Номер 15.12, страница 362 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.12, страница 362.

Условие.

15.12 а) $a(x^2 - x) > 0;$

В) $a(x^2 + x) \ge 0;$

Б) $a(x^2 - x) \le 0;$

Г) $a(x^2 + x) < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $a(x^2 - x) > 0$.

Решение этого неравенства зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Случай $a > 0$.
Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $a$, при этом знак неравенства сохранится:
$x^2 - x > 0$
$x(x - 1) > 0$
Корнями квадратного трехчлена $x^2 - x$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Графиком функции $y = x^2 - x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны на интервалах, где график находится выше оси абсцисс, то есть вне корней.
Следовательно, $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

2. Случай $a < 0$.
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число $a$ знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - x < 0$
$x(x - 1) < 0$
Корни те же: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Следовательно, $x \in (0, 1)$.

3. Случай $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot (x^2 - x) > 0$, что упрощается до $0 > 0$. Это неверное числовое неравенство, поэтому при $a=0$ решений нет ($x \in \emptyset$).

Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (0, 1)$; если $a = 0$, то решений нет.

б) Решим неравенство $a(x^2 - x) \le 0$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака параметра $a$.

1. Случай $a > 0$.
Разделим обе части на $a > 0$, знак неравенства не изменится:
$x^2 - x \le 0$
$x(x - 1) \le 0$
Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Решением является отрезок между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $x \in [0, 1]$.

2. Случай $a < 0$.
Разделим обе части на $a < 0$, знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 - x \ge 0$
$x(x - 1) \ge 0$
Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Решением является объединение лучей вне отрезка между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $x \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

3. Случай $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot (x^2 - x) \le 0$, что упрощается до $0 \le 0$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.
Следовательно, $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in [0, 1]$; если $a < 0$, то $x \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$; если $a = 0$, то $x$ - любое действительное число.

в) Решим неравенство $a(x^2 + x) \ge 0$.

Решение зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим три случая.

1. Случай $a > 0$.
Делим на $a > 0$, знак неравенства сохраняется:
$x^2 + x \ge 0$
$x(x + 1) \ge 0$
Корнями выражения являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. График $y=x^2+x$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется вне корней, включая сами корни.
Следовательно, $x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.

2. Случай $a < 0$.
Делим на $a < 0$, знак неравенства меняется:
$x^2 + x \le 0$
$x(x + 1) \le 0$
Корни те же: $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Неравенство выполняется между корнями, включая их.
Следовательно, $x \in [-1, 0]$.

3. Случай $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \ge 0$. Это верное неравенство для любого $x$.
Следовательно, $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in [-1, 0]$; если $a = 0$, то $x$ - любое действительное число.

г) Решим неравенство $a(x^2 + x) < 0$.

Рассмотрим три случая для параметра $a$.

1. Случай $a > 0$.
Делим на $a > 0$, знак неравенства не меняется:
$x^2 + x < 0$
$x(x + 1) < 0$
Корни $x_1 = -1$, $x_2 = 0$. Решением является интервал между корнями.
Следовательно, $x \in (-1, 0)$.

2. Случай $a < 0$.
Делим на $a < 0$, знак неравенства меняется:
$x^2 + x > 0$
$x(x + 1) > 0$
Корни $x_1 = -1$, $x_2 = 0$. Решением является объединение интервалов вне корней.
Следовательно, $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

3. Случай $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 < 0$. Это неверное неравенство, решений нет.
Следовательно, $x \in \emptyset$.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-1, 0)$; если $a < 0$, то $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$; если $a = 0$, то решений нет.