Номер 15.26, страница 366 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.26, страница 366.

Условие.

15.26 a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x - y = 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)
Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + y = 1 \end{cases} $$
Для решения этой системы методом подстановки выразим переменную $y$ из второго уравнения: $y = 1 - x$.
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:
$x^2 + (1 - x)^2 = a$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 1 - 2x + x^2 = a$
$2x^2 - 2x + 1 - a = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Количество решений этого уравнения (и, соответственно, исходной системы) зависит от знака его дискриминанта $D$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 4 - 8(1 - a) = 4 - 8 + 8a = 8a - 4$.
Рассмотрим три возможных случая:
1. Система не имеет действительных решений, если дискриминант $D < 0$.
$8a - 4 < 0 \implies 8a < 4 \implies a < \frac{1}{2}$.
2. Система имеет одно единственное решение, если дискриминант $D = 0$.
$8a - 4 = 0 \implies 8a = 4 \implies a = \frac{1}{2}$.
При $a = \frac{1}{2}$ найдем корень уравнения для $x$:
$x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2)}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Теперь найдем соответствующее значение $y$:
$y = 1 - x = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, при $a = \frac{1}{2}$ решение одно: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
3. Система имеет два различных решения, если дискриминант $D > 0$.
$8a - 4 > 0 \implies 8a > 4 \implies a > \frac{1}{2}$.
При $a > \frac{1}{2}$ найдем два корня уравнения для $x$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{8a - 4}}{2 \cdot 2} = \frac{2 \pm \sqrt{4(2a - 1)}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2a - 1}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{2a - 1}}{2}$.
Получаем два значения $x$:
$x_1 = \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}$ и $x_2 = \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}$.
Для каждого $x$ найдем соответствующий $y$:
$y_1 = 1 - x_1 = 1 - \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{2 - (1 + \sqrt{2a - 1})}{2} = \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}$.
$y_2 = 1 - x_2 = 1 - \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{2 - (1 - \sqrt{2a - 1})}{2} = \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}$.
Таким образом, при $a > \frac{1}{2}$ имеем два решения: $(\frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2})$ и $(\frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2})$.
Ответ: если $a < \frac{1}{2}$, то решений нет; если $a = \frac{1}{2}$, то одно решение $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$; если $a > \frac{1}{2}$, то два решения $(\frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2})$ и $(\frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2})$.

б)
Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x - y = 1 \end{cases} $$
Из второго уравнения выразим переменную $x$: $x = 1 + y$.
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$(1 + y)^2 + y^2 = a$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$1 + 2y + y^2 + y^2 = a$
$2y^2 + 2y + 1 - a = 0$
Получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его дискриминант $D$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (1 - a) = 4 - 8(1 - a) = 4 - 8 + 8a = 8a - 4$.
Значение дискриминанта и условия на параметр $a$ совпадают с предыдущим пунктом.
1. Система не имеет действительных решений при $D < 0$, то есть при $a < \frac{1}{2}$.
2. Система имеет одно решение при $D = 0$, то есть при $a = \frac{1}{2}$.
Найдем корень уравнения для $y$:
$y = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{2}$.
Теперь найдем соответствующее значение $x$:
$x = 1 + y = 1 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
Решение: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.
3. Система имеет два различных решения при $D > 0$, то есть при $a > \frac{1}{2}$.
Найдем корни уравнения для $y$:
$y = \frac{-2 \pm \sqrt{8a - 4}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{4(2a - 1)}}{4} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2a - 1}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{2a - 1}}{2}$.
Получаем два значения $y$:
$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2}$ и $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2}$.
Для каждого $y$ найдем соответствующий $x$:
$x_1 = 1 + y_1 = 1 + \frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{2 - 1 + \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}$.
$x_2 = 1 + y_2 = 1 + \frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{2 - 1 - \sqrt{2a - 1}}{2} = \frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}$.
Таким образом, при $a > \frac{1}{2}$ имеем два решения: $(\frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2})$ и $(\frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2})$.
Ответ: если $a < \frac{1}{2}$, то решений нет; если $a = \frac{1}{2}$, то одно решение $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$; если $a > \frac{1}{2}$, то два решения $(\frac{1 + \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{2a - 1}}{2})$ и $(\frac{1 - \sqrt{2a - 1}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{2a - 1}}{2})$.