Номер 11.53, страница 301 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.53, страница 301.

Условие.

11.53* a) $\sqrt{\sin^2 x + \sin 2x - 3\cos^2 x} > \cos x - \sin x$, $(\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4})$

б) $\sqrt{\sin^2 x - 2\sin 2x + 3\cos^2 x} > \sin x - \cos x$, $(\frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{\sin^2 x + \sin 2x - 3\cos^2 x} > \cos x - \sin x$ на интервале $x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4})$.

Сначала преобразуем выражение под корнем:

$\sin^2 x + \sin 2x - 3\cos^2 x = \sin^2 x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x$.

Это выражение является однородным. Разложим его на множители. Для этого решим уравнение $\sin^2 x + 2\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$. Предполагая, что $\cos x \neq 0$, разделим обе части на $\cos^2 x$:

$\tan^2 x + 2\tan x - 3 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения относительно $\tan x$: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Следовательно, подкоренное выражение можно представить в виде:

$\cos^2 x (\tan^2 x + 2\tan x - 3) = \cos^2 x (\tan x - 1)(\tan x + 3) = (\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} - \cos x \cdot 1)(\cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} + \cos x \cdot 3) = (\sin x - \cos x)(\sin x + 3\cos x)$.

Таким образом, исходное неравенство принимает вид:

$\sqrt{(\sin x - \cos x)(\sin x + 3\cos x)} > \cos x - \sin x$.

Теперь проанализируем знак правой части неравенства, $\cos x - \sin x$, на заданном интервале $(\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4})$. На этом интервале значения синуса больше значений косинуса, то есть $\sin x > \cos x$. Следовательно, $\cos x - \sin x < 0$.

Неравенство имеет вид "корень больше отрицательного числа". Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен. Любое неотрицательное число больше любого отрицательного. Поэтому неравенство будет верным для всех $x$ из данного интервала, для которых подкоренное выражение определено, то есть неотрицательно.

Нам нужно решить систему:

$\begin{cases} (\sin x - \cos x)(\sin x + 3\cos x) \ge 0 \\ x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}) \end{cases}$

Поскольку на интервале $(\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4})$ множитель $(\sin x - \cos x)$ строго положителен, то неравенство сводится к более простому:

$\sin x + 3\cos x \ge 0$.

Для решения разделим неравенство на $\cos x$, рассмотрев два случая в зависимости от знака $\cos x$ на интервале $(\frac{\pi}{4}; \frac{5\pi}{4})$.

1. Если $x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$, то $\cos x \ge 0$. При делении на положительное число знак неравенства не меняется: $\tan x + 3 \ge 0 \implies \tan x \ge -3$. На интервале $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$ тангенс принимает значения от $1$ до $+\infty$, поэтому условие $\tan x \ge -3$ выполняется всегда. Значит, весь промежуток $(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$ является решением.

2. Если $x \in (\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{4})$, то $\cos x < 0$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $\tan x + 3 \le 0 \implies \tan x \le -3$. Найдём корень уравнения $\tan x = -3$, лежащий во второй четверти: $x_0 = \arctan(-3) + \pi = \pi - \arctan(3)$. Так как функция $y=\tan x$ возрастает на интервале $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$, то решение неравенства $\tan x \le -3$ на этом интервале есть промежуток $(\frac{\pi}{2}; \pi - \arctan(3)]$. Этот промежуток входит в рассматриваемый нами $(\frac{\pi}{2}; \frac{5\pi}{4})$.

Объединяя найденные решения, получаем: $x \in (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}] \cup (\frac{\pi}{2}; \pi - \arctan(3)]$.

Окончательное решение: $x \in (\frac{\pi}{4}; \pi - \arctan(3)]$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4}, \pi - \arctan(3)]$.

б)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{\sin^2 x - 2\sin 2x + 3\cos^2 x} > \sin x - \cos x$ на интервале $x \in (\frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$.

Преобразуем подкоренное выражение:

$\sin^2 x - 2\sin 2x + 3\cos^2 x = \sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x$.

Разложим это однородное выражение на множители. Решим уравнение $\tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0$ (при $\cos x \neq 0$).

Корни этого уравнения: $\tan x = 1$ и $\tan x = 3$.

Следовательно, подкоренное выражение можно записать как:

$\cos^2 x (\tan x - 1)(\tan x - 3) = (\sin x - \cos x)(\sin x - 3\cos x)$.

Неравенство принимает вид:

$\sqrt{(\sin x - \cos x)(\sin x - 3\cos x)} > \sin x - \cos x$.

Проанализируем знак правой части неравенства, $\sin x - \cos x$, на заданном интервале $(\frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$. Этот интервал соответствует IV и I координатным четвертям (от $225^\circ$ до $405^\circ$), где $\cos x > \sin x$. Следовательно, $\sin x - \cos x < 0$.

Так как правая часть неравенства отрицательна, а левая (корень) неотрицательна, неравенство будет верным для всех $x$, для которых оно определено, то есть для которых подкоренное выражение неотрицательно.

Решим условие $(\sin x - \cos x)(\sin x - 3\cos x) \ge 0$ на интервале $(\frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$.

Поскольку на этом интервале множитель $(\sin x - \cos x)$ строго отрицателен, неравенство эквивалентно следующему:

$\sin x - 3\cos x \le 0$.

Разделим неравенство на $\cos x$, который на интервале $(\frac{5\pi}{4}; \frac{9\pi}{4})$ меняет знак.

1. Если $x \in (\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$, то $\cos x < 0$. Знак неравенства меняется: $\tan x - 3 \ge 0 \implies \tan x \ge 3$. На интервале $(\frac{5\pi}{4}; \frac{3\pi}{2})$ тангенс возрастает от $1$ до $+\infty$. Решением уравнения $\tan x = 3$ в третьей четверти является $x_0 = \pi + \arctan(3)$. Таким образом, решением неравенства будет промежуток $[\pi + \arctan(3); \frac{3\pi}{2})$.

2. Если $x = \frac{3\pi}{2}$, то неравенство $\sin x - 3\cos x \le 0$ превращается в $-1 - 3 \cdot 0 \le 0$, что верно. Значит, $x = \frac{3\pi}{2}$ является решением.

3. Если $x \in (\frac{3\pi}{2}; \frac{9\pi}{4})$, то $\cos x > 0$. Знак неравенства сохраняется: $\tan x - 3 \le 0 \implies \tan x \le 3$. На этом промежутке тангенс сначала отрицателен (IV четверть), а затем возрастает от $0$ до $1$ (I четверть до $\frac{9\pi}{4}$). Так как $\tan x$ на этом промежутке не превышает 1, то условие $\tan x \le 3$ выполняется всегда. Следовательно, весь промежуток $(\frac{3\pi}{2}; \frac{9\pi}{4})$ является решением.

Объединяя найденные решения, получаем: $x \in [\pi + \arctan(3); \frac{3\pi}{2}) \cup \{\frac{3\pi}{2}\} \cup (\frac{3\pi}{2}; \frac{9\pi}{4})$.

Окончательное решение: $x \in [\pi + \arctan(3); \frac{9\pi}{4})$.

Ответ: $x \in [\pi + \arctan(3), \frac{9\pi}{4})$.