot 169 = 169 \cdot 169 = 169^2$$

Так как $x^2 + y^2 \ge 0$, то $x^2 + y^2 = 169$.

Отсюда $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{169} = 13$.

Подставим это значение обратно в систему $x\sqrt{x^2 + y^2} = 156$ и $y\sqrt{x^2 + y^2} = 65$:

$$x \cdot 13 = 156 \implies x = \frac{156}{13} = 12$$

$$y \cdot 13 = 65 \implies y = \frac{65}{13} = 5$$

Проверка показывает, что $x=12, y=5$ удовлетворяет исходной системе.

Ответ: $(12, 5)$.

14.41 $\begin{cases} x - y + \sqrt{x^2 - 4y^2} = 2 \\ x^5 \cdot \sqrt{x^2 - 4y^2} = 0. \end{cases}$

Решим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} x - y + \sqrt{x^2 - 4y^2} = 2 \\ x^5 \cdot \sqrt{x^2 - 4y^2} = 0 \end{cases} $$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных $x$ и $y$. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $x^2 - 4y^2 \ge 0$ Это неравенство можно разложить на множители как разность квадратов: $(x - 2y)(x + 2y) \ge 0$

Теперь проанализируем второе уравнение системы: $x^5 \cdot \sqrt{x^2 - 4y^2} = 0$. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит нас к двум возможным случаям.

Случай 1: $x^5 = 0$

Из этого уравнения следует, что $x = 0$. Подставим это значение в неравенство ОДЗ: $0^2 - 4y^2 \ge 0$ $-4y^2 \ge 0$ Поскольку $y^2$ всегда неотрицательно ($y^2 \ge 0$), то $-4y^2$ всегда неположительно ($-4y^2 \le 0$). Неравенство $-4y^2 \ge 0$ выполняется только в одном случае, когда $-4y^2 = 0$, что означает $y=0$. Таким образом, единственная пара чисел, которая может быть решением в этом случае, — это $(0, 0)$. Проверим, удовлетворяет ли эта пара первому уравнению системы: $x - y + \sqrt{x^2 - 4y^2} = 2$ $0 - 0 + \sqrt{0^2 - 4 \cdot 0^2} = 2$ $0 + 0 = 2$ $0 = 2$ Мы получили неверное равенство. Следовательно, пара $(0, 0)$ не является решением, и в первом случае решений нет.

Случай 2: $\sqrt{x^2 - 4y^2} = 0$

Если корень равен нулю, то и подкоренное выражение равно нулю: $x^2 - 4y^2 = 0$ $x^2 = 4y^2$ Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x = 2y$ или $x = -2y$. Теперь подставим значение $\sqrt{x^2 - 4y^2} = 0$ в первое уравнение исходной системы: $x - y + 0 = 2$ $x - y = 2$ Теперь нам нужно рассмотреть две системы уравнений, соответствующие двум подслучаям.

Подслучай 2а: Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x = 2y \\ x - y = 2 \end{cases} $$ Подставим $x = 2y$ из первого уравнения во второе: $2y - y = 2$ $y = 2$ Теперь найдем $x$: $x = 2y = 2 \cdot 2 = 4$. Мы получили возможное решение $(4, 2)$. Проверим его, подставив в исходную систему. ОДЗ: $x^2 - 4y^2 = 4^2 - 4 \cdot 2^2 = 16 - 16 = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполнено. Первое уравнение: $4 - 2 + \sqrt{16 - 16} = 2 + 0 = 2$. Равенство верно. Второе уравнение: $4^5 \cdot \sqrt{16 - 16} = 1024 \cdot 0 = 0$. Равенство верно. Значит, пара $(4, 2)$ является решением.

Подслучай 2б: Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} x = -2y \\ x - y = 2 \end{cases} $$ Подставим $x = -2y$ из первого уравнения во второе: $-2y - y = 2$ $-3y = 2$ $y = -2/3$ Теперь найдем $x$: $x = -2y = -2 \cdot (-2/3) = 4/3$. Мы получили возможное решение $(4/3, -2/3)$. Проверим его. ОДЗ: $x^2 - 4y^2 = (4/3)^2 - 4 \cdot (-2/3)^2 = 16/9 - 4 \cdot (4/9) = 16/9 - 16/9 = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполнено. Первое уравнение: $4/3 - (-2/3) + \sqrt{0} = 4/3 + 2/3 = 6/3 = 2$. Равенство верно. Второе уравнение: $(4/3)^5 \cdot \sqrt{0} = 0$. Равенство верно. Значит, пара $(4/3, -2/3)$ также является решением.

Объединив решения из всех случаев, мы получили две пары чисел, которые удовлетворяют исходной системе уравнений.

Ответ: $(4, 2)$, $(4/3, -2/3)$.

