Страница 293 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

11.23 Докажите утверждение:

1) о потенцировании логарифмического неравенства;

2) о приведении подобных слагаемых;

3) о применении формул.

1) о потенцировании логарифмического неравенства

Утверждение о потенцировании логарифмического неравенства заключается в том, что переход от неравенства вида $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ к неравенству для выражений $f(x)$ и $g(x)$ является равносильным преобразованием, если учесть свойства монотонности логарифмической и показательной функций, а также область определения логарифма.

Рассмотрим неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого неравенства определяется условиями $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

Доказательство основано на свойстве строгой монотонности показательной функции $y = a^t$.

Случай 1: Основание $a > 1$.
В этом случае показательная функция $y = a^t$ является строго возрастающей. Это означает, что для любых $t_1$ и $t_2$, если $t_1 > t_2$, то и $a^{t_1} > a^{t_2}$.
Применим это свойство к нашему неравенству. Возведем основание $a$ в степень, равную левой и правой частям неравенства. Так как функция возрастающая, знак неравенства сохраняется: $a^{\log_a f(x)} > a^{\log_a g(x)}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем: $f(x) > g(x)$

Объединяя это с ОДЗ, получаем систему, равносильную исходному неравенству: $\begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$

Условие $f(x) > 0$ здесь выполняется автоматически, так как из $f(x) > g(x)$ и $g(x) > 0$ следует, что $f(x) > 0$. Обратный переход также верен: если $f(x) > g(x) > 0$, то в силу возрастания функции $y = \log_a t$ при $a > 1$ имеем $\log_a f(x) > \log_a g(x)$.

Случай 2: Основание $0 < a < 1$.
В этом случае показательная функция $y = a^t$ является строго убывающей. Это означает, что для любых $t_1$ и $t_2$, если $t_1 > t_2$, то $a^{t_1} < a^{t_2}$.
При потенцировании неравенства знак меняется на противоположный: $a^{\log_a f(x)} < a^{\log_a g(x)}$

По основному логарифмическому тождеству: $f(x) < g(x)$

С учетом ОДЗ, равносильная система будет выглядеть так: $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$

Условие $g(x) > 0$ выполняется автоматически. Обратный переход также верен в силу убывания функции $y = \log_a t$ при $0 < a < 1$.

Таким образом, операция потенцирования является корректным и обоснованным методом решения логарифмических неравенств, так как она основана на фундаментальном свойстве монотонности показательной функции.

Ответ: Утверждение о потенцировании логарифмического неравенства верно, так как оно является следствием свойства строгой монотонности показательной функции. Для $a>1$ неравенство $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \end{cases}$, а для $0 < a < 1$ — системе $\begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \end{cases}$.

2) о приведении подобных слагаемых

Утверждение о приведении подобных слагаемых заключается в том, что эта операция является тождественным преобразованием алгебраического выражения, то есть не изменяет его значения.

Подобными слагаемыми называются слагаемые в алгебраической сумме, имеющие одинаковую буквенную часть. Например, в выражении $5ab + 2x - 3ab$ слагаемые $5ab$ и $-3ab$ являются подобными.

Доказательство корректности этой операции основывается на распределительном свойстве (законе) умножения относительно сложения: $ac + bc = (a+b)c$.

Рассмотрим сумму двух подобных слагаемых $kx^n$ и $mx^n$, где $k$ и $m$ — числовые коэффициенты, а $x^n$ — их общая буквенная часть.

$kx^n + mx^n$

Представим буквенную часть как общий множитель и вынесем его за скобки, используя распределительный закон: $kx^n + mx^n = (k+m)x^n$

В результате мы получили одно слагаемое, коэффициент которого равен сумме коэффициентов исходных слагаемых, а буквенная часть осталась прежней. Это и есть операция приведения подобных слагаемых. Поскольку она является прямым применением аксиомы (распределительного закона), она является тождественным преобразованием. Это означает, что значение выражения до и после приведения подобных слагаемых одинаково при любых значениях входящих в него переменных.

