Номер 11.52, страница 300 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.52, страница 300.

Условие.

11.52* a) $ \sin \frac{\pi x}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{\pi x}{4} + \sin \frac{\pi x}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} > 0, [-1; 5]; $

б) $ \sin \frac{\pi x}{3} + \sqrt{2} \cos \frac{\pi x}{6} + \sqrt{3} \sin \frac{\pi x}{6} + \frac{\sqrt{6}}{2} < 0, [5; 13]. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Требуется решить неравенство $\sin\frac{\pi x}{2} + \sqrt{3}\cos\frac{\pi x}{4} + \sin\frac{\pi x}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ на отрезке $[-1; 5]$.

Заметим, что аргумент $\frac{\pi x}{2}$ вдвое больше аргумента $\frac{\pi x}{4}$. Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, где $\alpha = \frac{\pi x}{4}$.

$\sin\frac{\pi x}{2} = 2\sin\frac{\pi x}{4}\cos\frac{\pi x}{4}$.

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$2\sin\frac{\pi x}{4}\cos\frac{\pi x}{4} + \sqrt{3}\cos\frac{\pi x}{4} + \sin\frac{\pi x}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(2\sin\frac{\pi x}{4}\cos\frac{\pi x}{4} + \sqrt{3}\cos\frac{\pi x}{4}) + (\sin\frac{\pi x}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}) > 0$

$\cos\frac{\pi x}{4}(2\sin\frac{\pi x}{4} + \sqrt{3}) + (\sin\frac{\pi x}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}) > 0$

Заметим, что $2\sin\frac{\pi x}{4} + \sqrt{3} = 2(\sin\frac{\pi x}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2})$. Тогда неравенство примет вид:

$2\cos\frac{\pi x}{4}(\sin\frac{\pi x}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1 \cdot (\sin\frac{\pi x}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}) > 0$

Вынесем общий множитель $(\sin\frac{\pi x}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ за скобку:

$(\sin\frac{\pi x}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2})(2\cos\frac{\pi x}{4} + 1) > 0$

Произведение двух множителей положительно, когда оба множителя одного знака (оба положительны или оба отрицательны).

Сделаем замену $u = \frac{\pi x}{4}$.

Случай 1: Оба множителя положительны.

$\begin{cases} \sin u + \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 \\ 2\cos u + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin u > -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos u > -\frac{1}{2} \end{cases}$

Решая эту систему с помощью единичной окружности, находим, что $u \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: Оба множителя отрицательны.

$\begin{cases} \sin u + \frac{\sqrt{3}}{2} < 0 \\ 2\cos u + 1 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin u < -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos u < -\frac{1}{2} \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как на единичной окружности нет точек, для которых одновременно синус меньше $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ и косинус меньше $-\frac{1}{2}$.

Таким образом, решение для $u$: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < u < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $u = \frac{\pi x}{4}$:

$-\frac{\pi}{3} + 2\pi k < \frac{\pi x}{4} < \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Умножим все части неравенства на $\frac{4}{\pi}$:

$-\frac{4}{3} + 8k < x < \frac{8}{3} + 8k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем решения, принадлежащие заданному отрезку $x \in [-1; 5]$. Для этого найдем пересечение полученных интервалов с отрезком $[-1; 5]$.

При $k=0$: $-\frac{4}{3} < x < \frac{8}{3}$. В десятичной форме это примерно $-1.33 < x < 2.67$.
Пересечение интервала $(-\frac{4}{3}, \frac{8}{3})$ с отрезком $[-1; 5]$ дает интервал $[-1, \frac{8}{3})$.

При $k=1$: $-\frac{4}{3} + 8 < x < \frac{8}{3} + 8 \implies \frac{20}{3} < x < \frac{32}{3}$. Этот интервал (примерно $6.67 < x < 10.67$) не пересекается с отрезком $[-1; 5]$.

При $k=-1$ и других целых $k$ пересечений с отрезком $[-1; 5]$ также не будет.

