Номер 12.11, страница 311 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 12. Метод промежутков для уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 12.11, страница 311.

Условие.

12.11 а) $\frac{|x - 1| + 10}{4|x - 1| + 3} > 2;$

Б) $\frac{|x - 2| + 8}{3|x - 2| + 1} < 3;$

В) $\frac{|x - 3| + 6}{2|x - 3| + 1} < 4;$

Г) $\frac{|x - 2| + 7}{3|x - 2| + 2} > 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\frac{|x - 1| + 10}{4|x - 1| + 3} > 2$

Введем замену: пусть $t = |x - 1|$. Так как модуль любого числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Неравенство принимает вид:

$\frac{t + 10}{4t + 3} > 2$

Поскольку $t \ge 0$, знаменатель $4t + 3$ всегда положителен ($4t + 3 \ge 3$). Поэтому мы можем умножить обе части неравенства на $4t + 3$, не меняя знака неравенства:

$t + 10 > 2(4t + 3)$

$t + 10 > 8t + 6$

$10 - 6 > 8t - t$

$4 > 7t$

$t < \frac{4}{7}$

Учитывая условие $t \ge 0$, получаем двойное неравенство для $t$:

$0 \le t < \frac{4}{7}$

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $t = |x - 1|$:

$0 \le |x - 1| < \frac{4}{7}$

Неравенство $|x - 1| \ge 0$ выполняется для всех $x$. Решим неравенство $|x - 1| < \frac{4}{7}$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-\frac{4}{7} < x - 1 < \frac{4}{7}$

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$1 - \frac{4}{7} < x < 1 + \frac{4}{7}$

$\frac{3}{7} < x < \frac{11}{7}$

Ответ: $x \in (\frac{3}{7}; \frac{11}{7})$.

б) $\frac{|x - 2| + 8}{3|x - 2| + 1} < 3$

Введем замену: пусть $t = |x - 2|$. Так как $t$ - это модуль, $t \ge 0$.

Получаем неравенство с переменной $t$:

$\frac{t + 8}{3t + 1} < 3$

Знаменатель $3t + 1$ всегда положителен, так как $t \ge 0$ ($3t+1 \ge 1$). Умножим обе части на $3t + 1$:

$t + 8 < 3(3t + 1)$

$t + 8 < 9t + 3$

$8 - 3 < 9t - t$

$5 < 8t$

$t > \frac{5}{8}$

Условие $t \ge 0$ выполняется, так как $\frac{5}{8} > 0$.

Произведем обратную замену $t = |x - 2|$:

$|x - 2| > \frac{5}{8}$

Это неравенство распадается на два случая (эквивалентно совокупности):

$x - 2 > \frac{5}{8}$ или $x - 2 < -\frac{5}{8}$

Решим каждое неравенство:

1) $x > 2 + \frac{5}{8} \implies x > \frac{16 + 5}{8} \implies x > \frac{21}{8}$

2) $x < 2 - \frac{5}{8} \implies x < \frac{16 - 5}{8} \implies x < \frac{11}{8}$

Объединяя решения, получаем ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{11}{8}) \cup (\frac{21}{8}; \infty)$.

в) $\frac{|x - 3| + 6}{2|x - 3| + 1} < 4$

Пусть $t = |x - 3|$, где $t \ge 0$.

Неравенство преобразуется к виду:

$\frac{t + 6}{2t + 1} < 4$

Знаменатель $2t + 1 > 0$ для всех $t \ge 0$. Умножим на него обе части:

$t + 6 < 4(2t + 1)$

$t + 6 < 8t + 4$

$6 - 4 < 8t - t$

$2 < 7t$

$t > \frac{2}{7}$

Делаем обратную замену $t = |x - 3|$:

$|x - 3| > \frac{2}{7}$

Данное неравенство эквивалентно совокупности двух неравенств:

$x - 3 > \frac{2}{7}$ или $x - 3 < -\frac{2}{7}$

Решаем их по отдельности:

1) $x > 3 + \frac{2}{7} \implies x > \frac{21 + 2}{7} \implies x > \frac{23}{7}$

2) $x < 3 - \frac{2}{7} \implies x < \frac{21 - 2}{7} \implies x < \frac{19}{7}$

Решением является объединение этих интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{19}{7}) \cup (\frac{23}{7}; \infty)$.

г) $\frac{|x - 2| + 7}{3|x - 2| + 2} > 1$

Введем замену переменной: $t = |x - 2|$. Учитываем, что $t \ge 0$.

Неравенство становится:

$\frac{t + 7}{3t + 2} > 1$

Так как $t \ge 0$, знаменатель $3t + 2$ всегда положителен ($3t+2 \ge 2$). Умножаем обе части на $3t + 2$:

$t + 7 > 3t + 2$

$7 - 2 > 3t - t$

$5 > 2t$

$t < \frac{5}{2}$

Совмещая с условием $t \ge 0$, имеем:

$0 \le t < \frac{5}{2}$

Выполняем обратную замену $t = |x - 2|$:

$0 \le |x - 2| < \frac{5}{2}$

Неравенство $|x-2| \ge 0$ верно всегда. Остается решить $|x - 2| < \frac{5}{2}$.

Это равносильно двойному неравенству:

$-\frac{5}{2} < x - 2 < \frac{5}{2}$

Прибавим 2 ко всем частям:

$2 - \frac{5}{2} < x < 2 + \frac{5}{2}$

$\frac{4 - 5}{2} < x < \frac{4 + 5}{2}$

$-\frac{1}{2} < x < \frac{9}{2}$

Ответ: $x \in (-\frac{1}{2}; \frac{9}{2})$.