Ответ: Утверждение о приведении подобных слагаемых верно, так как эта операция является непосредственным следствием распределительного закона умножения относительно сложения ($ac + bc = (a+b)c$), что гарантирует сохранение значения выражения.

3) о применении формул

Утверждение о применении формул заключается в том, что замена некоторой части математического выражения другой, равной ей согласно некоторой формуле, является корректным преобразованием.

В математике под "формулой" в данном контексте чаще всего понимают тождество — равенство, верное для всех допустимых значений входящих в него переменных.

Примеры формул-тождеств:

• Формулы сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Тригонометрические тождества: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
• Свойства степеней: $a^m a^n = a^{m+n}$
• Свойства логарифмов: $\log_c(ab) = \log_c a + \log_c b$ (при $a>0, b>0, c>0, c \ne 1$)

Обоснование корректности применения формул лежит в аксиоматическом свойстве равенства: если два объекта равны, то один можно заменить другим в любом контексте (принцип подстановки).

Пусть у нас есть выражение $E$, содержащее подвыражение $A$. И пусть существует формула (тождество) $A=B$. Это означает, что выражения $A$ и $B$ имеют одинаковые значения для всех переменных из их общей области определения. Согласно принципу подстановки, мы можем заменить в выражении $E$ подвыражение $A$ на $B$, получив новое выражение $E'$. Так как $A=B$, то и $E=E'$. Преобразование является тождественным.

Например, при упрощении выражения $(\sin x + \cos x)^2 - 1$ мы применяем формулу $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$: $(\sin x + \cos x)^2 - 1 = (\sin^2 x + 2\sin x\cos x + \cos^2 x) - 1$

Затем, перегруппировав слагаемые и применив формулу $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $(\sin^2 x + \cos^2 x) + 2\sin x\cos x - 1 = 1 + 2\sin x\cos x - 1 = 2\sin x\cos x$

Каждый шаг замены был основан на доказанном тождестве, поэтому итоговое выражение $2\sin x\cos x$ тождественно равно исходному.

Важно помнить, что применять формулу можно только с учетом ее области определения. Например, формула $\sqrt{x^2} = x$ верна только для $x \ge 0$, в общем случае $\sqrt{x^2} = |x|$. Некорректное применение формул без учета ОДЗ может привести к ошибкам: потере корней или появлению посторонних.

Ответ: Утверждение о применении формул верно. Оно основано на принципе подстановки для равенств: если формула представляет собой тождество (равенство, верное для всех допустимых значений переменных), то замена одной части тождества на другую в любом выражении является равносильным преобразованием, не изменяющим значения этого выражения, при условии соблюдения области определения формулы.

Решите неравенство (11.24—11.33):

11.24 а) $\log_{25}(x^2 - 7) > \log_{25}(x - 1);$

б) $\log_{7}(x^2 - 4) > \log_{7}(3x + 6);$

в) $\log_{\frac{1}{7}}(x^2 - 3x) > \log_{\frac{1}{7}}(2x - 4);$

г) $\log_{\frac{1}{25}}(x^2 - 4x) > \log_{\frac{1}{25}}(2x - 5).$

а) $\log_{25}(x^2 - 7) > \log_{25}(x - 1)$

Так как основание логарифма $25 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Следовательно, данное неравенство равносильно системе, в которой мы сравниваем подлогарифмические выражения с тем же знаком, и учитываем область допустимых значений (ОДЗ), потребовав, чтобы оба подлогарифмических выражения были положительны.

$ \begin{cases} x^2 - 7 > x - 1 \\ x - 1 > 0 \\ x^2 - 7 > 0 \end{cases} $

Заметим, что если $x^2 - 7 > x - 1$ и $x - 1 > 0$, то $x^2 - 7 > 0$ выполняется автоматически. Таким образом, систему можно упростить:

$ \begin{cases} x^2 - 7 > x - 1 \\ x - 1 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$x^2 - x - 6 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 3, x_2 = -2$.

Так как это парабола с ветвями вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x - 1 > 0 \implies x > 1$.

