Номер 11.59, страница 303 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.59, страница 303.

Условие.

11.59 a) $0,0625 \cdot 4^x \le 64^{\frac{1}{x}};$

б) $9 \cdot 3 \le \frac{1}{9} \cdot \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{1}{x}};$

в) $0,2 \le \left(\frac{1}{25}\right)^{\frac{1}{x}} \cdot \left(\frac{1}{125}\right)^{\frac{1}{x^2}};$

г) $7 \le \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{2}{x}} \cdot \left(\frac{1}{343}\right)^{\frac{1}{x^2}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $0,0625 \cdot 4^x \leq 64^{\frac{1}{x}}$
Первым шагом приведем все части неравенства к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 4.
$0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$
$64 = 4^3$, следовательно, $64^{\frac{1}{x}} = (4^3)^{\frac{1}{x}} = 4^{\frac{3}{x}}$
Подставим эти значения в исходное неравенство:
$4^{-2} \cdot 4^x \leq 4^{\frac{3}{x}}$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем:
$4^{x-2} \leq 4^{\frac{3}{x}}$
Так как основание степени $4 > 1$, то функция $y=4^t$ является возрастающей. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей степеней, сохранив знак неравенства. Область допустимых значений (ОДЗ) для исходного неравенства определяется знаменателем показателя, то есть $x \neq 0$.
$x-2 \leq \frac{3}{x}$
Перенесем все члены в левую часть:
$x-2 - \frac{3}{x} \leq 0$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{x(x-2) - 3}{x} \leq 0$
$\frac{x^2 - 2x - 3}{x} \leq 0$
Найдем корни числителя: $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Таким образом, неравенство можно записать в виде:
$\frac{(x-3)(x+1)}{x} \leq 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси корни числителя ($x=3, x=-1$) и корень знаменателя ($x=0$).

Определим знаки выражения на интервалах:
- при $x > 3$, выражение положительно.
- при $0 < x < 3$, выражение отрицательно.
- при $-1 < x < 0$, выражение положительно.
- при $x < -1$, выражение отрицательно.
Нам нужны интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Это $(-\infty, -1]$ и $(0, 3]$. Точки $x=-1$ и $x=3$ включаются, так как неравенство нестрогое, а точка $x=0$ исключается, так как она обращает знаменатель в ноль.
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (0, 3]$.

б) $9 \cdot 3 \leq \frac{1}{9} \cdot (\frac{1}{27})^{\frac{1}{x}}$
Предположим, что в левой части стоит число $9 \cdot 3 = 27$. Приведем все части неравенства к основанию 3.
$27 = 3^3$
$\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2} = 3^{-2}$
$\frac{1}{27} = 3^{-3}$, следовательно, $(\frac{1}{27})^{\frac{1}{x}} = (3^{-3})^{\frac{1}{x}} = 3^{-\frac{3}{x}}$
Подставим в неравенство:
$3^3 \leq 3^{-2} \cdot 3^{-\frac{3}{x}}$
$3^3 \leq 3^{-2 - \frac{3}{x}}$
Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей:
$3 \leq -2 - \frac{3}{x}$
ОДЗ: $x \neq 0$.
$5 \leq -\frac{3}{x}$
$5 + \frac{3}{x} \leq 0$
$\frac{5x + 3}{x} \leq 0$
Решим методом интервалов. Корень числителя $x = -3/5$. Корень знаменателя $x = 0$.

Интервалы:
- при $x > 0$, выражение положительно.
- при $-3/5 < x < 0$, выражение отрицательно.
- при $x < -3/5$, выражение положительно.
Нам нужен интервал, где выражение меньше или равно нулю. Это $[-3/5, 0)$. Точка $x=-3/5$ включается, а $x=0$ исключается.
Ответ: $x \in [-0,6; 0)$.

в) $0,2 \leq (\frac{1}{25})^{\frac{1}{x}} \cdot (\frac{1}{125})^{\frac{1}{x^2}}$
Приведем все к основанию 5.
$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$
$\frac{1}{25} = 5^{-2}$, значит $(\frac{1}{25})^{\frac{1}{x}} = (5^{-2})^{\frac{1}{x}} = 5^{-\frac{2}{x}}$
$\frac{1}{125} = 5^{-3}$, значит $(\frac{1}{125})^{\frac{1}{x^2}} = (5^{-3})^{\frac{1}{x^2}} = 5^{-\frac{3}{x^2}}$
Неравенство принимает вид:
$5^{-1} \leq 5^{-\frac{2}{x}} \cdot 5^{-\frac{3}{x^2}}$
$5^{-1} \leq 5^{-\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}}$
ОДЗ: $x \neq 0$. Так как основание $5 > 1$, то:
$-1 \leq -\frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}$
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:
$1 \geq \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}$
$1 - \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2} \geq 0$
Приведем к общему знаменателю $x^2$:
$\frac{x^2 - 2x - 3}{x^2} \geq 0$
Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$. Следовательно, знак дроби зависит только от знака числителя.
$x^2 - 2x - 3 \geq 0$
Корни уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.
Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

г) $7 \leq (\frac{1}{49})^{\frac{2}{x}} \cdot (\frac{1}{343})^{\frac{1}{x^2}}$
Приведем все к основанию 7.
$7 = 7^1$
$\frac{1}{49} = 7^{-2}$, значит $(\frac{1}{49})^{\frac{2}{x}} = (7^{-2})^{\frac{2}{x}} = 7^{-\frac{4}{x}}$
$\frac{1}{343} = 7^{-3}$, значит $(\frac{1}{343})^{\frac{1}{x^2}} = (7^{-3})^{\frac{1}{x^2}} = 7^{-\frac{3}{x^2}}$
Неравенство принимает вид:
$7^1 \leq 7^{-\frac{4}{x}} \cdot 7^{-\frac{3}{x^2}}$
$7^1 \leq 7^{-\frac{4}{x} - \frac{3}{x^2}}$
ОДЗ: $x \neq 0$. Так как основание $7 > 1$:
$1 \leq -\frac{4}{x} - \frac{3}{x^2}$
$1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2} \leq 0$
Приведем к общему знаменателю $x^2$:
$\frac{x^2 + 4x + 3}{x^2} \leq 0$
Знаменатель $x^2$ всегда положителен при $x \neq 0$. Знак дроби определяется знаком числителя.
$x^2 + 4x + 3 \leq 0$
Корни уравнения $x^2 + 4x + 3 = 0$ равны $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Парабола $y = x^2 + 4x + 3$ ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения на отрезке между корнями.
Решение: $x \in [-3, -1]$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $x \in [-3, -1]$.