Номер 15.16, страница 362 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.16, страница 362.
№15.16 (с. 362)
Условие. №15.16 (с. 362)
скриншот условия

15.16 а) $\frac{x-1}{x-a} > 0$;
б) $\frac{x-a}{x+2} > 0$;
В) $\frac{x+3}{x+a} \ge 0$;
Г) $\frac{x+a}{x-4} \le 0$.
Решение 1. №15.16 (с. 362)




Решение 2. №15.16 (с. 362)


Решение 3. №15.16 (с. 362)

Решение 4. №15.16 (с. 362)
а) Решим неравенство $\frac{x-1}{x-a} > 0$.
Данное дробно-рациональное неравенство решается методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=a$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Знак дроби на каждом интервале постоянен. Так как неравенство строгое, точки $x=1$ и $x=a$ не входят в решение. В частности, $x \neq a$ из области определения.
Решение зависит от взаимного расположения точек $1$ и $a$. Рассмотрим три случая:
1. Случай $a < 1$.
Точки на числовой оси располагаются в порядке $a$, $1$. Неравенство равносильно $(x-1)(x-a) > 0$. График функции $y=(x-1)(x-a)$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Таким образом, решение: $x \in (-\infty, a) \cup (1, +\infty)$.
2. Случай $a = 1$.
Неравенство принимает вид $\frac{x-1}{x-1} > 0$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$. При $x \neq 1$ дробь равна 1, и неравенство $1 > 0$ является верным для всех $x$ из ОДЗ.
Таким образом, решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.
3. Случай $a > 1$.
Точки на числовой оси располагаются в порядке $1$, $a$. Аналогично первому случаю, решение находится вне интервала между корнями.
Таким образом, решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (a, +\infty)$.
Ответ: если $a < 1$, то $x \in (-\infty, a) \cup (1, +\infty)$; если $a = 1$, то $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$; если $a > 1$, то $x \in (-\infty, 1) \cup (a, +\infty)$.
б) Решим неравенство $\frac{x-a}{x+2} > 0$.
Нули числителя и знаменателя: $x=a$ и $x=-2$. Неравенство строгое, поэтому $x \neq a$ и $x \neq -2$. Рассмотрим три случая в зависимости от значения параметра $a$.
1. Случай $a < -2$.
Точки на числовой оси: $a$, $-2$. Неравенство $(x-a)(x+2) > 0$ выполняется при $x < a$ или $x > -2$.
Решение: $x \in (-\infty, a) \cup (-2, +\infty)$.
2. Случай $a = -2$.
Неравенство принимает вид $\frac{x-(-2)}{x+2} > 0$, то есть $\frac{x+2}{x+2} > 0$. ОДЗ: $x \neq -2$. При $x \neq -2$ выражение равно 1, и неравенство $1 > 0$ верно.
Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$.
3. Случай $a > -2$.
Точки на числовой оси: $-2$, $a$. Неравенство $(x-a)(x+2) > 0$ выполняется при $x < -2$ или $x > a$.
Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (a, +\infty)$.
Ответ: если $a < -2$, то $x \in (-\infty, a) \cup (-2, +\infty)$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$; если $a > -2$, то $x \in (-\infty, -2) \cup (a, +\infty)$.
в) Решим неравенство $\frac{x+3}{x+a} \ge 0$.
Это нестрогое неравенство. Нуль числителя $x=-3$ может быть решением, если он не совпадает с нулем знаменателя. Нуль знаменателя $x=-a$ не является решением. ОДЗ: $x \neq -a$.
Рассмотрим три случая, сравнивая $-3$ и $-a$.
1. Случай $-a < -3$, то есть $a > 3$.
Точки на числовой оси: $-a$, $-3$. Неравенство $(x+3)(x+a) \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями. Учитывая, что $x=-3$ является решением, а $x=-a$ нет, получаем:
Решение: $x \in (-\infty, -a) \cup [-3, +\infty)$.
2. Случай $-a = -3$, то есть $a = 3$.
Неравенство принимает вид $\frac{x+3}{x+3} \ge 0$. ОДЗ: $x \neq -3$. При $x \neq -3$ выражение равно 1, и неравенство $1 \ge 0$ верно.
Решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.
3. Случай $-a > -3$, то есть $a < 3$.
Точки на числовой оси: $-3$, $-a$. Решение находится вне интервала между корнями. Учитывая, что $x=-3$ является решением, а $x=-a$ нет, получаем:
Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup (-a, +\infty)$.
Ответ: если $a < 3$, то $x \in (-\infty, -3] \cup (-a, +\infty)$; если $a = 3$, то $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$; если $a > 3$, то $x \in (-\infty, -a) \cup [-3, +\infty)$.
г) Решим неравенство $\frac{x+a}{x-4} \le 0$.
Нестрогое неравенство. Нуль числителя $x=-a$ входит в решение (если не совпадает с нулем знаменателя), нуль знаменателя $x=4$ не входит. ОДЗ: $x \neq 4$. Неравенство равносильно $(x+a)(x-4) \le 0$ при $x \neq 4$. Решением является интервал между корнями (включая концы, если возможно).
Рассмотрим три случая, сравнивая $-a$ и $4$.
1. Случай $-a < 4$, то есть $a > -4$.
Точки на числовой оси: $-a$, $4$. Решение находится между корнями. $x=-a$ включаем, $x=4$ исключаем.
Решение: $x \in [-a, 4)$.
2. Случай $-a = 4$, то есть $a = -4$.
Неравенство принимает вид $\frac{x-4}{x-4} \le 0$. ОДЗ: $x \neq 4$. При $x \neq 4$ выражение равно 1. Неравенство $1 \le 0$ является ложным.
Решение: решений нет, $x \in \emptyset$.
3. Случай $-a > 4$, то есть $a < -4$.
Точки на числовой оси: $4$, $-a$. Решение находится между корнями. $x=4$ исключаем, $x=-a$ включаем.
Решение: $x \in (4, -a]$.
Ответ: если $a < -4$, то $x \in (4, -a]$; если $a = -4$, то решений нет; если $a > -4$, то $x \in [-a, 4)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 15.16 расположенного на странице 362 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15.16 (с. 362), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.