Решение: $x \in (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение решений: $((-\infty; -2) \cup (3; +\infty)) \cap (1; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

б) $\log_7(x^2 - 4) > \log_7(3x + 6)$

Основание логарифма $7 > 1$, поэтому функция возрастающая. Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 4 > 3x + 6 \\ 3x + 6 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$x^2 - 3x - 10 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ равны $x_1 = 5, x_2 = -2$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2) \cup (5; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$3x + 6 > 0 \implies 3x > -6 \implies x > -2$.

Решение: $x \in (-2; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty; -2) \cup (5; +\infty)) \cap (-2; +\infty)$.

Пересечением является интервал $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

в) $\log_{\frac{1}{7}}(x^2 - 3x) > \log_{\frac{1}{7}}(2x - 4)$

Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$, и $0 < a < 1$. Логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для подлогарифмических выражений знак неравенства меняется на противоположный. Неравенство равносильно системе с учетом ОДЗ:

$ \begin{cases} x^2 - 3x < 2x - 4 \\ x^2 - 3x > 0 \\ 2x - 4 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$x^2 - 5x + 4 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ равны $x_1 = 1, x_2 = 4$.

Решение неравенства: $x \in (1; 4)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 3x > 0 \implies x(x - 3) > 0$.

Решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (3; +\infty)$.

Решим третье неравенство:

$2x - 4 > 0 \implies 2x > 4 \implies x > 2$.

Решение: $x \in (2; +\infty)$.

Найдем пересечение трех множеств: $(1; 4) \cap ((-\infty; 0) \cup (3; +\infty)) \cap (2; +\infty)$.

Пересечение $(1; 4) \cap (2; +\infty)$ дает $(2; 4)$.

Пересечение $(2; 4) \cap ((-\infty; 0) \cup (3; +\infty))$ дает $(3; 4)$.

Ответ: $x \in (3; 4)$.

г) $\log_{\frac{1}{25}}(x^2 - 4x) > \log_{\frac{1}{25}}(2x - 5)$

Основание логарифма $a = \frac{1}{25}$, и $0 < a < 1$. Логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется. Система неравенств выглядит так:

$ \begin{cases} x^2 - 4x < 2x - 5 \\ x^2 - 4x > 0 \\ 2x - 5 > 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$x^2 - 6x + 5 < 0$

Корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$ равны $x_1 = 1, x_2 = 5$.

Решение неравенства: $x \in (1; 5)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - 4x > 0 \implies x(x - 4) > 0$.

Решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty)$.

Решим третье неравенство:

$2x - 5 > 0 \implies 2x > 5 \implies x > 2.5$.

Решение: $x \in (2.5; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(1; 5) \cap ((-\infty; 0) \cup (4; +\infty)) \cap (2.5; +\infty)$.

Пересечение $(1; 5) \cap (2.5; +\infty)$ дает $(2.5; 5)$.

Пересечение $(2.5; 5) \cap ((-\infty; 0) \cup (4; +\infty))$ дает $(4; 5)$.

Ответ: $x \in (4; 5)$.

11.25 а) $\log_{\frac{\sqrt{10}}{3}}(1 - 3x) < 2;$

б) $\log_{\frac{\sqrt{6}}{3}}(2x - 1) > 2;$

в) $\log_{0,5}(x^2 - 1) > -2;$

г) $\log_{0,5}(x^2 + 1) < -1.$

а) Решим логарифмическое неравенство $\log_{\frac{\sqrt{10}}{3}}(1-3x) < 2$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным:
$1 - 3x > 0$
$1 > 3x$
$x < \frac{1}{3}$
ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{1}{3})$.
2. Сравним основание логарифма $a = \frac{\sqrt{10}}{3}$ с единицей. Так как $\sqrt{10} \approx 3.16$, то $\sqrt{10} > 3$, следовательно, основание $a = \frac{\sqrt{10}}{3} > 1$. Логарифмическая функция с основанием больше 1 является возрастающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.
3. Решаем неравенство:
$1 - 3x < \left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^2$
$1 - 3x < \frac{10}{9}$
$-\frac{1}{9} < 3x$
$x > -\frac{1}{27}$
4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:$\begin{cases} x < \frac{1}{3} \\ x > -\frac{1}{27} \end{cases}$
Решением системы является интервал $(-\frac{1}{27}, \frac{1}{3})$.
Ответ: $x \in (-\frac{1}{27}; \frac{1}{3})$.

