Страница 311 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

12.11 а) $\frac{|x - 1| + 10}{4|x - 1| + 3} > 2;$

Б) $\frac{|x - 2| + 8}{3|x - 2| + 1} < 3;$

В) $\frac{|x - 3| + 6}{2|x - 3| + 1} < 4;$

Г) $\frac{|x - 2| + 7}{3|x - 2| + 2} > 1.$

а) $\frac{|x - 1| + 10}{4|x - 1| + 3} > 2$

Введем замену: пусть $t = |x - 1|$. Так как модуль любого числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{t + 10}{4t + 3} > 2$

Поскольку $t \ge 0$, знаменатель $4t + 3$ всегда положителен ($4t + 3 \ge 3$). Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $4t + 3$, не меняя знака неравенства:

$t + 10 > 2(4t + 3)$

$t + 10 > 8t + 6$

$10 - 6 > 8t - t$

$4 > 7t$

$t < \frac{4}{7}$

Учитывая условие $t \ge 0$, получаем двойное неравенство для $t$:

$0 \le t < \frac{4}{7}$

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = |x - 1|$:

$0 \le |x - 1| < \frac{4}{7}$

Неравенство $|x - 1| \ge 0$ выполняется для всех $x$. Решим неравенство $|x - 1| < \frac{4}{7}$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-\frac{4}{7} < x - 1 < \frac{4}{7}$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$1 - \frac{4}{7} < x < 1 + \frac{4}{7}$

$\frac{3}{7} < x < \frac{11}{7}$

Ответ: $x \in (\frac{3}{7}; \frac{11}{7})$.

б) $\frac{|x - 2| + 8}{3|x - 2| + 1} < 3$

Введем замену: пусть $t = |x - 2|$. Так как $t$ - это модуль, $t \ge 0$.

Получаем неравенство с переменной $t$:

$\frac{t + 8}{3t + 1} < 3$

Знаменатель $3t + 1$ всегда положителен, так как $t \ge 0$ ($3t+1 \ge 1$). Умножим обе части на $3t + 1$:

$t + 8 < 3(3t + 1)$

$t + 8 < 9t + 3$

$8 - 3 < 9t - t$

$5 < 8t$

$t > \frac{5}{8}$

Условие $t \ge 0$ выполняется, так как $\frac{5}{8} > 0$.

Произведем обратную замену $t = |x - 2|$:

$|x - 2| > \frac{5}{8}$

Это неравенство распадается на два случая (эквивалентно совокупности):

$x - 2 > \frac{5}{8}$ или $x - 2 < -\frac{5}{8}$

Решим каждое неравенство:

1) $x > 2 + \frac{5}{8} \implies x > \frac{16 + 5}{8} \implies x > \frac{21}{8}$

2) $x < 2 - \frac{5}{8} \implies x < \frac{16 - 5}{8} \implies x < \frac{11}{8}$

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{11}{8}) \cup (\frac{21}{8}; \infty)$.

в) $\frac{|x - 3| + 6}{2|x - 3| + 1} < 4$

Пусть $t = |x - 3|$, где $t \ge 0$.

Неравенство преобразуется к виду:

$\frac{t + 6}{2t + 1} < 4$

Знаменатель $2t + 1 > 0$ для всех $t \ge 0$. Умножим на него обе части:

$t + 6 < 4(2t + 1)$

$t + 6 < 8t + 4$

$6 - 4 < 8t - t$

$2 < 7t$

$t > \frac{2}{7}$

Делаем обратную замену $t = |x - 3|$:

$|x - 3| > \frac{2}{7}$

Данное неравенство эквивалентно совокупности двух неравенств:

$x - 3 > \frac{2}{7}$ или $x - 3 < -\frac{2}{7}$

Решаем их по отдельности:

1) $x > 3 + \frac{2}{7} \implies x > \frac{21 + 2}{7} \implies x > \frac{23}{7}$

2) $x < 3 - \frac{2}{7} \implies x < \frac{21 - 2}{7} \implies x < \frac{19}{7}$

Решением является объединение этих интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{19}{7}) \cup (\frac{23}{7}; \infty)$.

г) $\frac{|x - 2| + 7}{3|x - 2| + 2} > 1$

Введем замену переменной: $t = |x - 2|$. Учитываем, что $t \ge 0$.

Неравенство становится:

$\frac{t + 7}{3t + 2} > 1$

Так как $t \ge 0$, знаменатель $3t + 2$ всегда положителен ($3t+2 \ge 2$). Умножаем обе части на $3t + 2$:

$t + 7 > 3t + 2$

$7 - 2 > 3t - t$

$5 > 2t$

$t < \frac{5}{2}$

Совмещая с условием $t \ge 0$, имеем:

$0 \le t < \frac{5}{2}$

Выполняем обратную замену $t = |x - 2|$:

$0 \le |x - 2| < \frac{5}{2}$

Неравенство $|x-2| \ge 0$ верно всегда. Остается решить $|x - 2| < \frac{5}{2}$.

