Номер 12.22, страница 314 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств - номер 12.22, страница 314.

Условие.

12.22 a) $\frac{2^{x-1} + 6 \cdot 4^{x+1}}{3 \cdot 4^x - 10 \cdot 2^{x-1} - 28} \ge -1$;

б) $\frac{5 \cdot 2^{x-1} - 2 \cdot 4^x - 26}{3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x-1} - 34} \ge 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Решим неравенство: $$ \frac{2^{x-1} + 6 \cdot 4^{x+1} + 1}{3 \cdot 4^x - 10 \cdot 2^{x-1} - 28} \ge -1 $$ Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{2^{x-1} + 6 \cdot 4^{x+1} + 1}{3 \cdot 4^x - 10 \cdot 2^{x-1} - 28} + 1 \ge 0 $$ $$ \frac{2^{x-1} + 6 \cdot 4^{x+1} + 1 + 3 \cdot 4^x - 10 \cdot 2^{x-1} - 28}{3 \cdot 4^x - 10 \cdot 2^{x-1} - 28} \ge 0 $$ Упростим показательные функции, приведя их к основанию 2: $2^{x-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$
$4^x = (2^x)^2$
$4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^x)^2$
Подставим эти выражения в неравенство: $$ \frac{\frac{1}{2} \cdot 2^x + 6 \cdot 4 \cdot (2^x)^2 + 1 + 3 \cdot (2^x)^2 - 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x - 28}{3 \cdot (2^x)^2 - 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x - 28} \ge 0 $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ \frac{24 \cdot (2^x)^2 + 3 \cdot (2^x)^2 + \frac{1}{2} \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x + 1 - 28}{3 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 28} \ge 0 $$ $$ \frac{27 \cdot (2^x)^2 - \frac{9}{2} \cdot 2^x - 27}{3 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 28} \ge 0 $$ Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. $$ \frac{27t^2 - \frac{9}{2}t - 27}{3t^2 - 5t - 28} \ge 0 $$ Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы избавиться от дроби в коэффициенте: $$ \frac{54t^2 - 9t - 54}{3t^2 - 5t - 28} \ge 0 $$ Разделим числитель на 9: $$ \frac{9(6t^2 - t - 6)}{3t^2 - 5t - 28} \ge 0 $$ Так как 9 > 0, знак неравенства не меняется: $$ \frac{6t^2 - t - 6}{3t^2 - 5t - 28} \ge 0 $$ Найдем корни числителя и знаменателя. Для числителя $6t^2 - t - 6 = 0$:
Дискриминант $D_1 = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 1 + 144 = 145$.
Корни $t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{145}}{12}$. Для знаменателя $3t^2 - 5t - 28 = 0$:
Дискриминант $D_2 = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-28) = 25 + 336 = 361 = 19^2$.
Корни $t_{3,4} = \frac{5 \pm 19}{6}$, откуда $t_3 = \frac{5+19}{6} = 4$ и $t_4 = \frac{5-19}{6} = -\frac{7}{3}$. С учетом условия $t > 0$, нас интересуют только положительные корни: $t = \frac{1+\sqrt{145}}{12}$ и $t = 4$. Заметим, что $\sqrt{144} < \sqrt{145} < \sqrt{169}$, то есть $12 < \sqrt{145} < 13$. Значит $\frac{1+12}{12} < \frac{1+\sqrt{145}}{12} < \frac{1+13}{12}$, то есть $1 < \frac{13}{12} < \frac{1+\sqrt{145}}{12} < \frac{14}{12} < 2$. Таким образом, $\frac{1+\sqrt{145}}{12} < 4$. Решим неравенство $\frac{6(t - \frac{1+\sqrt{145}}{12})(t - \frac{1-\sqrt{145}}{12})}{3(t-4)(t+\frac{7}{3})} \ge 0$ методом интервалов для $t>0$. На числовой прямой для $t>0$ отмечаем точки $\frac{1+\sqrt{145}}{12}$ (закрашенная) и $4$ (выколотая). Интервалы: $(0, \frac{1+\sqrt{145}}{12}]$, $(\frac{1+\sqrt{145}}{12}, 4)$, $(4, +\infty)$. - При $t \in (0, \frac{1+\sqrt{145}}{12}]$, например $t=1$: $\frac{6-1-6}{3-5-28} = \frac{-1}{-30} > 0$. Интервал подходит. - При $t \in (\frac{1+\sqrt{145}}{12}, 4)$, например $t=2$: $\frac{6(4)-2-6}{3(4)-10-28} = \frac{16}{-26} < 0$. Интервал не подходит. - При $t \in (4, +\infty)$, например $t=5$: $\frac{6(25)-5-6}{3(25)-25-28} = \frac{139}{22} > 0$. Интервал подходит. Таким образом, решение для $t$: $t \in (0, \frac{1+\sqrt{145}}{12}] \cup (4, +\infty)$. Вернемся к замене $t = 2^x$: 1) $0 < 2^x \le \frac{1+\sqrt{145}}{12}$. Так как $2^x > 0$ всегда, решаем $2^x \le \frac{1+\sqrt{145}}{12}$. Логарифмируя по основанию 2, получаем $x \le \log_2\left(\frac{1+\sqrt{145}}{12}\right)$. 2) $2^x > 4$. $2^x > 2^2$, откуда $x > 2$. Объединяя решения, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\infty, \log_2(\frac{1+\sqrt{145}}{12})] \cup (2, +\infty)$.