б) Решим логарифмическое неравенство $\log_{\frac{\sqrt{6}}{3}}(2x-1) > 2$.
1. Найдем ОДЗ:
$2x - 1 > 0$
$2x > 1$
$x > \frac{1}{2}$
ОДЗ: $x \in (\frac{1}{2}, +\infty)$.
2. Сравним основание логарифма $a = \frac{\sqrt{6}}{3}$ с единицей. Так как $\sqrt{6} \approx 2.45$, то $\sqrt{6} < 3$, следовательно, основание $0 < a = \frac{\sqrt{6}}{3} < 1$. Логарифмическая функция с основанием от 0 до 1 является убывающей, поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный.
3. Решаем неравенство:
$2x - 1 < \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2$
$2x - 1 < \frac{6}{9}$
$2x - 1 < \frac{2}{3}$
$2x < 1 + \frac{2}{3}$
$2x < \frac{5}{3}$
$x < \frac{5}{6}$
4. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:$\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x < \frac{5}{6} \end{cases}$
Решением системы является интервал $(\frac{1}{2}, \frac{5}{6})$.
Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; \frac{5}{6})$.

в) Решим логарифмическое неравенство $\log_{0,5}(x^2 - 1) > -2$.
1. Найдем ОДЗ:
$x^2 - 1 > 0$
$(x-1)(x+1) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$.
2. Основание логарифма $a=0,5$. Так как $0 < 0,5 < 1$, функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный.
3. Решаем неравенство:
$x^2 - 1 < (0,5)^{-2}$
$x^2 - 1 < (\frac{1}{2})^{-2}$
$x^2 - 1 < 2^2$
$x^2 - 1 < 4$
$x^2 - 5 < 0$
$(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $x \in (-\sqrt{5}, \sqrt{5})$.
4. Найдем пересечение решения с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ и $(-\sqrt{5}, \sqrt{5})$.
Это соответствует двум интервалам: $(-\sqrt{5}, -1)$ и $(1, \sqrt{5})$.
Ответ: $x \in (-\sqrt{5}; -1) \cup (1; \sqrt{5})$.

г) Решим логарифмическое неравенство $\log_{0,5}(x^2 + 1) < -1$.
1. Найдем ОДЗ:
$x^2 + 1 > 0$
Поскольку $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \geq 1$. Следовательно, выражение $x^2+1$ всегда положительно. ОДЗ: $x \in (-\infty, +\infty)$.
2. Основание логарифма $a=0,5$. Так как $0 < 0,5 < 1$, функция является убывающей, и знак неравенства меняется на противоположный.
3. Решаем неравенство:
$x^2 + 1 > (0,5)^{-1}$
$x^2 + 1 > (\frac{1}{2})^{-1}$
$x^2 + 1 > 2$
$x^2 > 1$
$|x| > 1$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x < -1$ и $x > 1$.
4. Пересечение полученного решения с ОДЗ ($x \in \mathbb{R}$) дает тот же результат.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

11.26 а) $log_3 243 \cdot log_{0,8}(3x - 5) > 0;$

б) $\frac{log_9 (5x - 4)}{log_{0,4} 0,064} < 0;$

в) $\frac{log_{0,2} (2 - 5x)}{log_5 625} > 0;$

г) $log_{0,6} 0,216 \cdot log_5 (5 - 2x) < 0.$

а) $log_3(243) \cdot log_{0.8}(3x - 5) > 0$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$3x - 5 > 0$

$3x > 5$

$x > 5/3$

2. Упростим неравенство. Вычислим значение первого множителя $log_3(243)$:

$log_3(243) = log_3(3^5) = 5$.

