Номер 12.23, страница 314 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 12.23, страница 314.
№12.23 (с. 314)
Условие. №12.23 (с. 314)
скриншот условия

12.23 а) $2\sqrt{x^2 - 9} (x - 5)\log_6 (9 - x) < 0;$
б) $3\sqrt{x^2 - 16} (6 - x)\log_2 (12 + x) > 0.$
Решение 1. №12.23 (с. 314)


Решение 4. №12.23 (с. 314)
а) $2\sqrt{x^2 - 9}(x - 5)\log_6(9 - x) < 0$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Она определяется системой неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 9 \ge 0 \\ 9 - x > 0 \end{cases}$
Решение первого неравенства $x^2 - 9 \ge 0 \implies (x-3)(x+3) \ge 0$ есть $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.
Решение второго неравенства $9 - x > 0$ есть $x < 9$.
Пересекая эти множества, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, 9)$.
2. Решим исходное неравенство. Так как неравенство строгое ($<0$), левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x^2 - 9 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 3$. Таким образом, мы будем искать решение на множестве $(-\infty, -3) \cup (3, 9)$.
На этом множестве множитель $2\sqrt{x^2 - 9}$ строго положителен, поэтому мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак:
$(x - 5)\log_6(9 - x) < 0$
Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки. Это равносильно совокупности двух систем:
Система 1:
$\begin{cases} x - 5 > 0 \\ \log_6(9 - x) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ 0 < 9 - x < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ -9 < -x < -8 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ 8 < x < 9 \end{cases} \implies x \in (8, 9)$.
Этот интервал полностью входит в ОДЗ.
Система 2:
$\begin{cases} x - 5 < 0 \\ \log_6(9 - x) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ 9 - x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x < 8 \end{cases} \implies x < 5$.
Теперь пересечем решение $x < 5$ с областью, на которой мы решаем неравенство, то есть $(-\infty, -3) \cup (3, 9)$. Получим: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, 5)$.
3. Объединим решения, полученные в обеих системах:
$x \in (-\infty, -3) \cup (3, 5) \cup (8, 9)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, 5) \cup (8, 9)$.
б) $3\sqrt{x^2 - 16}(6 - x)\log_2(12 + x) > 0$
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Она определяется системой неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 16 \ge 0 \\ 12 + x > 0 \end{cases}$
Решение первого неравенства $x^2 - 16 \ge 0 \implies (x-4)(x+4) \ge 0$ есть $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.
Решение второго неравенства $12 + x > 0$ есть $x > -12$.
Пересекая эти множества, получаем ОДЗ: $x \in (-12, -4] \cup [4, \infty)$.
2. Решим исходное неравенство. Так как неравенство строгое ($>0$), левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x^2 - 16 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 4$. Таким образом, мы будем искать решение на множестве $(-12, -4) \cup (4, \infty)$.
На этом множестве множитель $3\sqrt{x^2 - 16}$ строго положителен, поэтому мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак:
$(6 - x)\log_2(12 + x) > 0$
Произведение двух множителей положительно, когда они имеют одинаковые знаки. Это равносильно совокупности двух систем:
Система 1:
$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ \log_2(12 + x) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 6 \\ 12 + x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 6 \\ x > -11 \end{cases} \implies x \in (-11, 6)$.
Пересечем полученный интервал $(-11, 6)$ с областью, на которой мы решаем неравенство, то есть $(-12, -4) \cup (4, \infty)$. Получим: $x \in (-11, -4) \cup (4, 6)$.
Система 2:
$\begin{cases} 6 - x < 0 \\ \log_2(12 + x) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 6 \\ 0 < 12 + x < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 6 \\ -12 < x < -11 \end{cases}$.
Эта система не имеет решений, так как интервалы $x > 6$ и $-12 < x < -11$ не пересекаются.
3. Решением исходного неравенства является решение, полученное в первой системе.
Ответ: $x \in (-11, -4) \cup (4, 6)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 12.23 расположенного на странице 314 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №12.23 (с. 314), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.