Это равносильно двойному неравенству:

$-\frac{5}{2} < x - 2 < \frac{5}{2}$

Прибавим 2 ко всем частям:

$2 - \frac{5}{2} < x < 2 + \frac{5}{2}$

$\frac{4 - 5}{2} < x < \frac{4 + 5}{2}$

$-\frac{1}{2} < x < \frac{9}{2}$

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; \frac{9}{2})$.

12.12 a) $|x + 1| + |x + 3| < 8;$

B) $|x + 3| + |x - 2| > 5;$

б) $|x + 2| + |x + 4| < 6;$

Г) $|x + 7| + |x + 1| > 9.$

а) Для решения неравенства $|x + 1| + |x + 3| < 8$ используем метод интервалов.
Найдем нули подмодульных выражений: $x + 1 = 0 \implies x = -1$ и $x + 3 = 0 \implies x = -3$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -3)$, $[-3, -1)$ и $[-1, \infty)$.
1. Если $x < -3$, оба модуля раскрываются со знаком минус:
$-(x + 1) - (x + 3) < 8$
$-x - 1 - x - 3 < 8$
$-2x - 4 < 8$
$-2x < 12$
$x > -6$
Пересекая с условием $x < -3$, получаем $x \in (-6, -3)$.
2. Если $-3 \le x < -1$, то $|x + 1|$ раскрывается с минусом, а $|x + 3|$ с плюсом:
$-(x + 1) + (x + 3) < 8$
$-x - 1 + x + 3 < 8$
$2 < 8$
Это неравенство верно для всех $x$ из данного промежутка, то есть $x \in [-3, -1)$.
3. Если $x \ge -1$, оба модуля раскрываются со знаком плюс:
$(x + 1) + (x + 3) < 8$
$2x + 4 < 8$
$2x < 4$
$x < 2$
Пересекая с условием $x \ge -1$, получаем $x \in [-1, 2)$.
Объединяя все полученные решения, имеем: $(-6, -3) \cup [-3, -1) \cup [-1, 2) = (-6, 2)$.
Ответ: $x \in (-6, 2)$.

б) Для решения неравенства $|x + 2| + |x + 4| < 6$ используем метод интервалов.
Нули подмодульных выражений: $x = -2$ и $x = -4$.
Интервалы: $(-\infty, -4)$, $[-4, -2)$ и $[-2, \infty)$.
1. Если $x < -4$:
$-(x + 2) - (x + 4) < 6$
$-2x - 6 < 6$
$-2x < 12 \implies x > -6$.
Решение на интервале: $x \in (-6, -4)$.
2. Если $-4 \le x < -2$:
$-(x + 2) + (x + 4) < 6$
$2 < 6$.
Неравенство верно для всех $x$ из этого промежутка: $x \in [-4, -2)$.
3. Если $x \ge -2$:
$(x + 2) + (x + 4) < 6$
$2x + 6 < 6$
$2x < 0 \implies x < 0$.
Решение на интервале: $x \in [-2, 0)$.
Объединяя решения, получаем: $(-6, -4) \cup [-4, -2) \cup [-2, 0) = (-6, 0)$.
Ответ: $x \in (-6, 0)$.

в) Для решения неравенства $|x + 3| + |x - 2| > 5$ используем метод интервалов.
Нули подмодульных выражений: $x = -3$ и $x = 2$.
Интервалы: $(-\infty, -3)$, $[-3, 2)$ и $[2, \infty)$.
1. Если $x < -3$:
$-(x + 3) - (x - 2) > 5$
$-2x - 1 > 5$
$-2x > 6 \implies x < -3$.
Решение на интервале совпадает с самим интервалом: $x \in (-\infty, -3)$.
2. Если $-3 \le x < 2$:
$(x + 3) - (x - 2) > 5$
$5 > 5$.
Это неравенство ложно, решений в этом промежутке нет.
3. Если $x \ge 2$:
$(x + 3) + (x - 2) > 5$
$2x + 1 > 5$
$2x > 4 \implies x > 2$.
Решение на интервале: $x \in (2, \infty)$.
Объединяя решения, получаем: $(-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

г) Для решения неравенства $|x + 7| + |x + 1| > 9$ используем метод интервалов.
Нули подмодульных выражений: $x = -7$ и $x = -1$.
Интервалы: $(-\infty, -7)$, $[-7, -1)$ и $[-1, \infty)$.
1. Если $x < -7$:
$-(x + 7) - (x + 1) > 9$
$-2x - 8 > 9$
$-2x > 17 \implies x < -\frac{17}{2}$.
Так как $-\frac{17}{2} = -8.5$, и $-8.5 < -7$, то решение на интервале: $x \in (-\infty, -\frac{17}{2})$.
2. Если $-7 \le x < -1$:
$(x + 7) - (x + 1) > 9$
$6 > 9$.
Это неравенство ложно, решений в этом промежутке нет.
3. Если $x \ge -1$:
$(x + 7) + (x + 1) > 9$
$2x + 8 > 9$
$2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}$.
Решение на интервале: $x \in (\frac{1}{2}, \infty)$.
Объединяя решения, получаем: $(-\infty, -\frac{17}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{17}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$.

