Номер 15.2, страница 360 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.2, страница 360.

Условие.

15.2 a) $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = a;$

Б) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = a;$

В) $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = a + 1;$

Г) $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = a - 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим уравнение $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = a$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

Далее, упростим левую часть уравнения. Числитель $x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение: $\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = a$.

Поскольку мы работаем в ОДЗ, где $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 1)$: $x + 1 = a$.

Теперь выразим $x$: $x = a - 1$.

Это решение является верным для всех значений параметра $a$, кроме тех, при которых оно нарушает ОДЗ. Проверим, при каком значении $a$ корень $x$ будет равен $1$: $a - 1 = 1$ $a = 2$.

Таким образом, если $a = 2$, то решение $x=1$ не входит в ОДЗ, и, следовательно, уравнение не имеет корней. Если же $a \neq 2$, то решение $x = a - 1$ является действительным.

Ответ: при $a = 2$ корней нет; при $a \neq 2$, $x = a - 1$.

б) Решим уравнение $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = a$.

ОДЗ: знаменатель $x + 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Разложим числитель на множители: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Уравнение принимает вид: $\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = a$.

Сокращаем дробь на $(x + 1)$, так как $x \neq -1$: $x - 1 = a$.

Выразим $x$: $x = a + 1$.

Проверим, при каком значении $a$ найденный корень нарушает ОДЗ, то есть $x = -1$: $a + 1 = -1$ $a = -2$.

Если $a = -2$, то уравнение не имеет решений. При всех остальных значениях $a$ ($a \neq -2$) решение $x = a + 1$ является верным.

Ответ: при $a = -2$ корней нет; при $a \neq -2$, $x = a + 1$.

в) Решим уравнение $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = a + 1$.

ОДЗ: знаменатель $x + 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

Разложим числитель $x^2 - 4$ как разность квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Уравнение принимает вид: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = a + 1$.

Сокращаем дробь на $(x + 2)$, так как $x \neq -2$: $x - 2 = a + 1$.

Выразим $x$: $x = a + 1 + 2$ $x = a + 3$.

Проверим, при каком значении $a$ найденный корень нарушает ОДЗ, то есть $x = -2$: $a + 3 = -2$ $a = -5$.

Если $a = -5$, то уравнение не имеет решений. При всех $a \neq -5$ решение $x = a + 3$ является верным.

Ответ: при $a = -5$ корней нет; при $a \neq -5$, $x = a + 3$.

г) Решим уравнение $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = a - 1$.

ОДЗ: знаменатель $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Разложим числитель $x^2 - 4$ на множители: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Уравнение принимает вид: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = a - 1$.

Сокращаем дробь на $(x - 2)$, так как $x \neq 2$: $x + 2 = a - 1$.

Выразим $x$: $x = a - 1 - 2$ $x = a - 3$.

Проверим, при каком значении $a$ найденный корень нарушает ОДЗ, то есть $x = 2$: $a - 3 = 2$ $a = 5$.

Если $a = 5$, то уравнение не имеет решений. При всех $a \neq 5$ решение $x = a - 3$ является верным.

Ответ: при $a = 5$ корней нет; при $a \neq 5$, $x = a - 3$.