Номер 12.23, страница 314 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств - номер 12.23, страница 314.

Условие.

12.23 а) $2\sqrt{x^2 - 9} (x - 5)\log_6 (9 - x) < 0;$

б) $3\sqrt{x^2 - 16} (6 - x)\log_2 (12 + x) > 0.$

Решение 1.

Решение 4.

а) $2\sqrt{x^2 - 9}(x - 5)\log_6(9 - x) < 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Она определяется системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 9 \ge 0 \\ 9 - x > 0 \end{cases}$

Решение первого неравенства $x^2 - 9 \ge 0 \implies (x-3)(x+3) \ge 0$ есть $x \in (-\infty, -3] \cup [3, \infty)$.

Решение второго неравенства $9 - x > 0$ есть $x < 9$.

Пересекая эти множества, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -3] \cup [3, 9)$.

2. Решим исходное неравенство. Так как неравенство строгое ($<0$), левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x^2 - 9 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 3$. Таким образом, мы будем искать решение на множестве $(-\infty, -3) \cup (3, 9)$.

На этом множестве множитель $2\sqrt{x^2 - 9}$ строго положителен, поэтому мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак:

$(x - 5)\log_6(9 - x) < 0$

Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки. Это равносильно совокупности двух систем:

Система 1:

$\begin{cases} x - 5 > 0 \\ \log_6(9 - x) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ 0 < 9 - x < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ -9 < -x < -8 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ 8 < x < 9 \end{cases} \implies x \in (8, 9)$.

Этот интервал полностью входит в ОДЗ.

Система 2:

$\begin{cases} x - 5 < 0 \\ \log_6(9 - x) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ 9 - x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x < 8 \end{cases} \implies x < 5$.

Теперь пересечем решение $x < 5$ с областью, на которой мы решаем неравенство, то есть $(-\infty, -3) \cup (3, 9)$. Получим: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, 5)$.

3. Объединим решения, полученные в обеих системах:

$x \in (-\infty, -3) \cup (3, 5) \cup (8, 9)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, 5) \cup (8, 9)$.

б) $3\sqrt{x^2 - 16}(6 - x)\log_2(12 + x) > 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Она определяется системой неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 16 \ge 0 \\ 12 + x > 0 \end{cases}$

Решение первого неравенства $x^2 - 16 \ge 0 \implies (x-4)(x+4) \ge 0$ есть $x \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

Решение второго неравенства $12 + x > 0$ есть $x > -12$.

Пересекая эти множества, получаем ОДЗ: $x \in (-12, -4] \cup [4, \infty)$.

2. Решим исходное неравенство. Так как неравенство строгое ($>0$), левая часть не может быть равна нулю. Это означает, что $x^2 - 16 \neq 0$, то есть $x \neq \pm 4$. Таким образом, мы будем искать решение на множестве $(-12, -4) \cup (4, \infty)$.

На этом множестве множитель $3\sqrt{x^2 - 16}$ строго положителен, поэтому мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак:

$(6 - x)\log_2(12 + x) > 0$

Произведение двух множителей положительно, когда они имеют одинаковые знаки. Это равносильно совокупности двух систем:

Система 1:

$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ \log_2(12 + x) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 6 \\ 12 + x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 6 \\ x > -11 \end{cases} \implies x \in (-11, 6)$.

Пересечем полученный интервал $(-11, 6)$ с областью, на которой мы решаем неравенство, то есть $(-12, -4) \cup (4, \infty)$. Получим: $x \in (-11, -4) \cup (4, 6)$.

Система 2:

$\begin{cases} 6 - x < 0 \\ \log_2(12 + x) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 6 \\ 0 < 12 + x < 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 6 \\ -12 < x < -11 \end{cases}$.

Эта система не имеет решений, так как интервалы $x > 6$ и $-12 < x < -11$ не пересекаются.

3. Решением исходного неравенства является решение, полученное в первой системе.

Ответ: $x \in (-11, -4) \cup (4, 6)$.