12.13* a) $|x^2 - 9| + |x + 4| \ge 7; $ б) $|x^2 - 16| + |x - 5| \ge 9; $
B) $|x^2 - 4| + |x - 3| \le 5; $ г) $|x^2 - 1| + |x - 2| \le 3. $

а)

Решим неравенство $|x^2 - 9| + |x + 4| \ge 7$.

Для раскрытия модулей найдем нули подмодульных выражений:

$x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3$

$x + 4 = 0 \implies x = -4$

Эти точки разбивают числовую ось на четыре промежутка: $(-\infty, -4)$, $[-4, -3)$, $[-3, 3)$, $[3, \infty)$.

1. Рассмотрим промежуток $x < -4$.

На этом промежутке $x^2 - 9 > 0$ и $x + 4 < 0$. Неравенство принимает вид:

$(x^2 - 9) - (x + 4) \ge 7$

$x^2 - x - 13 \ge 7$

$x^2 - x - 20 \ge 0$

Корни уравнения $x^2 - x - 20 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 5$. Решение неравенства: $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$.

С учетом условия $x < -4$, получаем решение: $x \in (-\infty, -4)$.

2. Рассмотрим промежуток $-4 \le x < -3$.

На этом промежутке $x^2 - 9 > 0$ и $x + 4 \ge 0$. Неравенство принимает вид:

$(x^2 - 9) + (x + 4) \ge 7$

$x^2 + x - 5 \ge 7$

$x^2 + x - 12 \ge 0$

Корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$. Решение неравенства: $x \in (-\infty, -4] \cup [3, \infty)$.

С учетом условия $-4 \le x < -3$, получаем решение: $x = -4$.

3. Рассмотрим промежуток $-3 \le x < 3$.

На этом промежутке $x^2 - 9 \le 0$ и $x + 4 > 0$. Неравенство принимает вид:

$-(x^2 - 9) + (x + 4) \ge 7$

$-x^2 + 9 + x + 4 \ge 7$

$-x^2 + x + 13 \ge 7$

$x^2 - x - 6 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$. Решение неравенства: $x \in [-2, 3]$.

С учетом условия $-3 \le x < 3$, получаем решение: $x \in [-2, 3)$.

4. Рассмотрим промежуток $x \ge 3$.

На этом промежутке $x^2 - 9 \ge 0$ и $x + 4 > 0$. Неравенство принимает вид:

$(x^2 - 9) + (x + 4) \ge 7$

$x^2 + x - 5 \ge 7$

$x^2 + x - 12 \ge 0$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -4] \cup [3, \infty)$.

С учетом условия $x \ge 3$, получаем решение: $x \in [3, \infty)$.

Объединяем все полученные решения: $(-\infty, -4) \cup \{-4\} \cup [-2, 3) \cup [3, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [-2, \infty)$.

б)

Решим неравенство $|x^2 - 16| + |x - 5| \ge 9$.

Нули подмодульных выражений: $x = \pm 4$ и $x = 5$.

Промежутки: $(-\infty, -4)$, $[-4, 4)$, $[4, 5)$, $[5, \infty)$.

1. $x < -4$: $(x^2 - 16) - (x - 5) \ge 9 \implies x^2 - x - 11 \ge 9 \implies x^2 - x - 20 \ge 0$.

Решение: $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$. С учетом $x < -4$, получаем $x \in (-\infty, -4)$.

2. $-4 \le x < 4$: $-(x^2 - 16) - (x - 5) \ge 9 \implies -x^2 - x + 21 \ge 9 \implies x^2 + x - 12 \le 0$.

Корни $x_1 = -4, x_2 = 3$. Решение: $x \in [-4, 3]$. Это решение полностью входит в рассматриваемый промежуток.

3. $4 \le x < 5$: $(x^2 - 16) - (x - 5) \ge 9 \implies x^2 - x - 20 \ge 0$.

Решение: $x \in (-\infty, -4] \cup [5, \infty)$. На промежутке $[4, 5)$ решений нет.

4. $x \ge 5$: $(x^2 - 16) + (x - 5) \ge 9 \implies x^2 + x - 21 \ge 9 \implies x^2 + x - 30 \ge 0$.

Корни $x_1 = -6, x_2 = 5$. Решение: $x \in (-\infty, -6] \cup [5, \infty)$. С учетом $x \ge 5$, получаем $x \in [5, \infty)$.

