Номер 15.18, страница 362 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.18, страница 362.

Условие.

15.18 a) $(x-a)\sqrt{x-1} \ge 0$;

б) $(x-a)\sqrt{x-2} \le 0$;

В) $(x-3)\sqrt{x-a} \ge 0$;

Г) $(x-4)\sqrt{x-a} \le 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $(x-a)\sqrt{x-1} \ge 0$

Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Так как множитель $\sqrt{x-1}$ всегда неотрицателен в ОДЗ, исходное неравенство равносильно совокупности двух случаев:

1. $\sqrt{x-1} = 0$, что даёт $x = 1$. При этом значении $x$ неравенство выполняется, так как обращается в верное равенство $0=0$.
2. $\sqrt{x-1} > 0$ (то есть $x > 1$). В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{x-1}$, сохранив знак неравенства. Получаем $x-a \ge 0$, или $x \ge a$.

Таким образом, решение представляет собой объединение множеств $\{1\}$ и $\{x | x > 1 \text{ и } x \ge a\}$. Для нахождения итогового решения необходимо сравнить значение параметра $a$ с числом 1.

Случай 1: $a \le 1$.
В этом случае условие $x \ge a$ выполняется для всех $x$ из промежутка $(1, +\infty)$. Таким образом, решением для второго случая является $(1, +\infty)$. Объединяя с решением $x=1$, получаем $x \in [1, +\infty)$.

Случай 2: $a > 1$.
В этом случае система $\begin{cases} x > 1 \\ x \ge a \end{cases}$ равносильна неравенству $x \ge a$. Решением является промежуток $[a, +\infty)$. Объединяя с решением $x=1$, получаем $x \in \{1\} \cup [a, +\infty)$.

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in [1, +\infty)$; если $a > 1$, то $x \in \{1\} \cup [a, +\infty)$.

б) $(x-a)\sqrt{x-2} \le 0$

ОДЗ: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Поскольку множитель $\sqrt{x-2}$ всегда неотрицателен в ОДЗ, исходное неравенство равносильно совокупности двух случаев:

1. $\sqrt{x-2} = 0$, что даёт $x = 2$. Это значение является решением.
2. $\sqrt{x-2} > 0$ (то есть $x > 2$). В этом случае делим обе части неравенства на $\sqrt{x-2}$, получаем $x-a \le 0$, или $x \le a$.

Решение является объединением множеств $\{2\}$ и $\{x | x > 2 \text{ и } x \le a\}$. Для нахождения итогового решения сравним $a$ с числом 2.

Случай 1: $a \le 2$.
Система $\begin{cases} x > 2 \\ x \le a \end{cases}$ не имеет решений. Следовательно, единственным решением исходного неравенства является $x=2$.

Случай 2: $a > 2$.
Решением системы $\begin{cases} x > 2 \\ x \le a \end{cases}$ является промежуток $(2, a]$. Объединяя с решением $x=2$, получаем $x \in [2, a]$.

Ответ: если $a \le 2$, то $x = 2$; если $a > 2$, то $x \in [2, a]$.

в) $(x-3)\sqrt{x-a} \ge 0$

ОДЗ: $x-a \ge 0$, откуда $x \ge a$.

Неравенство равносильно совокупности:

1. $\sqrt{x-a} = 0$, что даёт $x = a$. Это значение является решением.
2. $\sqrt{x-a} > 0$ (то есть $x > a$). В этом случае делим на $\sqrt{x-a}$, получаем $x-3 \ge 0$, или $x \ge 3$.

Решение является объединением множеств $\{a\}$ и $\{x | x > a \text{ и } x \ge 3\}$. Для нахождения итогового решения сравним $a$ с числом 3.

Случай 1: $a < 3$.
Решением системы $\begin{cases} x > a \\ x \ge 3 \end{cases}$ является промежуток $[3, +\infty)$. Объединяя с решением $x=a$, получаем $x \in \{a\} \cup [3, +\infty)$.

Случай 2: $a \ge 3$.
Решением системы $\begin{cases} x > a \\ x \ge 3 \end{cases}$ является промежуток $(a, +\infty)$. Объединяя с решением $x=a$, получаем $x \in [a, +\infty)$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in \{a\} \cup [3, +\infty)$; если $a \ge 3$, то $x \in [a, +\infty)$.

г) $(x-4)\sqrt{x-a} \le 0$

ОДЗ: $x-a \ge 0$, откуда $x \ge a$.

Неравенство равносильно совокупности:

1. $\sqrt{x-a} = 0$, что даёт $x=a$. Это значение является решением.
2. $\sqrt{x-a} > 0$ (то есть $x > a$). В этом случае делим на $\sqrt{x-a}$, получаем $x-4 \le 0$, или $x \le 4$.

Решение является объединением множеств $\{a\}$ и $\{x | x > a \text{ и } x \le 4\}$. Для нахождения итогового решения сравним $a$ с числом 4.

Случай 1: $a < 4$.
Решением системы $\begin{cases} x > a \\ x \le 4 \end{cases}$ является промежуток $(a, 4]$. Объединяя с решением $x=a$, получаем $x \in [a, 4]$.

Случай 2: $a \ge 4$.
Система $\begin{cases} x > a \\ x \le 4 \end{cases}$ не имеет решений, так как из $a \ge 4$ следует, что не существует $x$, которое было бы одновременно больше $a$ и меньше либо равно 4. Таким образом, единственным решением является $x=a$.

Ответ: если $a < 4$, то $x \in [a, 4]$; если $a \ge 4$, то $x=a$.