Номер 15.22, страница 363 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.22, страница 363.
№15.22 (с. 363)
Условие. №15.22 (с. 363)
скриншот условия

15.22 а) $\log_a(x - 2) \ge \log_a(13 - x)$;
б) $\log_a(x - 3) \ge \log_a(15 - 2x)$;
в) $\log_a(4 - x) \ge \log_a(3x - 15)$;
г) $\log_a(5 - x) \ge \log_a(4x - 35)$.
Решение 1. №15.22 (с. 363)




Решение 2. №15.22 (с. 363)



Решение 4. №15.22 (с. 363)
а) Решение данного логарифмического неравенства зависит от основания логарифма a.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 13 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x < 13 \end{cases}$
Отсюда ОДЗ: $x \in (2, 13)$.
Далее рассмотрим два случая для основания a.
Случай 1: $a > 1$
Если основание логарифма больше 1, то логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$x - 2 \ge 13 - x$
$2x \ge 15$
$x \ge 7.5$
С учетом ОДЗ ($2 < x < 13$), получаем решение для этого случая: $x \in [7.5, 13)$.
Случай 2: $0 < a < 1$
Если основание логарифма находится в интервале от 0 до 1, то логарифмическая функция является убывающей. Поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x - 2 \le 13 - x$
$2x \le 15$
$x \le 7.5$
С учетом ОДЗ ($2 < x < 13$), получаем решение для этого случая: $x \in (2, 7.5]$.
Ответ: при $a > 1$ решение $x \in [7.5, 13)$; при $0 < a < 1$ решение $x \in (2, 7.5]$.
б) Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:
$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ 15 - 2x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ 2x < 15 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x < 7.5 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (3, 7.5)$.
Рассмотрим два случая для основания a.
Случай 1: $a > 1$
Логарифмическая функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$x - 3 \ge 15 - 2x$
$3x \ge 18$
$x \ge 6$
Пересекая с ОДЗ ($3 < x < 7.5$), получаем: $x \in [6, 7.5)$.
Случай 2: $0 < a < 1$
Логарифмическая функция убывающая, знак неравенства меняется:
$x - 3 \le 15 - 2x$
$3x \le 18$
$x \le 6$
Пересекая с ОДЗ ($3 < x < 7.5$), получаем: $x \in (3, 6]$.
Ответ: при $a > 1$ решение $x \in [6, 7.5)$; при $0 < a < 1$ решение $x \in (3, 6]$.
в) Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которой определены оба логарифма:
$\begin{cases} 4 - x > 0 \\ 3x - 15 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ 3x > 15 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ x > 5 \end{cases}$
Эта система неравенств не имеет решений, так как не существует такого числа x, которое было бы одновременно меньше 4 и больше 5. Область допустимых значений является пустым множеством. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений ни при каком допустимом значении основания a.
Ответ: решений нет.
г) Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 5 - x > 0 \\ 4x - 35 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ 4x > 35 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x > \frac{35}{4} \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x > 8.75 \end{cases}$
Данная система не имеет решений, так как не существует x, удовлетворяющего обоим условиям (быть одновременно меньше 5 и больше 8.75). Область допустимых значений является пустым множеством, следовательно, неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 15.22 расположенного на странице 363 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15.22 (с. 363), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.