Объединяем решения: $(-\infty, -4) \cup [-4, 3] \cup [5, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3] \cup [5, \infty)$.

в)

Решим неравенство $|x^2 - 4| + |x - 3| \le 5$.

Нули подмодульных выражений: $x = \pm 2$ и $x = 3$.

Промежутки: $(-\infty, -2)$, $[-2, 2)$, $[2, 3)$, $[3, \infty)$.

1. $x < -2$: $(x^2 - 4) - (x - 3) \le 5 \implies x^2 - x - 1 \le 5 \implies x^2 - x - 6 \le 0$.

Корни $x_1 = -2, x_2 = 3$. Решение: $x \in [-2, 3]$. На промежутке $(-\infty, -2)$ решений нет.

2. $-2 \le x < 2$: $-(x^2 - 4) - (x - 3) \le 5 \implies -x^2 - x + 7 \le 5 \implies x^2 + x - 2 \ge 0$.

Корни $x_1 = -2, x_2 = 1$. Решение: $x \in (-\infty, -2] \cup [1, \infty)$. С учетом $-2 \le x < 2$, получаем $x \in \{-2\} \cup [1, 2)$.

3. $2 \le x < 3$: $(x^2 - 4) - (x - 3) \le 5 \implies x^2 - x - 6 \le 0$.

Решение: $x \in [-2, 3]$. С учетом $2 \le x < 3$, получаем $x \in [2, 3)$.

4. $x \ge 3$: $(x^2 - 4) + (x - 3) \le 5 \implies x^2 + x - 7 \le 5 \implies x^2 + x - 12 \le 0$.

Корни $x_1 = -4, x_2 = 3$. Решение: $x \in [-4, 3]$. С учетом $x \ge 3$, получаем $x = 3$.

Объединяем решения: $\{-2\} \cup [1, 2) \cup [2, 3) \cup \{3\}$.

Ответ: $x \in \{-2\} \cup [1, 3]$.

г)

Решим неравенство $|x^2 - 1| + |x - 2| \le 3$.

Нули подмодульных выражений: $x = \pm 1$ и $x = 2$.

Промежутки: $(-\infty, -1)$, $[-1, 1)$, $[1, 2)$, $[2, \infty)$.

1. $x < -1$: $(x^2 - 1) - (x - 2) \le 3 \implies x^2 - x + 1 \le 3 \implies x^2 - x - 2 \le 0$.

Корни $x_1 = -1, x_2 = 2$. Решение: $x \in [-1, 2]$. На промежутке $(-\infty, -1)$ решений нет.

2. $-1 \le x < 1$: $-(x^2 - 1) - (x - 2) \le 3 \implies -x^2 - x + 3 \le 3 \implies x^2 + x \ge 0 \implies x(x+1) \ge 0$.

Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [0, \infty)$. С учетом $-1 \le x < 1$, получаем $x \in \{-1\} \cup [0, 1)$.

3. $1 \le x < 2$: $(x^2 - 1) - (x - 2) \le 3 \implies x^2 - x - 2 \le 0$.

Решение: $x \in [-1, 2]$. С учетом $1 \le x < 2$, получаем $x \in [1, 2)$.

4. $x \ge 2$: $(x^2 - 1) + (x - 2) \le 3 \implies x^2 + x - 3 \le 3 \implies x^2 + x - 6 \le 0$.

Корни $x_1 = -3, x_2 = 2$. Решение: $x \in [-3, 2]$. С учетом $x \ge 2$, получаем $x = 2$.

Объединяем решения: $\{-1\} \cup [0, 1) \cup [1, 2) \cup \{2\}$.

Ответ: $x \in \{-1\} \cup [0, 2]$.

12.14 а) $\frac{|x - 1|}{x - 1} + \frac{|x - 2|}{x - 2} \ge 0;$

б) $\frac{|x - 5|}{x - 5} + \frac{|x - 6|}{x - 6} \ge 2;$

в) $\frac{|x - 5| - |x - 3|}{|x - 2| + x - 2} \ge 0;$

г) $\frac{|x - 7| - |x - 3|}{x - 8 - |x - 8|} \ge 0.$

а) Решим неравенство $\frac{|x-1|}{x-1} + \frac{|x-2|}{x-2} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x-1 \ne 0$ и $x-2 \ne 0$, то есть $x \ne 1$ и $x \ne 2$.

Заметим, что выражение $\frac{|a|}{a}$ является функцией знака $\text{sgn}(a)$, которая равна $1$ при $a > 0$ и $-1$ при $a < 0$. Разобьем числовую ось на интервалы точками, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x=1$ и $x=2$.

1. При $x < 1$, имеем $x-1 < 0$ и $x-2 < 0$. Левая часть неравенства принимает вид: $\frac{-(x-1)}{x-1} + \frac{-(x-2)}{x-2} = -1 + (-1) = -2$. Неравенство $-2 \ge 0$ неверно, решений на этом интервале нет.

