Номер 15.9, страница 360 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.9, страница 360.

Условие.

15.9 Для каждого значения параметра a определите, сколько корней имеет уравнение:

а) $x^3 - 3x^2 + a = 0$;

б) $x^4 - 2x^2 + a = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $x^3 - 3x^2 + a = 0$

Для определения количества корней уравнения в зависимости от параметра $a$, преобразуем его к виду $x^3 - 3x^2 = -a$.

Задача сводится к нахождению количества точек пересечения графика функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ и горизонтальной прямой $y = -a$.

Исследуем функцию $f(x) = x^3 - 3x^2$ на монотонность и экстремумы с помощью производной.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Критическими точками являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

3. Определяем точки экстремума. Производная $f'(x)$ представляет собой параболу с ветвями вверх, пересекающую ось абсцисс в точках 0 и 2. Следовательно, $f'(x) > 0$ на $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ и $f'(x) < 0$ на $(0, 2)$.

Таким образом, в точке $x = 0$ функция имеет локальный максимум, а в точке $x = 2$ — локальный минимум.

4. Вычисляем значения функции в точках экстремума:

Значение в точке максимума: $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 = 0$.

Значение в точке минимума: $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4$.

5. Анализируем количество пересечений графика $y = f(x)$ с прямой $y = -a$:

• Прямая $y=-a$ пересекает график в одной точке, если значение $-a$ больше локального максимума ($y=0$) или меньше локального минимума ($y=-4$).
  $-a > 0 \Rightarrow a < 0$.
  $-a < -4 \Rightarrow a > 4$.
  Итак, один корень будет при $a \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.
• Прямая $y=-a$ пересекает график в двух точках, если она касается его в точках экстремума.
  $-a = 0 \Rightarrow a = 0$.
  $-a = -4 \Rightarrow a = 4$.
  Итак, два корня будет при $a=0$ и $a=4$.
• Прямая $y=-a$ пересекает график в трех точках, если она находится между локальным максимумом и минимумом.
  $-4 < -a < 0 \Rightarrow 0 < a < 4$.
  Итак, три корня будет при $a \in (0, 4)$.

Ответ:

• при $a \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$ — 1 корень;
• при $a = 0$ и $a = 4$ — 2 корня;
• при $a \in (0, 4)$ — 3 корня.

б) $x^4 - 2x^2 + a = 0$

Перепишем уравнение в виде $x^4 - 2x^2 = -a$.

Как и в предыдущем пункте, количество корней равно числу точек пересечения графика функции $g(x) = x^4 - 2x^2$ и прямой $y = -a$.

Функция $g(x)$ является четной, поскольку $g(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = g(x)$, ее график симметричен относительно оси OY.

1. Находим производную:

$g'(x) = (x^4 - 2x^2)' = 4x^3 - 4x$.

2. Находим критические точки:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x-1)(x+1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Определяем экстремумы. Анализируя знаки производной на интервалах, получаем:

• $x \in (-\infty, -1)$: $g'(x) < 0$, функция убывает.
• $x \in (-1, 0)$: $g'(x) > 0$, функция возрастает.
• $x \in (0, 1)$: $g'(x) < 0$, функция убывает.
• $x \in (1, +\infty)$: $g'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x=-1$ и $x=1$ — точки локального минимума, а $x=0$ — точка локального максимума.

4. Вычисляем значения функции в точках экстремума:

Значение в точке максимума: $g(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0$.

Значение в точках минимума: $g(1) = 1^4 - 2(1)^2 = -1$ и $g(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = -1$.

5. Анализируем количество пересечений графика $y = g(x)$ с прямой $y = -a$:

• Нет точек пересечения (нет корней), если прямая $y=-a$ проходит ниже глобальных минимумов.
  $-a < -1 \Rightarrow a > 1$.
• Две точки пересечения (два корня), если прямая касается графика в точках минимума или проходит выше локального максимума.
  $-a = -1 \Rightarrow a = 1$.
  $-a > 0 \Rightarrow a < 0$.
• Три точки пересечения (три корня), если прямая проходит через точку локального максимума.
  $-a = 0 \Rightarrow a = 0$.
• Четыре точки пересечения (четыре корня), если прямая находится между локальным максимумом и минимумами.
  $-1 < -a < 0 \Rightarrow 0 < a < 1$.

Ответ:

• нет корней при $a \in (1, +\infty)$;
• 2 корня при $a \in (-\infty, 0) \cup \{1\}$;
• 3 корня при $a = 0$;
• 4 корня при $a \in (0, 1)$.