Номер 15.16, страница 362 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами - номер 15.16, страница 362.

Условие.

15.16 а) $\frac{x-1}{x-a} > 0$;

б) $\frac{x-a}{x+2} > 0$;

В) $\frac{x+3}{x+a} \ge 0$;

Г) $\frac{x+a}{x-4} \le 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\frac{x-1}{x-a} > 0$.

Данное дробно-рациональное неравенство решается методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=a$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Знак дроби на каждом интервале постоянен. Так как неравенство строгое, точки $x=1$ и $x=a$ не входят в решение. В частности, $x \neq a$ из области определения.

Решение зависит от взаимного расположения точек $1$ и $a$. Рассмотрим три случая:

1. Случай $a < 1$.
Точки на числовой оси располагаются в порядке $a$, $1$. Неравенство равносильно $(x-1)(x-a) > 0$. График функции $y=(x-1)(x-a)$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Таким образом, решение: $x \in (-\infty, a) \cup (1, +\infty)$.

2. Случай $a = 1$.
Неравенство принимает вид $\frac{x-1}{x-1} > 0$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$. При $x \neq 1$ дробь равна 1, и неравенство $1 > 0$ является верным для всех $x$ из ОДЗ.
Таким образом, решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

3. Случай $a > 1$.
Точки на числовой оси располагаются в порядке $1$, $a$. Аналогично первому случаю, решение находится вне интервала между корнями.
Таким образом, решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (a, +\infty)$.

Ответ: если $a < 1$, то $x \in (-\infty, a) \cup (1, +\infty)$; если $a = 1$, то $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$; если $a > 1$, то $x \in (-\infty, 1) \cup (a, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x-a}{x+2} > 0$.

Нули числителя и знаменателя: $x=a$ и $x=-2$. Неравенство строгое, поэтому $x \neq a$ и $x \neq -2$. Рассмотрим три случая в зависимости от значения параметра $a$.

1. Случай $a < -2$.
Точки на числовой оси: $a$, $-2$. Неравенство $(x-a)(x+2) > 0$ выполняется при $x < a$ или $x > -2$.
Решение: $x \in (-\infty, a) \cup (-2, +\infty)$.

2. Случай $a = -2$.
Неравенство принимает вид $\frac{x-(-2)}{x+2} > 0$, то есть $\frac{x+2}{x+2} > 0$. ОДЗ: $x \neq -2$. При $x \neq -2$ выражение равно 1, и неравенство $1 > 0$ верно.
Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$.

3. Случай $a > -2$.
Точки на числовой оси: $-2$, $a$. Неравенство $(x-a)(x+2) > 0$ выполняется при $x < -2$ или $x > a$.
Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (a, +\infty)$.

Ответ: если $a < -2$, то $x \in (-\infty, a) \cup (-2, +\infty)$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$; если $a > -2$, то $x \in (-\infty, -2) \cup (a, +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x+3}{x+a} \ge 0$.

Это нестрогое неравенство. Нуль числителя $x=-3$ может быть решением, если он не совпадает с нулем знаменателя. Нуль знаменателя $x=-a$ не является решением. ОДЗ: $x \neq -a$.
Рассмотрим три случая, сравнивая $-3$ и $-a$.

1. Случай $-a < -3$, то есть $a > 3$.
Точки на числовой оси: $-a$, $-3$. Неравенство $(x+3)(x+a) \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями. Учитывая, что $x=-3$ является решением, а $x=-a$ нет, получаем:
Решение: $x \in (-\infty, -a) \cup [-3, +\infty)$.

2. Случай $-a = -3$, то есть $a = 3$.
Неравенство принимает вид $\frac{x+3}{x+3} \ge 0$. ОДЗ: $x \neq -3$. При $x \neq -3$ выражение равно 1, и неравенство $1 \ge 0$ верно.
Решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.

3. Случай $-a > -3$, то есть $a < 3$.
Точки на числовой оси: $-3$, $-a$. Решение находится вне интервала между корнями. Учитывая, что $x=-3$ является решением, а $x=-a$ нет, получаем:
Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup (-a, +\infty)$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in (-\infty, -3] \cup (-a, +\infty)$; если $a = 3$, то $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$; если $a > 3$, то $x \in (-\infty, -a) \cup [-3, +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{x+a}{x-4} \le 0$.

Нестрогое неравенство. Нуль числителя $x=-a$ входит в решение (если не совпадает с нулем знаменателя), нуль знаменателя $x=4$ не входит. ОДЗ: $x \neq 4$. Неравенство равносильно $(x+a)(x-4) \le 0$ при $x \neq 4$. Решением является интервал между корнями (включая концы, если возможно).
Рассмотрим три случая, сравнивая $-a$ и $4$.

1. Случай $-a < 4$, то есть $a > -4$.
Точки на числовой оси: $-a$, $4$. Решение находится между корнями. $x=-a$ включаем, $x=4$ исключаем.
Решение: $x \in [-a, 4)$.

2. Случай $-a = 4$, то есть $a = -4$.
Неравенство принимает вид $\frac{x-4}{x-4} \le 0$. ОДЗ: $x \neq 4$. При $x \neq 4$ выражение равно 1. Неравенство $1 \le 0$ является ложным.
Решение: решений нет, $x \in \emptyset$.

3. Случай $-a > 4$, то есть $a < -4$.
Точки на числовой оси: $4$, $-a$. Решение находится между корнями. $x=4$ исключаем, $x=-a$ включаем.
Решение: $x \in (4, -a]$.

Ответ: если $a < -4$, то $x \in (4, -a]$; если $a = -4$, то решений нет; если $a > -4$, то $x \in [-a, 4)$.