2. При $1 < x < 2$, имеем $x-1 > 0$ и $x-2 < 0$. Левая часть неравенства принимает вид: $\frac{x-1}{x-1} + \frac{-(x-2)}{x-2} = 1 + (-1) = 0$. Неравенство $0 \ge 0$ верно. Следовательно, весь интервал $(1, 2)$ является решением.

3. При $x > 2$, имеем $x-1 > 0$ и $x-2 > 0$. Левая часть неравенства принимает вид: $\frac{x-1}{x-1} + \frac{x-2}{x-2} = 1 + 1 = 2$. Неравенство $2 \ge 0$ верно. Следовательно, весь интервал $(2, \infty)$ является решением.

Объединяя полученные результаты, получаем решение неравенства: $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (2, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{|x-5|}{x-5} + \frac{|x-6|}{x-6} \ge 2$.

ОДЗ: $x \ne 5$ и $x \ne 6$.

Рассмотрим значения левой части на интервалах, на которые числовую ось делят точки $x=5$ и $x=6$.

1. При $x < 5$, имеем $x-5 < 0$ и $x-6 < 0$. Левая часть равна $-1 + (-1) = -2$. Неравенство $-2 \ge 2$ неверно.

2. При $5 < x < 6$, имеем $x-5 > 0$ и $x-6 < 0$. Левая часть равна $1 + (-1) = 0$. Неравенство $0 \ge 2$ неверно.

3. При $x > 6$, имеем $x-5 > 0$ и $x-6 > 0$. Левая часть равна $1 + 1 = 2$. Неравенство $2 \ge 2$ верно. Следовательно, интервал $(6, \infty)$ является решением.

Ответ: $x \in (6, \infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{|x-5| - |x-3|}{|x-2| + x-2} \ge 0$.

Найдем ОДЗ. Знаменатель $|x-2| + x-2$ не должен равняться нулю.
Если $x-2 < 0$, то есть $x < 2$, знаменатель равен $-(x-2) + (x-2) = 0$.
Если $x-2 = 0$, то есть $x = 2$, знаменатель равен $0 + 0 = 0$.
Если $x-2 > 0$, то есть $x > 2$, знаменатель равен $(x-2) + (x-2) = 2(x-2)$, что больше нуля.
Таким образом, ОДЗ неравенства: $x > 2$.

На области допустимых значений знаменатель $2(x-2)$ положителен. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно следующему:

$|x-5| - |x-3| \ge 0$, что эквивалентно $|x-5| \ge |x-3|$.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$(x-5)^2 \ge (x-3)^2$

$x^2 - 10x + 25 \ge x^2 - 6x + 9$

$25 - 9 \ge 10x - 6x$

$16 \ge 4x$

$4 \ge x$, или $x \le 4$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ, то есть $x > 2$. Пересекая решения $x \le 4$ и $x > 2$, получаем $2 < x \le 4$.

Ответ: $x \in (2, 4]$.

г) Решим неравенство $\frac{|x-7| - |x-3|}{x-8-|x-8|} \ge 0$.

Найдем ОДЗ. Знаменатель $x-8-|x-8|$ не должен равняться нулю.
Если $x-8 \ge 0$, то есть $x \ge 8$, знаменатель равен $x-8 - (x-8) = 0$.
Если $x-8 < 0$, то есть $x < 8$, знаменатель равен $x-8 - (-(x-8)) = x-8+x-8 = 2x-16=2(x-8)$, что меньше нуля.
Таким образом, ОДЗ неравенства: $x < 8$.

На области допустимых значений знаменатель $2(x-8)$ отрицателен. Для того чтобы дробь была неотрицательной (больше или равна нулю), необходимо, чтобы числитель был неположительным (меньше или равен нулю). Неравенство равносильно следующему:

$|x-7| - |x-3| \le 0$, что эквивалентно $|x-7| \le |x-3|$.

Это неравенство можно интерпретировать геометрически: расстояние от точки $x$ на числовой прямой до точки 7 не больше, чем расстояние от $x$ до точки 3. Середина отрезка $[3, 7]$ — это точка $\frac{3+7}{2} = 5$. Все точки, которые находятся ближе к 7, чем к 3 (или на равном расстоянии), лежат правее этой середины, то есть $x \ge 5$.

Учитывая ОДЗ ($x < 8$), получаем итоговое решение, которое является пересечением условий $x \ge 5$ и $x < 8$.

Ответ: $x \in [5, 8)$.