Поскольку $5 > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на 5, не меняя знака:

$5 \cdot log_{0.8}(3x - 5) > 0 \quad | : 5$

$log_{0.8}(3x - 5) > 0$

3. Решим полученное логарифмическое неравенство. Представим $0$ как логарифм с таким же основанием: $0 = log_{0.8}(1)$.

$log_{0.8}(3x - 5) > log_{0.8}(1)$

Основание логарифма $a = 0.8$, и $0 < 0.8 < 1$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$3x - 5 < 1$

$3x < 6$

$x < 2$

4. Объединим полученное решение с ОДЗ. Требуется, чтобы выполнялись оба условия одновременно:

$\begin{cases} x > 5/3 \\ x < 2 \end{cases}$

Таким образом, решением является интервал $(5/3, 2)$.

Ответ: $x \in (5/3, 2)$.

б) $\frac{log_9(5x - 4)}{log_{0.4}(0.064)} < 0$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма в числителе должен быть строго больше нуля:

$5x - 4 > 0$

$5x > 4$

$x > 4/5$

2. Вычислим значение знаменателя $log_{0.4}(0.064)$:

$log_{0.4}(0.064) = log_{0.4}(0.4^3) = 3$.

3. Подставим вычисленное значение в неравенство:

$\frac{log_9(5x - 4)}{3} < 0$

Умножим обе части на 3 (положительное число), знак неравенства не изменится:

$log_9(5x - 4) < 0$

4. Решим полученное логарифмическое неравенство. Представим $0$ как $log_9(1)$:

$log_9(5x - 4) < log_9(1)$

Основание логарифма $a = 9$, и $9 > 1$. Это означает, что логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$5x - 4 < 1$

$5x < 5$

$x < 1$

5. Объединим решение с ОДЗ:

$\begin{cases} x > 4/5 \\ x < 1 \end{cases}$

Решением является интервал $(4/5, 1)$.

Ответ: $x \in (4/5, 1)$.

в) $\frac{log_{0.2}(2 - 5x)}{log_5(625)} > 0$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма в числителе должен быть строго больше нуля:

$2 - 5x > 0$

$2 > 5x$

$x < 2/5$

2. Вычислим значение знаменателя $log_5(625)$:

$log_5(625) = log_5(5^4) = 4$.

3. Подставим вычисленное значение в неравенство:

$\frac{log_{0.2}(2 - 5x)}{4} > 0$

Умножим обе части на 4, знак неравенства не изменится:

$log_{0.2}(2 - 5x) > 0$

4. Решим неравенство, представив $0$ как $log_{0.2}(1)$:

$log_{0.2}(2 - 5x) > log_{0.2}(1)$

Основание логарифма $a = 0.2$, и $0 < 0.2 < 1$. Функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$2 - 5x < 1$

$-5x < -1$

$5x > 1$

$x > 1/5$

5. Объединим решение с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 2/5 \\ x > 1/5 \end{cases}$

Решением является интервал $(1/5, 2/5)$.

Ответ: $x \in (1/5, 2/5)$.

г) $log_{0.6}(0.216) \cdot log_5(5 - 2x) < 0$

1. Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$5 - 2x > 0$

$5 > 2x$

$x < 5/2$

2. Упростим неравенство. Вычислим значение первого множителя $log_{0.6}(0.216)$:

$log_{0.6}(0.216) = log_{0.6}(0.6^3) = 3$.

3. Подставим значение в неравенство:

$3 \cdot log_5(5 - 2x) < 0$

Разделим обе части на 3, знак неравенства не изменится:

$log_5(5 - 2x) < 0$

4. Решим неравенство, представив $0$ как $log_5(1)$:

$log_5(5 - 2x) < log_5(1)$

Основание логарифма $a = 5$, и $5 > 1$. Функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$5 - 2x < 1$

$-2x < -4$

$2x > 4$

$x > 2$

5. Объединим решение с ОДЗ:

$\begin{cases} x < 5/2 \\ x > 2 \end{cases}$

Решением является интервал $(2, 5/2)$.

Ответ: $x \in (2, 5/2)$.

