Номер 12.12, страница 311 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 12.12, страница 311.

Условие.

12.12 a) $|x + 1| + |x + 3| < 8;$

B) $|x + 3| + |x - 2| > 5;$

б) $|x + 2| + |x + 4| < 6;$

Г) $|x + 7| + |x + 1| > 9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для решения неравенства $|x + 1| + |x + 3| < 8$ используем метод интервалов.
Найдем нули подмодульных выражений: $x + 1 = 0 \implies x = -1$ и $x + 3 = 0 \implies x = -3$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty, -3)$, $[-3, -1)$ и $[-1, \infty)$.
1. Если $x < -3$, оба модуля раскрываются со знаком минус:
$-(x + 1) - (x + 3) < 8$
$-x - 1 - x - 3 < 8$
$-2x - 4 < 8$
$-2x < 12$
$x > -6$
Пересекая с условием $x < -3$, получаем $x \in (-6, -3)$.
2. Если $-3 \le x < -1$, то $|x + 1|$ раскрывается с минусом, а $|x + 3|$ с плюсом:
$-(x + 1) + (x + 3) < 8$
$-x - 1 + x + 3 < 8$
$2 < 8$
Это неравенство верно для всех $x$ из данного промежутка, то есть $x \in [-3, -1)$.
3. Если $x \ge -1$, оба модуля раскрываются со знаком плюс:
$(x + 1) + (x + 3) < 8$
$2x + 4 < 8$
$2x < 4$
$x < 2$
Пересекая с условием $x \ge -1$, получаем $x \in [-1, 2)$.
Объединяя все полученные решения, имеем: $(-6, -3) \cup [-3, -1) \cup [-1, 2) = (-6, 2)$.
Ответ: $x \in (-6, 2)$.

б) Для решения неравенства $|x + 2| + |x + 4| < 6$ используем метод интервалов.
Нули подмодульных выражений: $x = -2$ и $x = -4$.
Интервалы: $(-\infty, -4)$, $[-4, -2)$ и $[-2, \infty)$.
1. Если $x < -4$:
$-(x + 2) - (x + 4) < 6$
$-2x - 6 < 6$
$-2x < 12 \implies x > -6$.
Решение на интервале: $x \in (-6, -4)$.
2. Если $-4 \le x < -2$:
$-(x + 2) + (x + 4) < 6$
$2 < 6$.
Неравенство верно для всех $x$ из этого промежутка: $x \in [-4, -2)$.
3. Если $x \ge -2$:
$(x + 2) + (x + 4) < 6$
$2x + 6 < 6$
$2x < 0 \implies x < 0$.
Решение на интервале: $x \in [-2, 0)$.
Объединяя решения, получаем: $(-6, -4) \cup [-4, -2) \cup [-2, 0) = (-6, 0)$.
Ответ: $x \in (-6, 0)$.

в) Для решения неравенства $|x + 3| + |x - 2| > 5$ используем метод интервалов.
Нули подмодульных выражений: $x = -3$ и $x = 2$.
Интервалы: $(-\infty, -3)$, $[-3, 2)$ и $[2, \infty)$.
1. Если $x < -3$:
$-(x + 3) - (x - 2) > 5$
$-2x - 1 > 5$
$-2x > 6 \implies x < -3$.
Решение на интервале совпадает с самим интервалом: $x \in (-\infty, -3)$.
2. Если $-3 \le x < 2$:
$(x + 3) - (x - 2) > 5$
$5 > 5$.
Это неравенство ложно, решений в этом промежутке нет.
3. Если $x \ge 2$:
$(x + 3) + (x - 2) > 5$
$2x + 1 > 5$
$2x > 4 \implies x > 2$.
Решение на интервале: $x \in (2, \infty)$.
Объединяя решения, получаем: $(-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (2, \infty)$.

г) Для решения неравенства $|x + 7| + |x + 1| > 9$ используем метод интервалов.
Нули подмодульных выражений: $x = -7$ и $x = -1$.
Интервалы: $(-\infty, -7)$, $[-7, -1)$ и $[-1, \infty)$.
1. Если $x < -7$:
$-(x + 7) - (x + 1) > 9$
$-2x - 8 > 9$
$-2x > 17 \implies x < -\frac{17}{2}$.
Так как $-\frac{17}{2} = -8.5$, и $-8.5 < -7$, то решение на интервале: $x \in (-\infty, -\frac{17}{2})$.
2. Если $-7 \le x < -1$:
$(x + 7) - (x + 1) > 9$
$6 > 9$.
Это неравенство ложно, решений в этом промежутке нет.
3. Если $x \ge -1$:
$(x + 7) + (x + 1) > 9$
$2x + 8 > 9$
$2x > 1 \implies x > \frac{1}{2}$.
Решение на интервале: $x \in (\frac{1}{2}, \infty)$.
Объединяя решения, получаем: $(-\infty, -\frac{17}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -\frac{17}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$.