12.15* a) $2|x|(x^2 - 4x + 3) + x|x^2 - 4x + 3| > 0;$

б) $2|x - 1|(x^2 - 4x + 3) + (x - 1)|x^2 - 4x + 3| < 0;$

в) $2|x|(x^2 - 5x + 6) + x|x^2 - 5x + 6| \leq 0;$

г) $2|x - 1|(x^2 - 5x + 6) + (x - 1)|x^2 - 5x + 6| \leq 0.$

а) $2|x|(x^2 - 4x + 3) + x|x^2 - 4x + 3| > 0$

Введем обозначения: $A = x$, $B = x^2 - 4x + 3$. Неравенство примет вид $2|A|B + A|B| > 0$. Для решения используем метод интервалов. Найдем нули выражений $A$ и $B$. $A = x = 0 \implies x = 0$. $B = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1, x = 3$. Отметим точки $0, 1, 3$ на числовой прямой. Они разбивают прямую на четыре интервала. Рассмотрим знак выражения $2|A|B + A|B|$ в каждом из них.

1. Интервал $(-\infty, 0)$.
   Здесь $A = x < 0$ и $B = x^2 - 4x + 3 > 0$.
   Тогда $|A| = -A$ и $|B| = B$. Выражение принимает вид $2(-A)B + A(B) = -AB$.
   Неравенство: $-AB > 0$. Так как $A < 0$ и $B > 0$, то $AB < 0$, следовательно $-AB > 0$. Неравенство выполняется на всем интервале.

2. Интервал $(0, 1)$.
   Здесь $A = x > 0$ и $B = x^2 - 4x + 3 > 0$.
   Тогда $|A| = A$ и $|B| = B$. Выражение принимает вид $2AB + AB = 3AB$.
   Неравенство: $3AB > 0$. Так как $A > 0$ и $B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство выполняется на всем интервале.

3. Интервал $(1, 3)$.
   Здесь $A = x > 0$ и $B = x^2 - 4x + 3 < 0$.
   Тогда $|A| = A$ и $|B| = -B$. Выражение принимает вид $2A(B) + A(-B) = AB$.
   Неравенство: $AB > 0$. Так как $A > 0$ и $B < 0$, то $AB < 0$. Неравенство не выполняется.

4. Интервал $(3, \infty)$.
   Здесь $A = x > 0$ и $B = x^2 - 4x + 3 > 0$.
   Тогда $|A| = A$ и $|B| = B$. Выражение принимает вид $2AB + AB = 3AB$.
   Неравенство: $3AB > 0$. Так как $A > 0$ и $B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство выполняется на всем интервале.

Проверим граничные точки $0, 1, 3$. В этих точках значение исходного выражения равно $0$. Неравенство строгое ($>0$), поэтому эти точки не являются решениями. Объединяя найденные интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (3, \infty)$.

б) $2|x - 1|(x^2 - 4x + 3) + (x - 1)|x^2 - 4x + 3| < 0$

Введем обозначения: $A = x - 1$, $B = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$. Неравенство примет вид $2|A|B + A|B| < 0$. Найдем нули выражений $A$ и $B$. $A = x - 1 = 0 \implies x = 1$. $B = (x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1, x = 3$. Критические точки: $1, 3$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.

1. Интервал $(-\infty, 1)$.
   Здесь $A = x - 1 < 0$ и $B = (x-1)(x-3) > 0$.
   $|A| = -A, |B| = B$. Выражение: $2(-A)B + AB = -AB$.
   Неравенство: $-AB < 0 \implies AB > 0$. Так как $A < 0$ и $B > 0$, то $AB < 0$. Неравенство не выполняется.

2. Интервал $(1, 3)$.
   Здесь $A = x - 1 > 0$ и $B = (x-1)(x-3) < 0$.
   $|A| = A, |B| = -B$. Выражение: $2A(B) + A(-B) = AB$.
   Неравенство: $AB < 0$. Так как $A > 0$ и $B < 0$, то $AB < 0$. Неравенство выполняется на всем интервале.

3. Интервал $(3, \infty)$.
   Здесь $A = x - 1 > 0$ и $B = (x-1)(x-3) > 0$.
   $|A| = A, |B| = B$. Выражение: $2AB + AB = 3AB$.
   Неравенство: $3AB < 0$. Так как $A > 0$ и $B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство не выполняется.

В граничных точках $1, 3$ выражение равно $0$. Неравенство строгое ($<0$), поэтому точки $1$ и $3$ не входят в решение.

Ответ: $x \in (1, 3)$.

в) $2|x|(x^2 - 5x + 6) + x|x^2 - 5x + 6| \le 0$

Введем обозначения: $A = x$, $B = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Неравенство примет вид $2|A|B + A|B| \le 0$. Найдем нули выражений $A$ и $B$. $A = x = 0 \implies x = 0$. $B = (x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2, x = 3$. Критические точки: $0, 2, 3$. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала.

1. Интервал $(-\infty, 0)$.
   $A < 0, B > 0$. Выражение: $-AB$.
   Неравенство: $-AB \le 0 \implies AB \ge 0$. Так как $A < 0, B > 0$, то $AB < 0$. Неравенство не выполняется.

