Страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

14.34* a) $\begin{cases}\frac{xy}{x+2y} + \frac{x-2y}{xy} = \frac{14}{15} \\ \frac{xy}{x-2y} + \frac{x+2y}{xy} = \frac{14}{3};\end{cases}$

б) $\begin{cases}\frac{xy}{x+2y} + \frac{x+2y}{xy} = 2 \\ \frac{xy}{x-2y} + \frac{x-2y}{xy} = 4.\end{cases}$

Данная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{xy}{x+2y} + \frac{x-2y}{xy} = \frac{14}{15} \\\frac{xy}{x-2y} + \frac{x+2y}{xy} = \frac{14}{3} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0, y \ne 0, x+2y \ne 0, x-2y \ne 0$.

Для упрощения системы введем замену переменных. Пусть $u = \frac{xy}{x+2y}$ и $v = \frac{xy}{x-2y}$.

Тогда обратные дроби будут равны $\frac{x+2y}{xy} = \frac{1}{u}$ и $\frac{x-2y}{xy} = \frac{1}{v}$.

После замены система примет вид:

$\begin{cases} u + \frac{1}{v} = \frac{14}{15} \\v + \frac{1}{u} = \frac{14}{3} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $u$ через $v$: $ \frac{1}{u} = \frac{14}{3} - v \Rightarrow u = \frac{1}{\frac{14}{3} - v} = \frac{3}{14 - 3v} $.

Подставим полученное выражение для $u$ в первое уравнение системы:

$\frac{3}{14 - 3v} + \frac{1}{v} = \frac{14}{15}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю $15v(14-3v)$:

$3 \cdot 15v + 1 \cdot 15(14-3v) = 14v(14-3v)$

$45v + 210 - 45v = 196v - 42v^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$42v^2 - 196v + 210 = 0$

Разделим обе части уравнения на 14 для упрощения:

$3v^2 - 14v + 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 196 - 180 = 16$.

Корни уравнения: $v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 4}{6}$.

Получаем два значения для $v$:

$v_1 = \frac{14+4}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$v_2 = \frac{14-4}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $u$ для каждого $v$:

При $v_1 = 3$, $u_1 = \frac{3}{14 - 3 \cdot 3} = \frac{3}{14 - 9} = \frac{3}{5}$.

При $v_2 = \frac{5}{3}$, $u_2 = \frac{3}{14 - 3 \cdot \frac{5}{3}} = \frac{3}{14 - 5} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

У нас есть две пары $(u, v)$: $(\frac{3}{5}, 3)$ и $(\frac{1}{3}, \frac{5}{3})$. Выполним обратную замену для каждой пары.

Случай 1: $u = \frac{3}{5}$ и $v = 3$.

$\begin{cases} \frac{xy}{x+2y} = \frac{3}{5} \\ \frac{xy}{x-2y} = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5xy = 3(x+2y) \\ xy = 3(x-2y) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5xy = 3x+6y \\ xy = 3x-6y \end{cases}$

Сложим два уравнения: $5xy + xy = (3x+6y) + (3x-6y) \Rightarrow 6xy = 6x$. Так как по ОДЗ $x \ne 0$, мы можем разделить на $6x$, получая $y=1$.

Подставим $y=1$ во второе уравнение $xy = 3x-6y$: $x \cdot 1 = 3x - 6 \cdot 1 \Rightarrow x = 3x - 6 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3$.

Первое решение: $(3, 1)$.

Случай 2: $u = \frac{1}{3}$ и $v = \frac{5}{3}$.

$\begin{cases} \frac{xy}{x+2y} = \frac{1}{3} \\ \frac{xy}{x-2y} = \frac{5}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3xy = x+2y \\ 3xy = 5(x-2y) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3xy = x+2y \\ 3xy = 5x-10y \end{cases}$

Левые части уравнений равны, значит, равны и правые: $x+2y = 5x-10y \Rightarrow 12y = 4x \Rightarrow x=3y$.

