Номер 11.60, страница 303 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.60, страница 303.

Условие.

11.60 a) $\sqrt{27} \cdot 3^{-6x^2} \ge 9^{4x};$

б) $\sqrt{32} \cdot 2^{-4x^2} \ge 8^{3x};$

в) $4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2} \le \left(\frac{1}{8}\right)^{-3x};$

г) $125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{x^2} \le \left(\frac{1}{25}\right)^{-4x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\sqrt{27} \cdot 3^{-6x^2} \geq 9^{4x}$.

Для начала приведем все члены неравенства к одному основанию, в данном случае к 3:
$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{3/2}$;
$9^{4x} = (3^2)^{4x} = 3^{8x}$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$3^{3/2} \cdot 3^{-6x^2} \geq 3^{8x}$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для левой части, получим:
$3^{3/2 - 6x^2} \geq 3^{8x}$.

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$3/2 - 6x^2 \geq 8x$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное неравенство:
$-6x^2 - 8x + 3/2 \geq 0$.
Умножим обе части на -2, чтобы избавиться от дроби и сделать старший коэффициент положительным. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
$12x^2 + 16x - 3 \leq 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $12x^2 + 16x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 256 + 144 = 400 = 20^2$.
$x_{1} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 - 20}{2 \cdot 12} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2}$.
$x_{2} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-16 + 20}{2 \cdot 12} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$.

Графиком функции $y = 12x^2 + 16x - 3$ является парабола с ветвями вверх. Неравенство $12x^2 + 16x - 3 \leq 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-\frac{3}{2}, \frac{1}{6}]$.

б) Решим неравенство $\sqrt{32} \cdot 2^{-4x^2} \geq 8^{3x}$.

Приведем все члены неравенства к основанию 2:
$\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{5/2}$;
$8^{3x} = (2^3)^{3x} = 2^{9x}$.

Подставим выражения в неравенство:
$2^{5/2} \cdot 2^{-4x^2} \geq 2^{9x}$.

Упростим левую часть:
$2^{5/2 - 4x^2} \geq 2^{9x}$.

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$5/2 - 4x^2 \geq 9x$.

Запишем в виде стандартного квадратного неравенства:
$-4x^2 - 9x + 5/2 \geq 0$.
Умножим на -2 и изменим знак неравенства:
$8x^2 + 18x - 5 \leq 0$.

Найдем корни уравнения $8x^2 + 18x - 5 = 0$:
$D = 18^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 324 + 160 = 484 = 22^2$.
$x_1 = \frac{-18 - 22}{2 \cdot 8} = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2}$.
$x_2 = \frac{-18 + 22}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

Графиком является парабола с ветвями вверх. Неравенство $8x^2 + 18x - 5 \leq 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Ответ: $x \in [-\frac{5}{2}, \frac{1}{4}]$.

в) Решим неравенство $4 \cdot (\frac{1}{2})^{5x^2} \leq (\frac{1}{8})^{-3x}$.

Приведем все к основанию 2:
$4 = 2^2$;
$(\frac{1}{2})^{5x^2} = (2^{-1})^{5x^2} = 2^{-5x^2}$;
$(\frac{1}{8})^{-3x} = (2^{-3})^{-3x} = 2^{9x}$.

Неравенство принимает вид:
$2^2 \cdot 2^{-5x^2} \leq 2^{9x}$.
$2^{2 - 5x^2} \leq 2^{9x}$.

Основание $2 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$2 - 5x^2 \leq 9x$.

Перенесем все в одну сторону:
$-5x^2 - 9x + 2 \leq 0$.
Умножим на -1, меняя знак неравенства:
$5x^2 + 9x - 2 \geq 0$.

Найдем корни уравнения $5x^2 + 9x - 2 = 0$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$.
$x_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ветви параболы $y = 5x^2 + 9x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство $y \geq 0$ выполняется на промежутках вне корней, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [\frac{1}{5}, +\infty)$.

г) Решим неравенство $125 \cdot (\frac{1}{5})^{x^2} \leq (\frac{1}{25})^{-4x}$.

Приведем все к основанию 5:
$125 = 5^3$;
$(\frac{1}{5})^{x^2} = (5^{-1})^{x^2} = 5^{-x^2}$;
$(\frac{1}{25})^{-4x} = (5^{-2})^{-4x} = 5^{8x}$.

Подставляем в неравенство:
$5^3 \cdot 5^{-x^2} \leq 5^{8x}$.
$5^{3 - x^2} \leq 5^{8x}$.

Основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$3 - x^2 \leq 8x$.

Переносим члены и умножаем на -1:
$-x^2 - 8x + 3 \leq 0$
$x^2 + 8x - 3 \geq 0$.

Решим уравнение $x^2 + 8x - 3 = 0$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 64 + 12 = 76$.
$\sqrt{D} = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$.
$x_1 = \frac{-8 - 2\sqrt{19}}{2} = -4 - \sqrt{19}$.
$x_2 = \frac{-8 + 2\sqrt{19}}{2} = -4 + \sqrt{19}$.

Парабола $y = x^2 + 8x - 3$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство $y \geq 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями, включая концы.

Ответ: $x \in (-\infty, -4 - \sqrt{19}] \cup [-4 + \sqrt{19}, +\infty)$.