11.27 а) $\log_{31} (8x - 9)^2 > \log_{31} (9x - 11)^2;$

б) $\log_{\frac{1}{31}} (4x - 5)^2 > \log_{\frac{1}{31}} (5x - 7)^2.$

а)

Исходное неравенство: $\log_{31}(8x - 9)^2 > \log_{31}(9x - 11)^2$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

$(8x - 9)^2 > 0 \implies 8x - 9 \neq 0 \implies x \neq \frac{9}{8}$.

$(9x - 11)^2 > 0 \implies 9x - 11 \neq 0 \implies x \neq \frac{11}{9}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{9}{8}) \cup (\frac{9}{8}, \frac{11}{9}) \cup (\frac{11}{9}, +\infty)$.

2. Решим неравенство. Основание логарифма $31 > 1$, поэтому логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется.

$(8x - 9)^2 > (9x - 11)^2$

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$(8x - 9)^2 - (9x - 11)^2 > 0$

$((8x - 9) - (9x - 11)) \cdot ((8x - 9) + (9x - 11)) > 0$

$(8x - 9 - 9x + 11) \cdot (8x - 9 + 9x - 11) > 0$

$(-x + 2)(17x - 20) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни множителей:

$-x + 2 = 0 \implies x = 2$

$17x - 20 = 0 \implies x = \frac{20}{17}$

Отметим корни на числовой оси и определим знаки на интервалах. Неравенство можно переписать в виде $(x-2)(17x-20) < 0$. График функции $y=(x-2)(17x-20)$ — парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.

Решение неравенства: $x \in (\frac{20}{17}, 2)$.

3. Совместим полученное решение с ОДЗ.

Наше решение: $(\frac{20}{17}, 2)$.

Ограничения из ОДЗ: $x \neq \frac{9}{8}$ и $x \neq \frac{11}{9}$.

Сравним числа: $\frac{9}{8} = 1.125$, $\frac{20}{17} \approx 1.176$, $\frac{11}{9} \approx 1.222$.

Число $\frac{9}{8}$ не входит в интервал $(\frac{20}{17}, 2)$, так как $\frac{9}{8} < \frac{20}{17}$.

Число $\frac{11}{9}$ входит в интервал $(\frac{20}{17}, 2)$, так как $\frac{20}{17} < \frac{11}{9} < 2$. Следовательно, эту точку нужно исключить из решения.

Итоговое решение является объединением интервалов: $(\frac{20}{17}, \frac{11}{9}) \cup (\frac{11}{9}, 2)$.

Ответ: $(\frac{20}{17}, \frac{11}{9}) \cup (\frac{11}{9}, 2)$.

б)

Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{31}}(4x - 5)^2 > \log_{\frac{1}{31}}(5x - 7)^2$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$(4x - 5)^2 > 0 \implies 4x - 5 \neq 0 \implies x \neq \frac{5}{4}$.

$(5x - 7)^2 > 0 \implies 5x - 7 \neq 0 \implies x \neq \frac{7}{5}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{4}, \frac{7}{5}) \cup (\frac{7}{5}, +\infty)$.

2. Решим неравенство. Основание логарифма $\frac{1}{31}$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный.

$(4x - 5)^2 < (5x - 7)^2$

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов.

$(4x - 5)^2 - (5x - 7)^2 < 0$

$((4x - 5) - (5x - 7)) \cdot ((4x - 5) + (5x - 7)) < 0$

$(4x - 5 - 5x + 7) \cdot (4x - 5 + 5x - 7) < 0$

$(-x + 2)(9x - 12) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни множителей:

$-x + 2 = 0 \implies x = 2$

$9x - 12 = 0 \implies x = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$

Неравенство можно переписать в виде $(x-2)(9x-12) > 0$. График функции $y=(x-2)(9x-12)$ — парабола с ветвями вверх, она принимает положительные значения вне интервала между корнями.

Решение неравенства: $x \in (-\infty, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$.

3. Совместим полученное решение с ОДЗ.

Наше решение: $(-\infty, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$.

Ограничения из ОДЗ: $x \neq \frac{5}{4}$ и $x \neq \frac{7}{5}$.

