Номер 11.55, страница 302 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.55, страница 302.

Условие.

Решите неравенство (11.55–11.64):

11.55 a) $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x - 2} \ge 0;$

б) $(x^2 - 3x - 10)\sqrt{3 - x} \ge 0;$

в) $(x^2 - 2x - 15)\sqrt{x + 4} \le 0;$

г) $(x^2 + x - 6)\sqrt{x + 5} \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Дано неравенство $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x - 2} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x - 2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.
Произведение двух множителей неотрицательно. Множитель $\sqrt{x-2}$ всегда неотрицателен в своей ОДЗ. Следовательно, неравенство равносильно совокупности двух случаев:
1. Выражение под корнем равно нулю (в этом случае все произведение равно нулю, что удовлетворяет знаку $\ge$):
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Это значение является решением.
2. Выражение под корнем строго больше нуля. Тогда на множитель $\sqrt{x-2}$ можно разделить, и знак неравенства сохранится:
$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 \ge 0 \end{cases}$
Решим эту систему. Из первого неравенства получаем $x > 2$.
Решим второе неравенство: $x^2 - 4x + 3 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$ является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$.
Пересекая решения $x > 2$ и $x \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$, получаем $x \in [3, +\infty)$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $\{2\} \cup [3, +\infty)$.

б) Дано неравенство $(x^2 - 3x - 10)\sqrt{3 - x} \ge 0$.

ОДЗ: $3 - x \ge 0$, откуда $x \le 3$.
Множитель $\sqrt{3-x}$ всегда неотрицателен. Неравенство равносильно совокупности:
1. $3 - x = 0 \implies x = 3$. Это значение является решением.
2. $\begin{cases} 3 - x > 0 \\ x^2 - 3x - 10 \ge 0 \end{cases}$
Решим систему. Из первого неравенства $x < 3$.
Решим второе неравенство: $x^2 - 3x - 10 \ge 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 5$, $x_2 = -2$. Парабола $y = x^2 - 3x - 10$ с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2] \cup [5, +\infty)$.
Пересекая $x < 3$ и $x \in (-\infty, -2] \cup [5, +\infty)$, получаем $x \in (-\infty, -2]$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $(-\infty, -2] \cup \{3\}$.

в) Дано неравенство $(x^2 - 2x - 15)\sqrt{x + 4} \le 0$.

ОДЗ: $x + 4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$.
Множитель $\sqrt{x+4}$ всегда неотрицателен. Чтобы произведение было неположительным, либо $\sqrt{x+4}=0$, либо второй множитель должен быть неположительным. Неравенство равносильно совокупности:
1. $x + 4 = 0 \implies x = -4$. Это значение является решением.
2. $\begin{cases} x + 4 > 0 \\ x^2 - 2x - 15 \le 0 \end{cases}$
Решим систему. Из первого неравенства $x > -4$.
Решим второе неравенство: $x^2 - 2x - 15 \le 0$. Корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 5$, $x_2 = -3$. Парабола $y = x^2 - 2x - 15$ с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in [-3, 5]$.
Пересекая $x > -4$ и $x \in [-3, 5]$, получаем $x \in [-3, 5]$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $\{-4\} \cup [-3, 5]$.

г) Дано неравенство $(x^2 + x - 6)\sqrt{x + 5} \le 0$.

ОДЗ: $x + 5 \ge 0$, откуда $x \ge -5$.
Множитель $\sqrt{x+5}$ всегда неотрицателен. Неравенство равносильно совокупности:
1. $x + 5 = 0 \implies x = -5$. Это значение является решением.
2. $\begin{cases} x + 5 > 0 \\ x^2 + x - 6 \le 0 \end{cases}$
Решим систему. Из первого неравенства $x > -5$.
Решим второе неравенство: $x^2 + x - 6 \le 0$. Корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = -3$. Парабола $y = x^2 + x - 6$ с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in [-3, 2]$.
Пересекая $x > -5$ и $x \in [-3, 2]$, получаем $x \in [-3, 2]$.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $\{-5\} \cup [-3, 2]$.