2. Интервал $(0, 2)$.
   $A > 0, B > 0$. Выражение: $3AB$.
   Неравенство: $3AB \le 0$. Так как $A > 0, B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство не выполняется.

3. Интервал $(2, 3)$.
   $A > 0, B < 0$. Выражение: $AB$.
   Неравенство: $AB \le 0$. Так как $A > 0, B < 0$, то $AB < 0$. Неравенство выполняется на всем интервале.

4. Интервал $(3, \infty)$.
   $A > 0, B > 0$. Выражение: $3AB$.
   Неравенство: $3AB \le 0$. Так как $A > 0, B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство не выполняется.

Проверим граничные точки $0, 2, 3$. В этих точках значение исходного выражения равно $0$. Неравенство нестрогое ($\le 0$), поэтому все эти точки являются решениями. Объединяя результаты, получаем $x \in (2, 3) \cup \{0, 2, 3\}$.

Ответ: $x \in \{0\} \cup [2, 3]$.

г) $2|x - 1|(x^2 - 5x + 6) + (x - 1)|x^2 - 5x + 6| \le 0$

Введем обозначения: $A = x - 1$, $B = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. Неравенство примет вид $2|A|B + A|B| \le 0$. Найдем нули выражений $A$ и $B$. $A = x - 1 = 0 \implies x = 1$. $B = (x-2)(x-3) = 0 \implies x = 2, x = 3$. Критические точки: $1, 2, 3$. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала.

1. Интервал $(-\infty, 1)$.
   $A < 0, B > 0$. Выражение: $-AB$.
   Неравенство: $-AB \le 0 \implies AB \ge 0$. Так как $A < 0, B > 0$, то $AB < 0$. Неравенство не выполняется.

2. Интервал $(1, 2)$.
   $A > 0, B > 0$. Выражение: $3AB$.
   Неравенство: $3AB \le 0$. Так как $A > 0, B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство не выполняется.

3. Интервал $(2, 3)$.
   $A > 0, B < 0$. Выражение: $AB$.
   Неравенство: $AB \le 0$. Так как $A > 0, B < 0$, то $AB < 0$. Неравенство выполняется на всем интервале.

4. Интервал $(3, \infty)$.
   $A > 0, B > 0$. Выражение: $3AB$.
   Неравенство: $3AB \le 0$. Так как $A > 0, B > 0$, то $3AB > 0$. Неравенство не выполняется.

Проверим граничные точки $1, 2, 3$. В этих точках значение исходного выражения равно $0$. Неравенство нестрогое ($\le 0$), поэтому все эти точки являются решениями. Объединяя результаты, получаем $x \in (2, 3) \cup \{1, 2, 3\}$.

Ответ: $x \in \{1\} \cup [2, 3]$.

12.16* a) $(x + 2) \cdot 2^{2 - |x - 2|} - x < (x + 1) \cdot |2^x - 1| + 2^x + 1;$

б) $(x + 2) \cdot 4^{1 - |x - 1|} - x < (x + 1) \cdot |4^x - 1| + 4^x + 1.$

а)

Решим неравенство $(x+2) \cdot 2^{2-|x-2|} - x < (x+1) \cdot |2^x - 1| + 2^x + 1$.

Для раскрытия модулей рассмотрим три промежутка, на которые числовую ось делят точки $x=2$ (где $x-2=0$) и $x=0$ (где $2^x-1=0$).

1. $x < 0$

На этом интервале $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Так как $x < 0$, то $0 < 2^x < 1$, следовательно, $2^x-1 < 0$ и $|2^x-1| = -(2^x-1) = 1-2^x$.

Неравенство принимает вид:

$(x+2) \cdot 2^{2-(2-x)} - x < (x+1)(1-2^x) + 2^x + 1$

$(x+2) \cdot 2^x - x < x+1 - (x+1)2^x + 2^x + 1$

$x \cdot 2^x + 2 \cdot 2^x - x < x+1 - x \cdot 2^x - 2^x + 2^x + 1$

$x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x < x+2 - x \cdot 2^x$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x \cdot 2^x + 2^{x+1} - 2x - 2 < 0$

$x \cdot 2^{x+1} + 2^{x+1} - 2(x+1) < 0$

$(x+1) \cdot 2^{x+1} - 2(x+1) < 0$

$(x+1)(2^{x+1} - 2) < 0$

Нули множителей: $x=-1$ и $x=0$.

При $x \in (-\infty, -1)$: $x+1 < 0$ и $2^{x+1}-2 < 0$, произведение положительно.

При $x \in (-1, 0)$: $x+1 > 0$ и $2^{x+1}-2 < 0$, произведение отрицательно.

Решение для этого случая: $x \in (-1, 0)$.