Следовательно, решение неравенства на отрезке $[-1; 5]$ есть $x \in [-1, \frac{8}{3})$.

Ответ: $x \in [-1, \frac{8}{3})$.

б)

Требуется решить неравенство $\sin\frac{\pi x}{3} + \sqrt{2}\cos\frac{\pi x}{6} + \sqrt{3}\sin\frac{\pi x}{6} + \frac{\sqrt{6}}{2} < 0$ на отрезке $[5; 13]$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$ для $\alpha = \frac{\pi x}{6}$.

$\sin\frac{\pi x}{3} = 2\sin\frac{\pi x}{6}\cos\frac{\pi x}{6}$.

Подставим в неравенство:

$2\sin\frac{\pi x}{6}\cos\frac{\pi x}{6} + \sqrt{2}\cos\frac{\pi x}{6} + \sqrt{3}\sin\frac{\pi x}{6} + \frac{\sqrt{6}}{2} < 0$

Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:

$(2\sin\frac{\pi x}{6}\cos\frac{\pi x}{6} + \sqrt{2}\cos\frac{\pi x}{6}) + (\sqrt{3}\sin\frac{\pi x}{6} + \frac{\sqrt{6}}{2}) < 0$

$\cos\frac{\pi x}{6}(2\sin\frac{\pi x}{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{3}(\sin\frac{\pi x}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2}) < 0$

Заметив, что $2\sin\frac{\pi x}{6} + \sqrt{2} = 2(\sin\frac{\pi x}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2})$, получим:

$2\cos\frac{\pi x}{6}(\sin\frac{\pi x}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sqrt{3}(\sin\frac{\pi x}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2}) < 0$

Вынесем общий множитель $(\sin\frac{\pi x}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2})$:

$(\sin\frac{\pi x}{6} + \frac{\sqrt{2}}{2})(2\cos\frac{\pi x}{6} + \sqrt{3}) < 0$

Произведение двух множителей отрицательно, когда они имеют разные знаки.

Сделаем замену $v = \frac{\pi x}{6}$.

Случай 1: Первый множитель положителен, второй отрицателен.

$\begin{cases} \sin v + \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 \\ 2\cos v + \sqrt{3} < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin v > -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos v < -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $v \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2: Первый множитель отрицателен, второй положителен.

$\begin{cases} \sin v + \frac{\sqrt{2}}{2} < 0 \\ 2\cos v + \sqrt{3} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin v < -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos v > -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $v \in (\frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя решения обоих случаев, получаем общее решение для $v$:

$v \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k) \cup (\frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{4} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Выполним обратную замену $v = \frac{\pi x}{6}$, откуда $x = \frac{6v}{\pi}$:

Из первого интервала: $\frac{6}{\pi}(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k) < x < \frac{6}{\pi}(\frac{7\pi}{6} + 2\pi k) \implies 5 + 12k < x < 7 + 12k$.

Из второго интервала: $\frac{6}{\pi}(\frac{5\pi}{4} + 2\pi k) < x < \frac{6}{\pi}(\frac{7\pi}{4} + 2\pi k) \implies \frac{15}{2} + 12k < x < \frac{21}{2} + 12k \implies 7.5 + 12k < x < 10.5 + 12k$.

Общее решение для $x$: $x \in (5 + 12k, 7 + 12k) \cup (7.5 + 12k, 10.5 + 12k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Найдем решения, принадлежащие отрезку $[5; 13]$.

При $k=0$: $x \in (5, 7) \cup (7.5, 10.5)$. Оба этих интервала полностью содержатся в отрезке $[5; 13]$.

При $k=1$: $x \in (17, 19) \cup (19.5, 22.5)$. Эти интервалы не пересекаются с $[5; 13]$.

При других целых $k$ пересечений также не будет.

Следовательно, искомое решение: $x \in (5, 7) \cup (7.5, 10.5)$.

Ответ: $x \in (5; 7) \cup (7.5; 10.5)$.