б)

Решим неравенство: $$ \frac{5 \cdot 2^{x-1} - 2 \cdot 4^x - 26}{3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x-1} - 34} \ge 1 $$ Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю: $$ \frac{5 \cdot 2^{x-1} - 2 \cdot 4^x - 26 - (3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x-1} - 34)}{3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x-1} - 34} \ge 0 $$ $$ \frac{5 \cdot 2^{x-1} - 2 \cdot 4^x - 26 - 3 \cdot 4^x + 7 \cdot 2^{x-1} + 34}{3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x-1} - 34} \ge 0 $$ Приведем подобные слагаемые в числителе: $$ \frac{-5 \cdot 4^x + 12 \cdot 2^{x-1} + 8}{3 \cdot 4^x - 7 \cdot 2^{x-1} - 34} \ge 0 $$ Упростим показательные функции: $4^x = (2^x)^2$ и $2^{x-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$. $$ \frac{-5(2^x)^2 + 12 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x + 8}{3(2^x)^2 - 7 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^x - 34} \ge 0 $$ $$ \frac{-5(2^x)^2 + 6 \cdot 2^x + 8}{3(2^x)^2 - \frac{7}{2} \cdot 2^x - 34} \ge 0 $$ Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. $$ \frac{-5t^2 + 6t + 8}{3t^2 - \frac{7}{2}t - 34} \ge 0 $$ Умножим числитель и знаменатель на 2: $$ \frac{-10t^2 + 12t + 16}{6t^2 - 7t - 68} \ge 0 $$ Разделим числитель и знаменатель на -1, изменив знак неравенства: $$ \frac{10t^2 - 12t - 16}{6t^2 - 7t - 68} \le 0 $$ Разделим числитель на 2: $$ \frac{5t^2 - 6t - 8}{6t^2 - 7t - 68} \le 0 $$ Найдем корни числителя и знаменателя. Для числителя $5t^2 - 6t - 8 = 0$:
Дискриминант $D_1 = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 36 + 160 = 196 = 14^2$.
Корни $t_{1,2} = \frac{6 \pm 14}{10}$, откуда $t_1 = \frac{6+14}{10} = 2$ и $t_2 = \frac{6-14}{10} = -0.8$. Для знаменателя $6t^2 - 7t - 68 = 0$:
Дискриминант $D_2 = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-68) = 49 + 1632 = 1681 = 41^2$.
Корни $t_{3,4} = \frac{7 \pm 41}{12}$, откуда $t_3 = \frac{7+41}{12} = 4$ и $t_4 = \frac{7-41}{12} = -\frac{34}{12} = -\frac{17}{6}$. С учетом условия $t > 0$, нас интересуют только положительные корни: $t = 2$ и $t = 4$. Решим неравенство $\frac{5(t-2)(t+0.8)}{6(t-4)(t+\frac{17}{6})} \le 0$ методом интервалов для $t>0$. На числовой прямой для $t>0$ отмечаем точки $2$ (закрашенная) и $4$ (выколотая). Интервалы: $(0, 2]$, $[2, 4)$, $(4, +\infty)$. - При $t \in (0, 2)$, например $t=1$: $\frac{5-6-8}{6-7-68} = \frac{-9}{-69} > 0$. Интервал не подходит. - При $t \in (2, 4)$, например $t=3$: $\frac{5(9)-6(3)-8}{6(9)-7(3)-68} = \frac{45-18-8}{54-21-68} = \frac{19}{-35} < 0$. Интервал подходит. - При $t \in (4, +\infty)$, например $t=5$: $\frac{5(25)-6(5)-8}{6(25)-7(5)-68} = \frac{125-30-8}{150-35-68} = \frac{87}{47} > 0$. Интервал не подходит. Учитывая, что $t=2$ является корнем числителя, решение для $t$: $t \in [2, 4)$. Вернемся к замене $t = 2^x$: $$ 2 \le 2^x < 4 $$ $$ 2^1 \le 2^x < 2^2 $$ Так как основание степени $2>1$, то для показателей степеней неравенство сохраняется: $$ 1 \le x < 2 $$

Ответ: $x \in [1, 2)$.