2. $0 \le x < 2$

На этом интервале $|x-2| = -(x-2) = 2-x$. Так как $x \ge 0$, то $2^x \ge 1$, следовательно, $2^x-1 \ge 0$ и $|2^x-1| = 2^x-1$.

Неравенство принимает вид:

$(x+2) \cdot 2^{2-(2-x)} - x < (x+1)(2^x-1) + 2^x + 1$

$(x+2) \cdot 2^x - x < x \cdot 2^x + 2^x - x - 1 + 2^x + 1$

$x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x < x \cdot 2^x + 2 \cdot 2^x - x$

$x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x < x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x$

$0 < 0$

Это неверное неравенство, значит, на этом промежутке решений нет.

3. $x \ge 2$

На этом интервале $|x-2| = x-2$ и $|2^x-1| = 2^x-1$.

Неравенство принимает вид:

$(x+2) \cdot 2^{2-(x-2)} - x < (x+1)(2^x-1) + 2^x + 1$

$(x+2) \cdot 2^{4-x} - x < x \cdot 2^x + 2^{x+1} - x$ (правая часть упрощена в предыдущем пункте)

$(x+2) \cdot 2^{4-x} < (x+2) \cdot 2^x$

Поскольку $x \ge 2$, множитель $x+2$ строго положителен, на него можно разделить, не меняя знака неравенства.

$2^{4-x} < 2^x$

Так как основание степени $2 > 1$, то неравенство равносильно неравенству для показателей:

$4-x < x$

$4 < 2x$

$x > 2$

Учитывая условие $x \ge 2$, получаем решение $x \in (2, \infty)$.

Объединяя решения всех случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (2, \infty)$.

б)

Решим неравенство $(x+2) \cdot 4^{1-|x-1|} - x < (x+1) \cdot |4^x - 1| + 4^x + 1$.

Для раскрытия модулей рассмотрим три промежутка, на которые числовую ось делят точки $x=1$ (где $x-1=0$) и $x=0$ (где $4^x-1=0$).

1. $x < 0$

На этом интервале $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Так как $x < 0$, то $0 < 4^x < 1$, следовательно, $4^x-1 < 0$ и $|4^x-1| = -(4^x-1) = 1-4^x$.

Неравенство принимает вид:

$(x+2) \cdot 4^{1-(1-x)} - x < (x+1)(1-4^x) + 4^x + 1$

$(x+2) \cdot 4^x - x < x+1 - (x+1)4^x + 4^x + 1$

$x \cdot 4^x + 2 \cdot 4^x - x < x+2 - x \cdot 4^x$

$2x \cdot 4^x + 2 \cdot 4^x - 2x - 2 < 0$

$(x+1)(2 \cdot 4^x - 2) < 0$

$2(x+1)(4^x - 1) < 0 \implies (x+1)(4^x - 1) < 0$

Нули множителей: $x=-1$ и $x=0$.

При $x \in (-\infty, -1)$: $x+1 < 0$ и $4^x-1 < 0$, произведение положительно.

При $x \in (-1, 0)$: $x+1 > 0$ и $4^x-1 < 0$, произведение отрицательно.

Решение для этого случая: $x \in (-1, 0)$.

2. $0 \le x < 1$

На этом интервале $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Так как $x \ge 0$, то $4^x \ge 1$, следовательно, $4^x-1 \ge 0$ и $|4^x-1| = 4^x-1$.

Неравенство принимает вид:

$(x+2) \cdot 4^{1-(1-x)} - x < (x+1)(4^x-1) + 4^x + 1$

$(x+2) \cdot 4^x - x < x \cdot 4^x + 4^x - x - 1 + 4^x + 1$

$x \cdot 4^x + 2 \cdot 4^x - x < x \cdot 4^x + 2 \cdot 4^x - x$

$0 < 0$

Это неверное неравенство, значит, на этом промежутке решений нет.

3. $x \ge 1$

На этом интервале $|x-1| = x-1$ и $|4^x-1| = 4^x-1$.

Неравенство принимает вид:

$(x+2) \cdot 4^{1-(x-1)} - x < (x+1)(4^x-1) + 4^x + 1$

$(x+2) \cdot 4^{2-x} - x < (x+2) \cdot 4^x - x$ (правая часть упрощена в предыдущем пункте)

$(x+2) \cdot 4^{2-x} < (x+2) \cdot 4^x$

Поскольку $x \ge 1$, множитель $x+2$ строго положителен, на него можно разделить, не меняя знака неравенства.

$4^{2-x} < 4^x$

Так как основание степени $4 > 1$, то неравенство равносильно неравенству для показателей:

$2-x < x$

$2 < 2x$

$x > 1$

Учитывая условие $x \ge 1$, получаем решение $x \in (1, \infty)$.

Объединяя решения всех случаев, получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in (-1, 0) \cup (1, \infty)$.