Подставим $x=3y$ в первое уравнение $3xy = x+2y$: $3(3y)y = 3y+2y \Rightarrow 9y^2=5y$.

Так как по ОДЗ $y \ne 0$, делим на $y$: $9y=5 \Rightarrow y = \frac{5}{9}$.

Тогда $x=3y = 3 \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{3}$.

Второе решение: $(\frac{5}{3}, \frac{5}{9})$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3, 1), (\frac{5}{3}, \frac{5}{9})$.

Данная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{xy}{x+2y} + \frac{x+2y}{xy} = 2 \\\frac{xy}{x-2y} + \frac{x-2y}{xy} = 4\end{cases}$

ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0, x+2y \ne 0, x-2y \ne 0$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \frac{xy}{x+2y}$ и $b = \frac{xy}{x-2y}$.

Тогда $\frac{x+2y}{xy} = \frac{1}{a}$ и $\frac{x-2y}{xy} = \frac{1}{b}$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + \frac{1}{a} = 2 \\b + \frac{1}{b} = 4 \end{cases}$

Решим каждое уравнение отдельно.

Первое уравнение: $a + \frac{1}{a} = 2$. Умножив на $a \ne 0$, получим $a^2+1=2a \Rightarrow a^2-2a+1=0 \Rightarrow (a-1)^2=0$. Отсюда $a=1$.

Второе уравнение: $b + \frac{1}{b} = 4$. Умножив на $b \ne 0$, получим $b^2+1=4b \Rightarrow b^2-4b+1=0$.

Решим квадратное уравнение для $b$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 12$.

$b_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Теперь выполним обратную замену для $a=1$ и двух найденных значений $b$.

Случай 1: $a=1$ и $b = 2+\sqrt{3}$.

$\begin{cases} \frac{xy}{x+2y} = 1 \\ \frac{xy}{x-2y} = 2+\sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = x+2y \\ xy = (2+\sqrt{3})(x-2y) \end{cases}$

Приравнивая правые части, получаем: $x+2y = (2+\sqrt{3})(x-2y) = (2+\sqrt{3})x - (4+2\sqrt{3})y$.

$2y+(4+2\sqrt{3})y = (2+\sqrt{3})x-x \Rightarrow (6+2\sqrt{3})y = (1+\sqrt{3})x$.

$2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)y = (1+\sqrt{3})x$. Так как $1+\sqrt{3} \ne 0$, то $x=2\sqrt{3}y$.

Подставим $x=2\sqrt{3}y$ в $xy=x+2y$: $(2\sqrt{3}y)y = 2\sqrt{3}y + 2y \Rightarrow 2\sqrt{3}y^2 = y(2\sqrt{3}+2)$.

Так как $y \ne 0$, делим на $y$: $2\sqrt{3}y = 2\sqrt{3}+2 \Rightarrow y = \frac{2\sqrt{3}+2}{2\sqrt{3}} = 1+\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3}$.

Тогда $x=2\sqrt{3}y = 2\sqrt{3} \cdot \frac{3+\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}+6}{3} = 2+2\sqrt{3}$.

Первое решение: $(2+2\sqrt{3}, \frac{3+\sqrt{3}}{3})$.

Случай 2: $a=1$ и $b = 2-\sqrt{3}$.

$\begin{cases} xy = x+2y \\ xy = (2-\sqrt{3})(x-2y) \end{cases}$

Приравнивая правые части: $x+2y = (2-\sqrt{3})(x-2y) = (2-\sqrt{3})x - (4-2\sqrt{3})y$.

$2y+(4-2\sqrt{3})y = (2-\sqrt{3})x-x \Rightarrow (6-2\sqrt{3})y = (1-\sqrt{3})x$.

$2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)y = -( \sqrt{3}-1)x$. Так как $\sqrt{3}-1 \ne 0$, то $2\sqrt{3}y = -x \Rightarrow x=-2\sqrt{3}y$.

