Номер 15.4, страница 360 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами - номер 15.4, страница 360.

Условие.

15.4 a) $\frac{a+10}{ax+5}=2$;

б) $\frac{a-8}{ax-4}=2$;

в) $\frac{a+1}{ax+4}=1$;

г) $\frac{a-2}{ax-3}=1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дано уравнение с параметром $a$: $\frac{a+10}{ax+5} = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ax+5 \neq 0$, откуда $ax \neq -5$.

Для решения уравнения умножим обе части на знаменатель $(ax+5)$:

$a + 10 = 2(ax + 5)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a + 10 = 2ax + 10$

$a = 2ax$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2ax - a = 0$

$a(2x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$.

Подставим $a=0$ в исходное уравнение: $\frac{0+10}{0 \cdot x+5} = \frac{10}{5} = 2$. Равенство $2=2$ является верным для любого значения $x$. Ограничение ОДЗ ($0 \cdot x \neq -5$, то есть $0 \neq -5$) также выполняется для любого $x$. Следовательно, при $a=0$ решением является любое действительное число.

Случай 2: $a \neq 0$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения $a(2x - 1) = 0$ на $a$:

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Теперь необходимо проверить, при каких значениях $a$ этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ax \neq -5$).

Подставим $x = \frac{1}{2}$ в это условие:

$a \cdot \frac{1}{2} \neq -5$

$a \neq -10$

Значит, если $a \neq 0$ и $a \neq -10$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{1}{2}$.

Если $a = -10$, то найденный корень $x = \frac{1}{2}$ обращает знаменатель исходного уравнения в ноль ($(-10) \cdot \frac{1}{2} + 5 = -5 + 5 = 0$), что недопустимо. В этом случае уравнение не имеет решений. Это также видно, если подставить $a=-10$ в исходное уравнение: $\frac{-10+10}{-10x+5}=2$, или $\frac{0}{-10x+5}=2$, что неверно.

Ответ: если $a=0$, то $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a=-10$, то решений нет; если $a \neq 0$ и $a \neq -10$, то $x=\frac{1}{2}$.

б)

Дано уравнение с параметром $a$: $\frac{a-8}{ax-4} = 2$.

ОДЗ: $ax-4 \neq 0$, откуда $ax \neq 4$.

Решим уравнение, умножив обе части на знаменатель $(ax-4)$:

$a - 8 = 2(ax - 4)$

$a - 8 = 2ax - 8$

$a = 2ax$

$2ax - a = 0$

$a(2x - 1) = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.

Подставим $a=0$ в исходное уравнение: $\frac{0-8}{0 \cdot x-4} = \frac{-8}{-4} = 2$. Равенство $2=2$ верно для любого $x$. Ограничение ОДЗ ($0 \cdot x \neq 4$, то есть $0 \neq 4$) выполняется для любого $x$. Следовательно, при $a=0$ решением является любое действительное число.

Случай 2: $a \neq 0$.

Разделим обе части уравнения $a(2x - 1) = 0$ на $a$:

$2x - 1 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Проверим ОДЗ ($ax \neq 4$) для этого корня.

Подставим $x = \frac{1}{2}$:

$a \cdot \frac{1}{2} \neq 4$

$a \neq 8$

Таким образом, если $a \neq 0$ и $a \neq 8$, то корень $x = \frac{1}{2}$ существует.

Если $a = 8$, то корень $x = \frac{1}{2}$ обращает знаменатель в ноль ($8 \cdot \frac{1}{2} - 4 = 4 - 4 = 0$), поэтому решений нет. При подстановке $a=8$ в исходное уравнение получаем $\frac{8-8}{8x-4}=2$, или $\frac{0}{8x-4}=2$, что неверно.

Ответ: если $a=0$, то $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a=8$, то решений нет; если $a \neq 0$ и $a \neq 8$, то $x=\frac{1}{2}$.

в)

Дано уравнение с параметром $a$: $\frac{a+1}{ax+4} = 1$.

ОДЗ: $ax+4 \neq 0$, откуда $ax \neq -4$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(ax+4)$:

$a+1 = ax+4$

Выразим член с $x$:

$ax = a+1-4$

$ax = a-3$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0-3$, то есть $0 = -3$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ решений нет.

Случай 2: $a \neq 0$.

Разделим обе части на $a$:

$x = \frac{a-3}{a}$

Проверим ОДЗ ($ax \neq -4$) для найденного корня.

Подставим $x = \frac{a-3}{a}$:

$a \cdot \frac{a-3}{a} \neq -4$

$a-3 \neq -4$

$a \neq -1$

Следовательно, если $a \neq 0$ и $a \neq -1$, то уравнение имеет единственный корень $x = \frac{a-3}{a}$.

Если $a=-1$, то корень $x = \frac{-1-3}{-1} = 4$ обращает знаменатель в ноль ($-1 \cdot 4 + 4 = 0$). При $a=-1$ исходное уравнение имеет вид $\frac{-1+1}{-x+4}=1$, или $\frac{0}{-x+4}=1$, что неверно. Значит, при $a=-1$ решений нет.

Ответ: если $a=0$ или $a=-1$, то решений нет; если $a \neq 0$ и $a \neq -1$, то $x=\frac{a-3}{a}$.

г)

Дано уравнение с параметром $a$: $\frac{a-2}{ax-3} = 1$.

ОДЗ: $ax-3 \neq 0$, откуда $ax \neq 3$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(ax-3)$:

$a-2 = ax-3$

$ax = a-2+3$

$ax = a+1$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0+1$, то есть $0 = 1$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ решений нет.

Случай 2: $a \neq 0$.

Разделим обе части на $a$:

$x = \frac{a+1}{a}$

Проверим ОДЗ ($ax \neq 3$) для найденного корня.

Подставим $x = \frac{a+1}{a}$:

$a \cdot \frac{a+1}{a} \neq 3$

$a+1 \neq 3$

$a \neq 2$

Следовательно, если $a \neq 0$ и $a \neq 2$, то уравнение имеет единственный корень $x = \frac{a+1}{a}$.

Если $a=2$, то корень $x = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}$ обращает знаменатель в ноль ($2 \cdot \frac{3}{2} - 3 = 0$). При $a=2$ исходное уравнение имеет вид $\frac{2-2}{2x-3}=1$, или $\frac{0}{2x-3}=1$, что неверно. Значит, при $a=2$ решений нет.

Ответ: если $a=0$ или $a=2$, то решений нет; если $a \neq 0$ и $a \neq 2$, то $x=\frac{a+1}{a}$.