Сравним числа: $\frac{5}{4} = 1.25$, $\frac{4}{3} \approx 1.333$, $\frac{7}{5} = 1.4$.

Число $\frac{5}{4}$ входит в интервал $(-\infty, \frac{4}{3})$, так как $\frac{5}{4} < \frac{4}{3}$. Эту точку нужно исключить.

Число $\frac{7}{5}$ не входит в множество решений $(-\infty, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$, так как $\frac{4}{3} < \frac{7}{5} < 2$.

Объединяя решение с ОДЗ, получаем: $(-\infty, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{4}, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $(-\infty, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{4}, \frac{4}{3}) \cup (2, +\infty)$.

11.28 a) $\frac{1}{\sqrt{x+2}} + x < \frac{1}{\sqrt{x+2}} + 5;$

б) $\frac{2}{\sqrt{x+3}} + x < \frac{2}{\sqrt{x+3}} + 4;$

в) $\frac{3}{\sqrt{x+4}} + x > \frac{3}{\sqrt{x+4}} + 3;$

г) $\frac{4}{\sqrt{x+5}} + x > \frac{4}{\sqrt{x+5}} + 2.$

а)

Исходное неравенство: $\frac{1}{\sqrt{x+2}} + x < \frac{1}{\sqrt{x+2}} + 5$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным: $x + 2 > 0$, откуда следует $x > -2$.

Теперь решим само неравенство. В обеих частях неравенства есть одинаковое слагаемое $\frac{1}{\sqrt{x+2}}$. Вычтем его из обеих частей: $(\frac{1}{\sqrt{x+2}} + x) - \frac{1}{\sqrt{x+2}} < (\frac{1}{\sqrt{x+2}} + 5) - \frac{1}{\sqrt{x+2}}$ $x < 5$

Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. То есть, должны выполняться два условия одновременно: $x > -2$ и $x < 5$. Это соответствует интервалу $(-2; 5)$.

Ответ: $x \in (-2; 5)$.

б)

Исходное неравенство: $\frac{2}{\sqrt{x+3}} + x < \frac{2}{\sqrt{x+3}} + 4$.

Определим ОДЗ. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля: $x + 3 > 0$, откуда $x > -3$.

Упростим неравенство, вычтя из обеих частей одинаковое слагаемое $\frac{2}{\sqrt{x+3}}$: $x < 4$

Найдем пересечение решения с ОДЗ. Условия $x > -3$ и $x < 4$ должны выполняться одновременно. Это соответствует интервалу $(-3; 4)$.

Ответ: $x \in (-3; 4)$.

в)

Исходное неравенство: $\frac{3}{\sqrt{x+4}} + x > \frac{3}{\sqrt{x+4}} + 3$.

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть положительным: $x + 4 > 0$, следовательно $x > -4$.

Решим неравенство. Вычтем из обеих частей слагаемое $\frac{3}{\sqrt{x+4}}$: $x > 3$

Объединим результат с ОДЗ. Нам нужно найти пересечение множеств $x > 3$ и $x > -4$. Поскольку любое число, которое больше 3, автоматически больше и -4, решением будет $x > 3$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

г)

Исходное неравенство: $\frac{4}{\sqrt{x+5}} + x > \frac{4}{\sqrt{x+5}} + 2$.

Определим ОДЗ: подкоренное выражение $x+5$ должно быть строго положительным. $x + 5 > 0$, откуда $x > -5$.

Упростим неравенство, вычитая из обеих частей одинаковое слагаемое $\frac{4}{\sqrt{x+5}}$: $x > 2$

Найдем пересечение полученного решения $x > 2$ с ОДЗ $x > -5$. Общим решением будет $x > 2$.