Подставим $x=-2\sqrt{3}y$ в $xy=x+2y$: $(-2\sqrt{3}y)y = -2\sqrt{3}y + 2y \Rightarrow -2\sqrt{3}y^2 = y(2-2\sqrt{3})$.

Так как $y \ne 0$: $-2\sqrt{3}y = 2-2\sqrt{3} \Rightarrow y = \frac{2-2\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}-2}{2\sqrt{3}} = 1-\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3}$.

Тогда $x=-2\sqrt{3}y = -2\sqrt{3} \cdot \frac{3-\sqrt{3}}{3} = \frac{-6\sqrt{3}+6}{3} = 2-2\sqrt{3}$.

Второе решение: $(2-2\sqrt{3}, \frac{3-\sqrt{3}}{3})$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2+2\sqrt{3}, \frac{3+\sqrt{3}}{3}), (2-2\sqrt{3}, \frac{3-\sqrt{3}}{3})$.

14.35* a) $\begin{cases} \frac{\sqrt[4]{x+y} - \sqrt[4]{x-y}}{\sqrt{x+y} - \sqrt{x-y}} = 2 \\ \sqrt{x+y} - \sqrt{x-y} = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt[6]{(x+y)^3 (x-y)^2} = 8 \\ \sqrt{x+y} + \sqrt[3]{x-y} = 6. \end{cases}$

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt[4]{x+y} - \sqrt[4]{x-y} = 2 \\ \sqrt{x+y} - \sqrt{x-y} = 8 \end{cases} $$ Введем замену переменных. Пусть $u = \sqrt[4]{x+y}$ и $v = \sqrt[4]{x-y}$. Так как корень четвертой степени из неотрицательного числа должен быть неотрицательным, то $u \ge 0$ и $v \ge 0$. Тогда $\sqrt{x+y} = (\sqrt[4]{x+y})^2 = u^2$ и $\sqrt{x-y} = (\sqrt[4]{x-y})^2 = v^2$. Система уравнений примет вид: $$ \begin{cases} u - v = 2 \\ u^2 - v^2 = 8 \end{cases} $$ Второе уравнение можно разложить на множители: $(u-v)(u+v) = 8$. Подставим в него значение $u-v$ из первого уравнения: $2(u+v) = 8$ $u+v = 4$ Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} u - v = 2 \\ u + v = 4 \end{cases} $$ Сложим эти два уравнения: $(u-v) + (u+v) = 2+4$, что дает $2u = 6$, откуда $u=3$. Подставим значение $u$ в любое из уравнений, например, в $u+v=4$: $3+v = 4$, откуда $v=1$. Найденные значения $u=3$ и $v=1$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} \sqrt[4]{x+y} = 3 \\ \sqrt[4]{x-y} = 1 \end{cases} $$ Возведем оба уравнения в четвертую степень: $$ \begin{cases} x+y = 3^4 = 81 \\ x-y = 1^4 = 1 \end{cases} $$ Сложим полученные уравнения: $(x+y) + (x-y) = 81+1$, что дает $2x = 82$, откуда $x=41$. Подставим значение $x$ в первое уравнение: $41+y=81$, откуда $y = 81-41 = 40$.