14.42* a) $\begin{cases} 2\log_{1-x}(-xy - 2x + y + 2) + \log_{2+y}(x^2 - 2x + 1) = 6 \\ \log_{1-x}(y+5) - \log_{2+y}(x+4) = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_{1+x}(y^2 - 2y + 1) + \log_{1-y}(x^2 + 2x + 1) = 4 \\ \log_{1+x}(2y + 1) + \log_{1-y}(2x + 1) = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2\log_{3+x}(xy + x + 3y + 3) + \log_{1+y}(x^2 + 6x + 9) = 6 \\ \log_{3+x}(0,5 - y) + \log_{1+y}(3x + 8) = 1. \end{cases}$

a)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 2\log_{1-x}(-xy - 2x + y + 2) + \log_{2+y}(x^2 - 2x + 1) = 6 \\ \log_{1-x}(y+5) - \log_{2+y}(x+4) = 1 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

• Основания логарифмов: $1-x > 0 \implies x < 1$; $1-x \neq 1 \implies x \neq 0$; $2+y > 0 \implies y > -2$; $2+y \neq 1 \implies y \neq -1$.
• Аргументы логарифмов: $-xy - 2x + y + 2 > 0$; $x^2 - 2x + 1 > 0 \implies (x-1)^2 > 0 \implies x \neq 1$; $y+5 > 0 \implies y > -5$; $x+4 > 0 \implies x > -4$.

Упростим выражение в первом логарифме: $-xy - 2x + y + 2 = -x(y+2) + (y+2) = (1-x)(y+2)$. Так как по ОДЗ $1-x>0$, то для выполнения условия $(1-x)(y+2)>0$ необходимо $y+2>0$, что совпадает с условием для основания. Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-4; 0) \cup (0; 1)$, $y \in (-2; -1) \cup (-1; \infty)$.

Упростим первое уравнение системы, используя свойства логарифмов и разложения на множители:
$2\log_{1-x}((1-x)(y+2)) + \log_{2+y}((x-1)^2) = 6$
$2(\log_{1-x}(1-x) + \log_{1-x}(y+2)) + 2\log_{2+y}|x-1| = 6$
В ОДЗ $x<1$, поэтому $|x-1| = 1-x$.
$2(1 + \log_{1-x}(y+2)) + 2\log_{2+y}(1-x) = 6$
$\log_{1-x}(y+2) + \log_{2+y}(1-x) = 2$

Пусть $t = \log_{1-x}(y+2)$. Тогда, используя свойство $\log_b a = 1/\log_a b$, имеем $\log_{2+y}(1-x) = \frac{1}{\log_{1-x}(2+y)}$. Это не то, что нам нужно. Заметим, что если $a = \log_{1-x}(y+2)$ и $b = \log_{2+y}(1-x)$, то по определению логарифма $(1-x)^a = y+2$ и $(2+y)^b = 1-x$. Подставив второе в первое, получим $((2+y)^b)^a = y+2$, то есть $(y+2)^{ab} = (y+2)^1$, откуда $ab=1$ (при условии $y+2 \neq 1$, что верно по ОДЗ). Имеем систему: $$ \begin{cases} a+b = 2 \\ ab = 1 \end{cases} $$ Решая, получаем $a(2-a)=1 \implies a^2-2a+1=0 \implies (a-1)^2=0 \implies a=1$. Тогда и $b=1$. Таким образом, $\log_{1-x}(y+2) = 1$, откуда следует, что $1-x = y+2$, то есть $y = -x-1$.

Подставим $y = -x-1$ во второе уравнение исходной системы:
$\log_{1-x}((-x-1)+5) - \log_{2+(-x-1)}(x+4) = 1$
$\log_{1-x}(4-x) - \log_{1-x}(x+4) = 1$
$\log_{1-x}\left(\frac{4-x}{x+4}\right) = 1$
$\frac{4-x}{x+4} = 1-x$
$4-x = (1-x)(x+4)$
$4-x = x+4-x^2-4x$
$4-x = -3x+4-x^2$
$x^2+2x=0$
$x(x+2)=0$
Получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=-2$.

Проверим корни по ОДЗ. $x_1=0$ не входит в ОДЗ. $x_2=-2$ входит в ОДЗ. Найдем соответствующий $y$: $y = -(-2)-1 = 1$. Проверим $y=1$ по ОДЗ: $1 > -2$ и $1 \neq -1$, что верно. Пара $(-2, 1)$ является решением.
Ответ: $(-2; 1)$.

б)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} \log_{1+x}(y^2 - 2y + 1) + \log_{1-y}(x^2 + 2x + 1) = 4 \\ \log_{1+x}(2y+1) + \log_{1-y}(2x+1) = 2 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

• Основания логарифмов: $1+x > 0 \implies x > -1$; $1+x \neq 1 \implies x \neq 0$; $1-y > 0 \implies y < 1$; $1-y \neq 1 \implies y \neq 0$.
• Аргументы логарифмов: $y^2 - 2y + 1 > 0 \implies (y-1)^2 > 0 \implies y \neq 1$; $x^2 + 2x + 1 > 0 \implies (x+1)^2 > 0 \implies x \neq -1$; $2y+1 > 0 \implies y > -1/2$; $2x+1 > 0 \implies x > -1/2$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1/2; 0) \cup (0; \infty)$, $y \in (-1/2; 0) \cup (0; 1)$.

