Номер 15.43, страница 373 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами - номер 15.43, страница 373.

Условие.

15.43 Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых множество решений неравенства $2x^2 - 3x + a + 12 \le 0$ не пусто и содержится среди решений неравенства $x^2 + 10x + a \le 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Обозначим $S_1$ — множество решений неравенства $2x^2 - 3x + a + 12 \le 0$, а $S_2$ — множество решений неравенства $x^2 + 10x + a \le 0$. В задаче требуется найти все значения параметра $a$, при которых множество $S_1$ непусто и содержится в множестве $S_2$.

Сначала рассмотрим условие, при котором множество $S_1$ непусто. Неравенство $2x^2 - 3x + a + 12 \le 0$ задает параболу с ветвями, направленными вверх. Множество решений такого неравенства непусто тогда и только тогда, когда соответствующее квадратное уравнение $2x^2 - 3x + a + 12 = 0$ имеет действительные корни. Это означает, что его дискриминант $D_1$ должен быть неотрицательным.$D_1 = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a + 12) = 9 - 8(a + 12) = 9 - 8a - 96 = -8a - 87$.Из условия $D_1 \ge 0$ получаем:$-8a - 87 \ge 0 \implies -8a \ge 87 \implies a \le -\frac{87}{8}$.При выполнении этого условия множество $S_1$ представляет собой отрезок $[x_1, x_2]$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2 - 3x + a + 12 = 0$.

Теперь рассмотрим условие вложенности $S_1 \subseteq S_2$. Это означает, что каждое решение первого неравенства должно являться решением второго неравенства $x^2 + 10x + a \le 0$.Пусть $f(x) = 2x^2 - 3x + a + 12$ и $g(x) = x^2 + 10x + a$.Условие $S_1 \subseteq S_2$, где $S_1 = [x_1, x_2]$, а $S_2$ — множество решений $g(x) \le 0$, для параболы $g(x)$ с ветвями вверх эквивалентно выполнению неравенств $g(x_1) \le 0$ и $g(x_2) \le 0$.

Поскольку $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $f(x)=0$, для них выполняется равенство $2x^2 - 3x + a + 12 = 0$. Отсюда можно выразить параметр $a$: $a = -2x^2 + 3x - 12$.Подставим это выражение для $a$ в неравенство $g(x) \le 0$, которое должно выполняться для $x_1$ и $x_2$:$x^2 + 10x + (-2x^2 + 3x - 12) \le 0$$-x^2 + 13x - 12 \le 0$$x^2 - 13x + 12 \ge 0$Решим это неравенство. Корни уравнения $t^2 - 13t + 12 = 0$ находятся по теореме Виета или через дискриминант: $t_1 = 1$, $t_2 = 12$.Таким образом, неравенство $x^2 - 13x + 12 \ge 0$ справедливо для $x \in (-\infty, 1] \cup [12, \infty)$.Это означает, что оба корня $x_1$ и $x_2$ уравнения $f(x)=0$ должны принадлежать этому множеству.

Проанализируем расположение корней $x_1, x_2$ функции $f(x) = 2x^2 - 3x + a + 12$. Вершина этой параболы находится в точке $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$.Корни $x_1, x_2$ симметричны относительно вершины, то есть $x_1 \le x_v \le x_2$.Так как $x_v = \frac{3}{4} < 1$, то меньший корень $x_1$ всегда удовлетворяет условию $x_1 \le \frac{3}{4} < 1$, а значит, $x_1$ всегда принадлежит промежутку $(-\infty, 1]$.Следовательно, нам нужно лишь обеспечить, чтобы больший корень $x_2$ также принадлежал множеству $(-\infty, 1] \cup [12, \infty)$. Так как $x_2 \ge x_v = \frac{3}{4}$, для $x_2$ возможны два случая.

Первый случай: $x_2 \le 1$.Это означает, что оба корня $x_1, x_2$ не превышают 1. Для параболы $f(x)$ с ветвями вверх и вершиной $x_v=3/4 < 1$, это условие равносильно тому, что $f(1) \ge 0$.$f(1) = 2(1)^2 - 3(1) + a + 12 = 2 - 3 + a + 12 = a + 11$.$a + 11 \ge 0 \implies a \ge -11$.Совмещая это с исходным условием $a \le -\frac{87}{8}$, получаем первую часть решения: $a \in [-11, -\frac{87}{8}]$.

Второй случай: $x_2 \ge 12$.Для параболы $f(x)$ с ветвями вверх и вершиной $x_v=3/4 < 12$, это условие равносильно тому, что $f(12) \le 0$.$f(12) = 2(12)^2 - 3(12) + a + 12 = 2 \cdot 144 - 36 + a + 12 = 288 - 24 + a = a + 264$.$a + 264 \le 0 \implies a \le -264$.Это условие является более строгим, чем $a \le -\frac{87}{8}$ (поскольку $-264 < -10.875$), поэтому условие $D_1 \ge 0$ выполняется автоматически. Отсюда получаем вторую часть решения: $a \in (-\infty, -264]$.

Объединяя множества, полученные в обоих случаях, находим все значения параметра $a$, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $a \in (-\infty, -264] \cup [-11, -\frac{87}{8}]$.