Номер 15.22, страница 363 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами - номер 15.22, страница 363.

Условие.

15.22 а) $\log_a(x - 2) \ge \log_a(13 - x)$;

б) $\log_a(x - 3) \ge \log_a(15 - 2x)$;

в) $\log_a(4 - x) \ge \log_a(3x - 15)$;

г) $\log_a(5 - x) \ge \log_a(4x - 35)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решение данного логарифмического неравенства зависит от основания логарифма a.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 13 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x < 13 \end{cases}$

Отсюда ОДЗ: $x \in (2, 13)$.

Далее рассмотрим два случая для основания a.

Случай 1: $a > 1$

Если основание логарифма больше 1, то логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$x - 2 \ge 13 - x$

$2x \ge 15$

$x \ge 7.5$

С учетом ОДЗ ($2 < x < 13$), получаем решение для этого случая: $x \in [7.5, 13)$.

Случай 2: $0 < a < 1$

Если основание логарифма находится в интервале от 0 до 1, то логарифмическая функция является убывающей. Поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 2 \le 13 - x$

$2x \le 15$

$x \le 7.5$

С учетом ОДЗ ($2 < x < 13$), получаем решение для этого случая: $x \in (2, 7.5]$.

Ответ: при $a > 1$ решение $x \in [7.5, 13)$; при $0 < a < 1$ решение $x \in (2, 7.5]$.

б) Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ 15 - 2x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ 2x < 15 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x < 7.5 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in (3, 7.5)$.

Рассмотрим два случая для основания a.

Случай 1: $a > 1$

Логарифмическая функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$x - 3 \ge 15 - 2x$

$3x \ge 18$

$x \ge 6$

Пересекая с ОДЗ ($3 < x < 7.5$), получаем: $x \in [6, 7.5)$.

Случай 2: $0 < a < 1$

Логарифмическая функция убывающая, знак неравенства меняется:

$x - 3 \le 15 - 2x$

$3x \le 18$

$x \le 6$

Пересекая с ОДЗ ($3 < x < 7.5$), получаем: $x \in (3, 6]$.

Ответ: при $a > 1$ решение $x \in [6, 7.5)$; при $0 < a < 1$ решение $x \in (3, 6]$.

в) Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которой определены оба логарифма:

$\begin{cases} 4 - x > 0 \\ 3x - 15 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ 3x > 15 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ x > 5 \end{cases}$

Эта система неравенств не имеет решений, так как не существует такого числа x, которое было бы одновременно меньше 4 и больше 5. Область допустимых значений является пустым множеством. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений ни при каком допустимом значении основания a.

Ответ: решений нет.

г) Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 5 - x > 0 \\ 4x - 35 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ 4x > 35 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x > \frac{35}{4} \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x > 8.75 \end{cases}$

Данная система не имеет решений, так как не существует x, удовлетворяющего обоим условиям (быть одновременно меньше 5 и больше 8.75). Область допустимых значений является пустым множеством, следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.