Упростим первое уравнение системы:
$\log_{1+x}((y-1)^2) + \log_{1-y}((x+1)^2) = 4$
$2\log_{1+x}|y-1| + 2\log_{1-y}|x+1| = 4$
В ОДЗ $y<1$ и $x>-1$, поэтому $|y-1|=1-y$ и $|x+1|=x+1=1+x$.
$2\log_{1+x}(1-y) + 2\log_{1-y}(1+x) = 4$
$\log_{1+x}(1-y) + \log_{1-y}(1+x) = 2$

Пусть $t = \log_{1+x}(1-y)$. Тогда $\log_{1-y}(1+x) = 1/t$. Получаем уравнение:
$t + \frac{1}{t} = 2 \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies t=1$.
Значит, $\log_{1+x}(1-y) = 1$, откуда $1+x=1-y$, то есть $y=-x$.

Подставим $y = -x$ во второе уравнение исходной системы:
$\log_{1+x}(2(-x)+1) + \log_{1-(-x)}(2x+1) = 2$
$\log_{1+x}(1-2x) + \log_{1+x}(2x+1) = 2$
$\log_{1+x}((1-2x)(1+2x)) = 2$
$\log_{1+x}(1-4x^2) = 2$
$1-4x^2 = (1+x)^2$
$1-4x^2 = 1+2x+x^2$
$5x^2+2x=0$
$x(5x+2)=0$
Получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=-2/5$.

Проверим корни по ОДЗ. $x_1=0$ не входит в ОДЗ. $x_2=-2/5$ входит в ОДЗ ($ -1/2 < -2/5 < 0 $). Найдем соответствующий $y$: $y = -(-2/5) = 2/5$. Проверим $y=2/5$ по ОДЗ: $-1/2 < 2/5 < 1$ и $2/5 \neq 0$, что верно. Пара $(-2/5, 2/5)$ является решением.
Ответ: $(-2/5; 2/5)$.

в)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 2\log_{3+x}(xy + x + 3y + 3) + \log_{1+y}(x^2 + 6x + 9) = 6 \\ \log_{3+x}(0,5-y) + \log_{1+y}(3x+8) = 1 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

• Основания логарифмов: $3+x > 0 \implies x > -3$; $3+x \neq 1 \implies x \neq -2$; $1+y > 0 \implies y > -1$; $1+y \neq 1 \implies y \neq 0$.
• Аргументы логарифмов: $xy+x+3y+3 = (x+3)(y+1) > 0$ (выполняется, т.к. основания $> 0$); $x^2+6x+9 = (x+3)^2 > 0 \implies x \neq -3$; $0.5-y > 0 \implies y < 0.5$; $3x+8 > 0 \implies x > -8/3$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-8/3; -2) \cup (-2; \infty)$, $y \in (-1; 0) \cup (0; 0.5)$.

Упростим первое уравнение системы:
$2\log_{3+x}((x+3)(y+1)) + \log_{1+y}((x+3)^2) = 6$
$2(\log_{3+x}(x+3) + \log_{3+x}(y+1)) + 2\log_{1+y}|x+3| = 6$
В ОДЗ $x>-3$, поэтому $|x+3|=x+3$.
$2(1 + \log_{3+x}(y+1)) + 2\log_{1+y}(x+3) = 6$
$\log_{3+x}(y+1) + \log_{1+y}(x+3) = 2$

Аналогично предыдущим пунктам, пусть $t = \log_{3+x}(y+1)$. Тогда $\log_{1+y}(x+3) = 1/t$.
$t + \frac{1}{t} = 2 \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies t=1$.
Значит, $\log_{3+x}(y+1) = 1$, откуда $y+1 = 3+x$, то есть $y=x+2$.

Подставим $y=x+2$ во второе уравнение исходной системы:
$\log_{3+x}(0.5-(x+2)) + \log_{1+(x+2)}(3x+8) = 1$
$\log_{x+3}(-x-1.5) + \log_{x+3}(3x+8) = 1$
$\log_{x+3}((-x-1.5)(3x+8)) = 1$
$(-x-1.5)(3x+8) = x+3$
$-(x+1.5)(3x+8) = x+3$
$-(3x^2+8x+4.5x+12) = x+3$
$-3x^2-12.5x-12 = x+3$
$3x^2+13.5x+15 = 0$
$6x^2+27x+30 = 0$
$2x^2+9x+10 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = 9^2 - 4(2)(10) = 81-80 = 1$.
$x_1 = \frac{-9-1}{4} = -2.5$; $x_2 = \frac{-9+1}{4} = -2$.

Проверим корни по ОДЗ: $x \in (-8/3; -2) \cup (-2; \infty)$, $y \in (-1; 0) \cup (0; 0.5)$. $x_2=-2$ не входит в ОДЗ. $x_1=-2.5 = -5/2$. $-8/3 \approx -2.67$. Так как $-2.67 < -2.5$, то $x_1$ входит в ОДЗ по $x$. Найдем $y$: $y = x+2 = -2.5+2 = -0.5$. Проверим $y=-0.5$ по ОДЗ: $-1 < -0.5 < 0.5$ и $-0.5 \neq 0$, что верно. Пара $(-2.5, -0.5)$ является решением.
Ответ: $(-2,5; -0,5)$.