Ответ: $(41, 40)$

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt[6]{(x+y)^3(x-y)^2} = 8 \\ \sqrt{x+y} + \sqrt[3]{x-y} = 6 \end{cases} $$ Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x+y}$ и $b = \sqrt[3]{x-y}$. Заметим, что $a \ge 0$, так как это арифметический квадратный корень. Преобразуем первое уравнение системы, используя свойства степеней: $\sqrt[6]{(x+y)^3(x-y)^2} = \sqrt[6]{(x+y)^3} \cdot \sqrt[6]{(x-y)^2} = (x+y)^{\frac{3}{6}} \cdot (x-y)^{\frac{2}{6}} = (x+y)^{\frac{1}{2}} \cdot (x-y)^{\frac{1}{3}} = \sqrt{x+y} \cdot \sqrt[3]{x-y} = a \cdot b$. Таким образом, система уравнений в новых переменных имеет вид: $$ \begin{cases} ab = 8 \\ a+b = 6 \end{cases} $$ Это система, которую можно решить по теореме Виета. Числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$. Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета или через дискриминант: $(t-2)(t-4) = 0$. Корни: $t_1=2, t_2=4$. Следовательно, у нас есть два возможных набора значений для $(a, b)$: $(2, 4)$ и $(4, 2)$. Оба варианта удовлетворяют условию $a \ge 0$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $a=2, b=4$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} \sqrt{x+y} = 2 \\ \sqrt[3]{x-y} = 4 \end{cases} $$ Возводим первое уравнение в квадрат, а второе в куб: $$ \begin{cases} x+y = 2^2 = 4 \\ x-y = 4^3 = 64 \end{cases} $$ Складываем уравнения: $2x = 4+64 = 68$, откуда $x=34$. Подставляем $x=34$ в первое уравнение: $34+y=4$, откуда $y = 4-34 = -30$. Первое решение: $(34, -30)$.

Случай 2: $a=4, b=2$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$: $$ \begin{cases} \sqrt{x+y} = 4 \\ \sqrt[3]{x-y} = 2 \end{cases} $$ Возводим первое уравнение в квадрат, а второе в куб: $$ \begin{cases} x+y = 4^2 = 16 \\ x-y = 2^3 = 8 \end{cases} $$ Складываем уравнения: $2x = 16+8 = 24$, откуда $x=12$. Подставляем $x=12$ в первое уравнение: $12+y=16$, откуда $y = 16-12 = 4$. Второе решение: $(12, 4)$.

Ответ: $(34, -30)$, $(12, 4)$

14.36 a) $\begin{cases} x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 6 \\ x^2y + y^2x = 20; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3 \\ \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} = 3 - \sqrt[3]{y^2}. \end{cases}$

a) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 6 \\ x^2y + y^2x = 20 \end{cases} $$

Область допустимых значений для переменных: $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Если $x=0$ или $y=0$, то первое уравнение принимает вид $0=6$, что неверно. Следовательно, $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем уравнения, вынеся общие множители:

$$ \begin{cases} \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 6 \\ xy(x+y) = 20 \end{cases} $$

Сделаем замену переменных. Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $u > 0$ и $v > 0$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} uv(u+v) = 6 \\ u^2v^2(u^2+v^2) = 20 \end{cases} $$

Введем еще одну замену: $S = u+v$ и $P = uv$. Учтем, что $u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv = S^2 - 2P$. Система преобразуется к виду:

$$ \begin{cases} PS = 6 \\ P^2(S^2-2P) = 20 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $S = \frac{6}{P}$ и подставим во второе уравнение:

$P^2\left(\left(\frac{6}{P}\right)^2 - 2P\right) = 20$

$P^2\left(\frac{36}{P^2} - 2P\right) = 20$

$36 - 2P^3 = 20$

$2P^3 = 16$

$P^3 = 8$

$P = 2$

Теперь найдем $S$: $S = \frac{6}{P} = \frac{6}{2} = 3$.

Возвращаемся к переменным $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u+v = 3 \\ uv = 2 \end{cases} $$

По теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решая уравнение, находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Таким образом, возможны два случая:

1. $u=1, v=2$. Тогда $x = u^2 = 1^2 = 1$ и $y = v^2 = 2^2 = 4$.

2. $u=2, v=1$. Тогда $x = u^2 = 2^2 = 4$ и $y = v^2 = 1^2 = 1$.

