Номер 15.14, страница 362 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.14, страница 362.

Условие.

15.14 a) $x^2 + ax + 4 \ge 0$;

Б) $x^2 + ax + 9 < 0$;

В) $x^2 - ax + 4 > 0$;

Г) $x^2 - ax + 9 \le 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

В данной задаче требуется найти все значения параметра $a$, при которых указанные неравенства выполняются для всех действительных значений $x$.

Общий подход к решению таких задач заключается в анализе квадратичной функции $f(x) = Ax^2 + Bx + C$. Во всех четырех случаях коэффициент при $x^2$ равен $1$, то есть $A=1 > 0$. Это означает, что графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

а) $x^2 + ax + 4 \geq 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + ax + 4$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство $y \geq 0$ будет выполняться для всех $x$ в том случае, если парабола не пересекает ось Ox или касается ее в одной точке. Это соответствует случаю, когда квадратное уравнение $x^2 + ax + 4 = 0$ имеет не более одного действительного корня.

Условием этого является неположительность дискриминанта ($D \leq 0$). Вычислим дискриминант для этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$.

Теперь решим неравенство $D \leq 0$: $a^2 - 16 \leq 0$ $a^2 \leq 16$ $|a| \leq 4$ Это неравенство равносильно $-4 \leq a \leq 4$.

Ответ: $a \in [-4, 4]$.

б) $x^2 + ax + 9 < 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + ax + 9$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Такая парабола имеет наименьшее значение в своей вершине и уходит в $+\infty$ при $x \to \pm\infty$. Следовательно, значения функции не могут быть отрицательными для всех $x$. Какой бы ни была вершина параболы, ее ветви всегда будут находиться в верхней полуплоскости, принимая положительные значения.

Для того чтобы квадратичная функция была отрицательна при всех $x$, необходимо, чтобы ее старший коэффициент был отрицательным (ветви параболы направлены вниз) и дискриминант был отрицательным (парабола не пересекает ось Ox). В данном случае старший коэффициент равен $1 > 0$, поэтому условие невыполнимо.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

в) $x^2 - ax + 4 > 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - ax + 4$. Это парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ будет выполняться для всех $x$, если парабола полностью расположена выше оси Ox и не касается ее. Это означает, что квадратное уравнение $x^2 - ax + 4 = 0$ не должно иметь действительных корней.

Условием отсутствия действительных корней является строгая отрицательность дискриминанта ($D < 0$). Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$.

Решим неравенство $D < 0$: $a^2 - 16 < 0$ $a^2 < 16$ $|a| < 4$ Это неравенство равносильно $-4 < a < 4$.

Ответ: $a \in (-4, 4)$.

г) $x^2 - ax + 9 \leq 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - ax + 9$. Как и в пункте б), это парабола с ветвями, направленными вверх. Требуется, чтобы функция была неположительной (меньше или равна нулю) для всех $x$.

Парабола с ветвями вверх не может быть неположительной для всех $x$. Ее значения всегда будут положительными при достаточно больших по модулю $x$. Даже в предельном случае, когда дискриминант равен нулю ($D=0$), парабола касается оси Ox в одной точке (где $y=0$), а во всех остальных точках ее значения положительны ($y > 0$). Таким образом, неравенство $y \leq 0$ для всех $x$ никогда не выполняется.

Ответ: таких значений $a$ не существует.