Номер 11.63, страница 303 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.63, страница 303.

Условие.

11.63* a) $\sqrt{4\lg x - 24} \ge 9 - \lg x;$

Б) $\sqrt{9\lg x - 3} \le 1 - 4\lg x;$

В) $\sqrt{4\lg x - 16} \ge 7 - \lg x;$

Г) $\sqrt{12\lg x - 8} \le 1 - 3\lg x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{4\lg x - 24} \geq 9 - \lg x$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.
Во-вторых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$4\lg x - 24 \geq 0$
$4\lg x \geq 24$
$\lg x \geq 6$
Так как основание логарифма 10 > 1, то $x \geq 10^6$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \geq 10^6$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. С учетом ОДЗ, имеем $t \geq 6$.
Исходное неравенство принимает вид: $\sqrt{4t - 24} \geq 9 - t$.

3. Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(t)} \geq g(t)$ равносильно совокупности двух систем.
Первая система (когда правая часть отрицательна): $\begin{cases} 9 - t < 0 \\ 4t - 24 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} t > 9 \\ t \geq 6 \end{cases} \implies t > 9$.
Вторая система (когда правая часть неотрицательна): $\begin{cases} 9 - t \geq 0 \\ 4t - 24 \geq (9 - t)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} t \leq 9 \\ 4t - 24 \geq 81 - 18t + t^2 \end{cases}$
Решим второе неравенство системы: $t^2 - 22t + 105 \leq 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 22t + 105 = 0$. По теореме Виета, $t_1 = 7$, $t_2 = 15$.
Решением неравенства $t^2 - 22t + 105 \leq 0$ является промежуток $t \in [7, 15]$.
Вернемся к системе: $\begin{cases} t \leq 9 \\ t \in [7, 15] \end{cases} \implies t \in [7, 9]$.

4. Объединим решения обеих систем: $(t > 9) \cup (t \in [7, 9])$.
Получаем $t \geq 7$.

5. Сопоставим полученное решение с ОДЗ для переменной $t$ ($t \geq 6$).
Пересечение множеств $t \geq 7$ и $t \geq 6$ дает $t \geq 7$.

6. Выполним обратную замену:
$\lg x \geq 7$
$x \geq 10^7$.

Ответ: $x \in [10^7, +\infty)$.

б) $\sqrt{9\lg x - 3} \leq 1 - 4\lg x$

1. Найдем ОДЗ.
$x > 0$
$9\lg x - 3 \geq 0 \implies 9\lg x \geq 3 \implies \lg x \geq \frac{1}{3}$.
Следовательно, ОДЗ: $x \geq 10^{1/3}$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. С учетом ОДЗ, $t \geq \frac{1}{3}$.
Неравенство принимает вид: $\sqrt{9t - 3} \leq 1 - 4t$.

3. Левая часть неравенства, $\sqrt{9t - 3}$, по определению арифметического корня, всегда неотрицательна (или равна нулю).
Для того чтобы неравенство имело решения, правая часть также должна быть неотрицательной:
$1 - 4t \geq 0 \implies 1 \geq 4t \implies t \leq \frac{1}{4}$.

4. Таким образом, для переменной $t$ мы имеем систему из двух противоречивых условий:
$\begin{cases} t \geq \frac{1}{3} & \text{(из ОДЗ)} \\ t \leq \frac{1}{4} & \text{(из условия неотрицательности правой части)} \end{cases}$
Поскольку $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$, данная система не имеет решений. Следовательно, и исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

в) $\sqrt{4\lg x - 16} \geq 7 - \lg x$

1. Найдем ОДЗ.
$x > 0$
$4\lg x - 16 \geq 0 \implies 4\lg x \geq 16 \implies \lg x \geq 4$.
ОДЗ: $x \geq 10^4$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. С учетом ОДЗ, $t \geq 4$.
Неравенство принимает вид: $\sqrt{4t - 16} \geq 7 - t$.

3. Решим иррациональное неравенство, рассмотрев два случая.
Случай 1: $7 - t < 0 \implies t > 7$. В этом случае левая часть (неотрицательная) всегда больше правой (отрицательной). Условие $t>7$ удовлетворяет ОДЗ ($t \geq 4$), поэтому $t>7$ является частью решения.
Случай 2: $7 - t \geq 0 \implies t \leq 7$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, можно возвести в квадрат:
$\begin{cases} t \leq 7 \\ 4t - 16 \geq (7 - t)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} t \leq 7 \\ 4t - 16 \geq 49 - 14t + t^2 \end{cases}$
Решим второе неравенство: $t^2 - 18t + 65 \leq 0$.
Корни уравнения $t^2 - 18t + 65 = 0$ равны $t_1 = 5$, $t_2 = 13$.
Решение квадратного неравенства: $t \in [5, 13]$.
С учетом условия $t \leq 7$, получаем для этого случая: $t \in [5, 7]$.

4. Объединим решения обоих случаев: $(t > 7) \cup (t \in [5, 7])$.
Это дает общее решение для $t$: $t \geq 5$.

5. Учтем ОДЗ для $t$ ($t \geq 4$).
Пересечение $t \geq 5$ и $t \geq 4$ дает $t \geq 5$.

6. Выполним обратную замену:
$\lg x \geq 5$
$x \geq 10^5$.

Ответ: $x \in [10^5, +\infty)$.

г) $\sqrt{12\lg x - 8} \leq 1 - 3\lg x$

1. Найдем ОДЗ.
$x > 0$
$12\lg x - 8 \geq 0 \implies 12\lg x \geq 8 \implies \lg x \geq \frac{8}{12} \implies \lg x \geq \frac{2}{3}$.
ОДЗ: $x \geq 10^{2/3}$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда из ОДЗ следует, что $t \geq \frac{2}{3}$.
Неравенство принимает вид: $\sqrt{12t - 8} \leq 1 - 3t$.

3. Левая часть неравенства неотрицательна. Следовательно, для существования решений правая часть также должна быть неотрицательной:
$1 - 3t \geq 0 \implies 1 \geq 3t \implies t \leq \frac{1}{3}$.

4. Мы получили систему из двух условий для переменной $t$:
$\begin{cases} t \geq \frac{2}{3} & \text{(из ОДЗ)} \\ t \leq \frac{1}{3} & \text{(из свойства неравенства)} \end{cases}$
Так как $\frac{2}{3} > \frac{1}{3}$, не существует такого значения $t$, которое удовлетворяло бы обоим условиям одновременно. Система не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).