Проверка показывает, что обе пары решений удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(1; 4)$, $(4; 1)$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3 \\ \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} = 3 - \sqrt[3]{y^2} \end{cases} $$

Перенесем член $-\sqrt[3]{y^2}$ из второго уравнения в левую часть:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3 \\ \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2} = 3 \end{cases} $$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = 3 \\ a^2 - ab + b^2 = 3 \end{cases} $$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставим значения из нашей системы:

$a^3 + b^3 = 3 \cdot 3 = 9$.

Вернемся к переменным $x$ и $y$:

$(\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{y})^3 = 9$, что дает $x+y=9$.

Теперь нам нужно найти произведение $xy$. Воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

Подставим известные значения $a+b=3$ и $a^3+b^3=9$:

$3^3 = 9 + 3ab(3)$

$27 = 9 + 9ab$

$9ab = 18$

$ab = 2$

Возвращаясь к $x$ и $y$: $\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} = 2$, откуда $\sqrt[3]{xy} = 2$, и $xy = 2^3 = 8$.

Теперь у нас есть простая система для $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = 9 \\ xy = 8 \end{cases} $$

По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$.

Решая уравнение $(t-1)(t-8)=0$, находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 8$.

Следовательно, решениями системы являются пары:

1. $x=1, y=8$.

2. $x=8, y=1$.

Проверка показывает, что обе пары удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(1; 8)$, $(8; 1)$.

14.37* $\begin{cases} \sqrt{x + y} + \sqrt[4]{x - y} = 8 \\ \sqrt[4]{x^3 + x^2y - xy^2 - y^3} = 12 \end{cases}$

Данная система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{x+y} + \sqrt[4]{x-y} = 8 \\ \frac{\sqrt{x+y} + \sqrt[4]{x-y}}{\sqrt[4]{x^3+x^2y-xy^2-y^3}} = 12 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

$x+y \ge 0$

$x-y \ge 0$

$x^3+x^2y-xy^2-y^3 > 0$

Упростим выражение в знаменателе второго уравнения, разложив его на множители:

$x^3+x^2y-xy^2-y^3 = x^2(x+y) - y^2(x+y) = (x^2-y^2)(x+y) = (x-y)(x+y)(x+y) = (x-y)(x+y)^2$.

Тогда знаменатель принимает вид:

$\sqrt[4]{(x-y)(x+y)^2} = \sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt[4]{(x+y)^2} = \sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt{|x+y|}$.

Так как из ОДЗ $x+y \ge 0$, то $|x+y| = x+y$, и знаменатель равен $\sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt{x+y}$.

Из ОДЗ также следует, что $(x-y)(x+y)^2 > 0$. Поскольку $(x+y)^2 \ge 0$, это означает, что $x-y > 0$ и $x+y \neq 0$. Следовательно, $x+y > 0$.

Подставим значение из первого уравнения во второе:

$$ \frac{8}{\sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt{x+y}} = 12 $$

Отсюда получаем:

$$ \sqrt{x+y} \cdot \sqrt[4]{x-y} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x+y}$ и $b = \sqrt[4]{x-y}$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Система уравнений принимает вид:

$$ \begin{cases} a + b = 8 \\ ab = \frac{2}{3} \end{cases} $$

Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения:

$t^2 - 8t + \frac{2}{3} = 0$

Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3t^2 - 24t + 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения по формуле для корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 24}}{6} = \frac{24 \pm \sqrt{552}}{6}$

Упростим корень: $\sqrt{552} = \sqrt{4 \cdot 138} = 2\sqrt{138}$.

$t = \frac{24 \pm 2\sqrt{138}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{138}}{3}$

Оба корня положительны, так как $12 = \sqrt{144} > \sqrt{138}$.

