Номер 15.10, страница 362 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами - номер 15.10, страница 362.

Условие.

ИССЛЕДУЕМ. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство (15.10–15.23):

15.10 a) $(a - 1)x > a^2 - 1$;

б) $(a + 2)x > a^2 - 4$;

в) $(a + 3)x \ge a^2 - 9$;

г) $(a - 4)x \le a^2 - 16$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим неравенство $(a - 1)x > a^2 - 1$.

Разложим правую часть на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$. Неравенство принимает вид:

$(a - 1)x > (a - 1)(a + 1)$

Решение этого линейного неравенства относительно $x$ зависит от знака коэффициента $(a - 1)$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$.
В этом случае мы делим обе части неравенства на положительное число $(a - 1)$. Знак неравенства при этом не меняется.
$x > \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1}$
$x > a + 1$.

2. Если $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$.
В этом случае мы делим обе части неравенства на отрицательное число $(a - 1)$. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.
$x < \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1}$
$x < a + 1$.

3. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$.
Подставим это значение в исходное неравенство:
$(1 - 1)x > 1^2 - 1$
$0 \cdot x > 0$
$0 > 0$.
Это неверное числовое неравенство. Следовательно, при $a = 1$ неравенство не имеет решений.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (a + 1; +\infty)$; если $a < 1$, то $x \in (-\infty; a + 1)$; если $a = 1$, то решений нет.

б)

Рассмотрим неравенство $(a + 2)x > a^2 - 4$.

Разложим правую часть на множители: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$. Неравенство принимает вид:

$(a + 2)x > (a - 2)(a + 2)$

Решение зависит от знака коэффициента $(a + 2)$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если $a + 2 > 0$, то есть $a > -2$.
Делим обе части неравенства на положительное число $(a + 2)$, знак неравенства сохраняется.
$x > \frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 2}$
$x > a - 2$.

2. Если $a + 2 < 0$, то есть $a < -2$.
Делим обе части неравенства на отрицательное число $(a + 2)$, знак неравенства меняется на противоположный.
$x < \frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 2}$
$x < a - 2$.

3. Если $a + 2 = 0$, то есть $a = -2$.
Подставим это значение в исходное неравенство:
$(-2 + 2)x > (-2)^2 - 4$
$0 \cdot x > 0$
$0 > 0$.
Это неверное числовое неравенство, следовательно, при $a = -2$ решений нет.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in (a - 2; +\infty)$; если $a < -2$, то $x \in (-\infty; a - 2)$; если $a = -2$, то решений нет.

в)

Рассмотрим неравенство $(a + 3)x \ge a^2 - 9$.

Разложим правую часть на множители: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$. Неравенство принимает вид:

$(a + 3)x \ge (a - 3)(a + 3)$

Решение зависит от знака коэффициента $(a + 3)$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если $a + 3 > 0$, то есть $a > -3$.
Делим обе части неравенства на положительное число $(a + 3)$, знак неравенства сохраняется.
$x \ge \frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 3}$
$x \ge a - 3$.

2. Если $a + 3 < 0$, то есть $a < -3$.
Делим обе части неравенства на отрицательное число $(a + 3)$, знак неравенства меняется на противоположный.
$x \le \frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 3}$
$x \le a - 3$.

3. Если $a + 3 = 0$, то есть $a = -3$.
Подставим это значение в исходное неравенство:
$(-3 + 3)x \ge (-3)^2 - 9$
$0 \cdot x \ge 0$
$0 \ge 0$.
Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$. Следовательно, $x$ - любое действительное число.

Ответ: если $a > -3$, то $x \in [a - 3; +\infty)$; если $a < -3$, то $x \in (-\infty; a - 3]$; если $a = -3$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

г)

Рассмотрим неравенство $(a - 4)x \le a^2 - 16$.

Разложим правую часть на множители: $a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)$. Неравенство принимает вид:

$(a - 4)x \le (a - 4)(a + 4)$

Решение зависит от знака коэффициента $(a - 4)$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если $a - 4 > 0$, то есть $a > 4$.
Делим обе части неравенства на положительное число $(a - 4)$, знак неравенства сохраняется.
$x \le \frac{(a - 4)(a + 4)}{a - 4}$
$x \le a + 4$.

2. Если $a - 4 < 0$, то есть $a < 4$.
Делим обе части неравенства на отрицательное число $(a - 4)$, знак неравенства меняется на противоположный.
$x \ge \frac{(a - 4)(a + 4)}{a - 4}$
$x \ge a + 4$.

3. Если $a - 4 = 0$, то есть $a = 4$.
Подставим это значение в исходное неравенство:
$(4 - 4)x \le 4^2 - 16$
$0 \cdot x \le 0$
$0 \le 0$.
Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$. Следовательно, $x$ - любое действительное число.

Ответ: если $a > 4$, то $x \in (-\infty; a + 4]$; если $a < 4$, то $x \in [a + 4; +\infty)$; если $a = 4$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.