Страница 310 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (12.10—12.16):

12.10 а) $|3x - 6| > x + 2;$
б) $|2x - 5| < x - 1;$
в) $|3x - 7| > 2x - 3;$
г) $|2x - 7| < 0,5x + 2.$

а) Решим неравенство $|3x - 6| > x + 2$.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем, которые получаются при раскрытии модуля. Найдем точку, в которой выражение под модулем равно нулю: $3x - 6 = 0$, отсюда $x=2$. Рассматриваем два случая.

Случай 1: $x \ge 2$. В этом случае $|3x - 6| = 3x - 6$.

Неравенство принимает вид:

$3x - 6 > x + 2$

$3x - x > 2 + 6$

$2x > 8$

$x > 4$

Учитывая условие $x \ge 2$, получаем, что решением в этом случае является интервал $x \in (4; +\infty)$.

Случай 2: $x < 2$. В этом случае $|3x - 6| = -(3x - 6) = 6 - 3x$.

Неравенство принимает вид:

$6 - 3x > x + 2$

$6 - 2 > x + 3x$

$4 > 4x$

$1 > x$ или $x < 1$

Учитывая условие $x < 2$, получаем, что решением в этом случае является интервал $x \in (-\infty; 1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговое решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)$.

б) Решим неравенство $|2x - 5| < x - 1$.

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе неравенств $-g(x) < f(x) < g(x)$. Также необходимо, чтобы правая часть была положительной, так как модуль не может быть меньше отрицательного числа, поэтому $x-1 > 0$, то есть $x>1$.

Запишем систему:

$\begin{cases} 2x - 5 < x - 1 \\ 2x - 5 > -(x - 1) \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$2x - x < 5 - 1$

$x < 4$

Решим второе неравенство системы:

$2x - 5 > -x + 1$

$2x + x > 1 + 5$

$3x > 6$

$x > 2$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < 4$, $x > 2$ и исходного условия $x > 1$.

Пересечением является интервал $2 < x < 4$.

Ответ: $x \in (2; 4)$.

в) Решим неравенство $|3x - 7| > 2x - 3$.

Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > g(x)$ или $f(x) < -g(x)$.

Рассмотрим первое неравенство:

$3x - 7 > 2x - 3$

$3x - 2x > 7 - 3$

$x > 4$

Рассмотрим второе неравенство:

$3x - 7 < -(2x - 3)$

$3x - 7 < -2x + 3$

$3x + 2x < 3 + 7$

$5x < 10$

$x < 2$

Решением исходного неравенства является объединение полученных решений.

Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty)$.

г) Решим неравенство $|2x - 7| < 0.5x + 2$.

Это неравенство, как и в пункте б), равносильно системе, полученной из двойного неравенства $- (0.5x + 2) < 2x - 7 < 0.5x + 2$.

Запишем систему:

$\begin{cases} 2x - 7 < 0.5x + 2 \\ 2x - 7 > -(0.5x + 2) \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$2x - 0.5x < 2 + 7$

$1.5x < 9$

$x < \frac{9}{1.5}$

$x < 6$

Решим второе неравенство системы:

$2x - 7 > -0.5x - 2$

$2x + 0.5x > 7 - 2$

$2.5x > 5$

$x > \frac{5}{2.5}$

$x > 2$

Решением системы является пересечение интервалов $x < 6$ и $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; 6)$.