Таким образом, у нас есть два возможных случая для пары $(a, b)$:

1) $a = \frac{12 + \sqrt{138}}{3}$, $b = \frac{12 - \sqrt{138}}{3}$

2) $a = \frac{12 - \sqrt{138}}{3}$, $b = \frac{12 + \sqrt{138}}{3}$

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$. Из замены имеем:

$x+y = a^2$

$x-y = b^4$

Решая эту систему относительно $x$ и $y$, получаем:

$x = \frac{a^2+b^4}{2}$, $y = \frac{a^2-b^4}{2}$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $a = \frac{12 + \sqrt{138}}{3}$, $b = \frac{12 - \sqrt{138}}{3}$

$a^2 = \left(\frac{12 + \sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{144 + 24\sqrt{138} + 138}{9} = \frac{282 + 24\sqrt{138}}{9} = \frac{94 + 8\sqrt{138}}{3}$

$b^2 = \left(\frac{12 - \sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{144 - 24\sqrt{138} + 138}{9} = \frac{282 - 24\sqrt{138}}{9} = \frac{94 - 8\sqrt{138}}{3}$

$b^4 = (b^2)^2 = \left(\frac{94 - 8\sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{94^2 - 2 \cdot 94 \cdot 8\sqrt{138} + (8\sqrt{138})^2}{9} = \frac{8836 - 1504\sqrt{138} + 8832}{9} = \frac{17668 - 1504\sqrt{138}}{9}$

$x = \frac{1}{2} \left( \frac{94 + 8\sqrt{138}}{3} + \frac{17668 - 1504\sqrt{138}}{9} \right) = \frac{1}{18} \left( 3(94 + 8\sqrt{138}) + 17668 - 1504\sqrt{138} \right)$

$x = \frac{1}{18} (282 + 24\sqrt{138} + 17668 - 1504\sqrt{138}) = \frac{17950 - 1480\sqrt{138}}{18} = \frac{8975 - 740\sqrt{138}}{9}$

$y = \frac{1}{2} \left( \frac{94 + 8\sqrt{138}}{3} - \frac{17668 - 1504\sqrt{138}}{9} \right) = \frac{1}{18} \left( 3(94 + 8\sqrt{138}) - (17668 - 1504\sqrt{138}) \right)$

$y = \frac{1}{18} (282 + 24\sqrt{138} - 17668 + 1504\sqrt{138}) = \frac{-17386 + 1528\sqrt{138}}{18} = \frac{-8693 + 764\sqrt{138}}{9}$

Случай 2: $a = \frac{12 - \sqrt{138}}{3}$, $b = \frac{12 + \sqrt{138}}{3}$

$a^2 = \left(\frac{12 - \sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{94 - 8\sqrt{138}}{3}$

$b^4 = \left(\left(\frac{12 + \sqrt{138}}{3}\right)^2\right)^2 = \left(\frac{94 + 8\sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{17668 + 1504\sqrt{138}}{9}$

$x = \frac{1}{2} \left( \frac{94 - 8\sqrt{138}}{3} + \frac{17668 + 1504\sqrt{138}}{9} \right) = \frac{1}{18} \left( 3(94 - 8\sqrt{138}) + 17668 + 1504\sqrt{138} \right)$

$x = \frac{1}{18} (282 - 24\sqrt{138} + 17668 + 1504\sqrt{138}) = \frac{17950 + 1480\sqrt{138}}{18} = \frac{8975 + 740\sqrt{138}}{9}$

$y = \frac{1}{2} \left( \frac{94 - 8\sqrt{138}}{3} - \frac{17668 + 1504\sqrt{138}}{9} \right) = \frac{1}{18} \left( 3(94 - 8\sqrt{138}) - (17668 + 1504\sqrt{138}) \right)$

$y = \frac{1}{18} (282 - 24\sqrt{138} - 17668 - 1504\sqrt{138}) = \frac{-17386 - 1528\sqrt{138}}{18} = \frac{-8693 - 764\sqrt{138}}{9}$

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $ \left( \frac{8975 - 740\sqrt{138}}{9}, \frac{-8693 + 764\sqrt{138}}{9} \right) $; $ \left( \frac{8975 + 740\sqrt{138}}{9}, \frac{-8693 - 764\sqrt{138}}{9} \right) $.