Номер 15.13, страница 362 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами - номер 15.13, страница 362.

Условие.

15.13 a) $ax^2 - x < 0$;

Б) $ax^2 - x > 0$;

В) $ax^2 + x \geq 0$;

Г) $ax^2 + x \leq 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $ax^2 - x < 0$

Данное неравенство является неравенством с параметром $a$. Решим его, рассмотрев все возможные значения $a$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(ax - 1) < 0$.

1. Случай $a = 0$.

Неравенство принимает вид $x(0 \cdot x - 1) < 0$, что упрощается до $-x < 0$. Умножив обе части на -1 и изменив знак неравенства, получаем $x > 0$.

2. Случай $a > 0$.

Это квадратичное неравенство. Графиком функции $y = ax^2 - x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как $a > 0$. Найдем корни уравнения $x(ax - 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{a}$. Поскольку $a > 0$, то $\frac{1}{a} > 0$, следовательно $x_1 < x_2$. Значения квадратичного трехчлена отрицательны на интервале между корнями. Таким образом, решение неравенства: $0 < x < \frac{1}{a}$.

3. Случай $a < 0$.

Графиком функции $y = ax^2 - x$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a < 0$. Корни уравнения те же: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{a}$. Поскольку $a < 0$, то $\frac{1}{a} < 0$, следовательно $x_2 < x_1$. Значения квадратичного трехчлена отрицательны вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства: $x < \frac{1}{a}$ или $x > 0$.

Ответ: если $a < 0$, то $x \in (-\infty; \frac{1}{a}) \cup (0; +\infty)$; если $a = 0$, то $x \in (0; +\infty)$; если $a > 0$, то $x \in (0; \frac{1}{a})$.

б) $ax^2 - x > 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(ax - 1) > 0$.

1. Случай $a = 0$.

Неравенство принимает вид $-x > 0$, откуда $x < 0$.

2. Случай $a > 0$.

Парабола $y = ax^2 - x$ ветвями вверх, корни $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{a}$ ($0 < \frac{1}{a}$). Значения трехчлена положительны вне интервала между корнями. Решение: $x < 0$ или $x > \frac{1}{a}$.

3. Случай $a < 0$.

Парабола $y = ax^2 - x$ ветвями вниз, корни $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{a}$ ($\frac{1}{a} < 0$). Значения трехчлена положительны на интервале между корнями. Решение: $\frac{1}{a} < x < 0$.

Ответ: если $a < 0$, то $x \in (\frac{1}{a}; 0)$; если $a = 0$, то $x \in (-\infty; 0)$; если $a > 0$, то $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{a}; +\infty)$.

В) $ax^2 + x \geq 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(ax + 1) \geq 0$.

1. Случай $a = 0$.

Неравенство принимает вид $x(0 \cdot x + 1) \geq 0$, что упрощается до $x \geq 0$.

2. Случай $a > 0$.

Парабола $y = ax^2 + x$ ветвями вверх. Корни уравнения $x(ax + 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{1}{a}$. Так как $a > 0$, то $-\frac{1}{a} < 0$, то есть $x_2 < x_1$. Неотрицательные значения трехчлен принимает на корнях и вне интервала между ними. Решение: $x \leq -\frac{1}{a}$ или $x \geq 0$.

3. Случай $a < 0$.

Парабола $y = ax^2 + x$ ветвями вниз. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{1}{a}$. Так как $a < 0$, то $-\frac{1}{a} > 0$, то есть $x_1 < x_2$. Неотрицательные значения трехчлен принимает на корнях и между ними. Решение: $0 \leq x \leq -\frac{1}{a}$.

Ответ: если $a < 0$, то $x \in [0; -\frac{1}{a}]$; если $a = 0$, то $x \in [0; +\infty)$; если $a > 0$, то $x \in (-\infty; -\frac{1}{a}] \cup [0; +\infty)$.

г) $ax^2 + x \leq 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(ax + 1) \leq 0$.

1. Случай $a = 0$.

Неравенство принимает вид $x \leq 0$.

2. Случай $a > 0$.

Парабола $y = ax^2 + x$ ветвями вверх, корни $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{1}{a}$ ($-\frac{1}{a} < 0$). Неположительные значения трехчлен принимает на корнях и между ними. Решение: $-\frac{1}{a} \leq x \leq 0$.

3. Случай $a < 0$.

Парабола $y = ax^2 + x$ ветвями вниз, корни $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{1}{a}$ ($-\frac{1}{a} > 0$). Неположительные значения трехчлен принимает на корнях и вне интервала между ними. Решение: $x \leq 0$ или $x \geq -\frac{1}{a}$.

Ответ: если $a < 0$, то $x \in (-\infty; 0] \cup [-\frac{1}{a}; +\infty)$; если $a = 0$, то $x \in (-\infty; 0]$; если $a > 0$, то $x \in [-\frac{1}{a}; 0]$.