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

11.29 a) $ \text{tg } x + x^2 < \text{tg } x + 2x + 3; $

б) $ \text{tg } x + x^2 + 2x > \text{tg } x + 3; $

в) $ \text{ctg } x + x^2 < \text{ctg } x + x + 6; $

г) $ \text{ctg } x + x^2 + x > \text{ctg } x + 6. $

а)

Исходное неравенство: $tg x + x^2 < tg x + 2x + 3$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется областью определения тангенса: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим неравенство, вычитая $tg x$ из обеих частей:

$x^2 < 2x + 3$

$x^2 - 2x - 3 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Парабола $y = x^2 - 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 3 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Таким образом, решение квадратного неравенства: $x \in (-1; 3)$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Мы должны исключить из интервала $(-1; 3)$ точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} \approx 1,57$. Это значение попадает в интервал $(-1; 3)$, поэтому его нужно исключить.

При $k=1$, $x = \frac{3\pi}{2} \approx 4,71$, что больше 3.

При $k=-1$, $x = -\frac{\pi}{2} \approx -1,57$, что меньше -1.

Следовательно, единственная точка, которую нужно исключить из интервала $(-1; 3)$, это $x = \frac{\pi}{2}$.

Итоговое решение является объединением интервалов, полученных после исключения точки $\frac{\pi}{2}$ из интервала $(-1; 3)$.

Ответ: $x \in (-1; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}; 3)$.

б)

Исходное неравенство: $tg x + x^2 + 2x > tg x + 3$.

ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим неравенство, вычитая $tg x$ из обеих частей:

$x^2 + 2x > 3$

$x^2 + 2x - 3 > 0$

Находим корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 + 2x - 3$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 2x - 3 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

Учтем ОДЗ. Необходимо из полученного решения исключить все точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, которые попадают в эти интервалы.

Эти точки необходимо исключить из решения $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$, при этом $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

в)

Исходное неравенство: $ctg x + x^2 < ctg x + x + 6$.

ОДЗ для этого неравенства определяется областью определения котангенса: $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим неравенство, вычитая $ctg x$ из обеих частей:

$x^2 < x + 6$

$x^2 - x - 6 < 0$

Находим корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. Корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Парабола $y = x^2 - x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 6 < 0$ выполняется между корнями.

Решение квадратного неравенства: $x \in (-2; 3)$.

Теперь учтем ОДЗ. Мы должны исключить из интервала $(-2; 3)$ точки вида $x = \pi k$.

При $k=0$, $x = 0$. Это значение попадает в интервал $(-2; 3)$.

При $k=1$, $x = \pi \approx 3,14$, что не попадает в интервал.

При $k=-1$, $x = -\pi \approx -3,14$, что не попадает в интервал.

Следовательно, единственная точка, которую нужно исключить, это $x=0$.

Итоговое решение - это интервал $(-2; 3)$ с исключенной точкой 0.

Ответ: $x \in (-2; 0) \cup (0; 3)$.

г)

Исходное неравенство: $ctg x + x^2 + x > ctg x + 6$.

ОДЗ: $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Упростим неравенство, вычитая $ctg x$ из обеих частей:

$x^2 + x > 6$

$x^2 + x - 6 > 0$

Находим корни уравнения $x^2 + x - 6 = 0$. Корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Парабола $y = x^2 + x - 6$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + x - 6 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Решение квадратного неравенства: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Учтем ОДЗ. Необходимо из полученного решения исключить все точки вида $x = \pi k$, которые попадают в эти интервалы.

Для интервала $(-\infty; -3)$: точки $x = \pi k$ при $k \le -1$ (например, $-\pi \approx -3,14$, $-2\pi \approx -6,28$ и т.д.).

Для интервала $(2; +\infty)$: точки $x = \pi k$ при $k \ge 1$ (например, $\pi \approx 3,14$, $2\pi \approx 6,28$ и т.д.).

Точка $x=0$ (при $k=0$) не попадает в решение $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$.

Следовательно, нужно исключить все точки $x = \pi k$ для всех ненулевых целых $k$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (2; +\infty)$, при этом $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$.

11.30 а) $(2\sqrt{x} + 1)^2 > 5x^2 + 4\sqrt{x} - 63;$

б) $(2\sqrt{x} - 1)^2 < 2x^2 - 4\sqrt{x} - 125;$

В) $(3\sqrt{x} + 2)^2 > 6x^2 + 12\sqrt{x} - 2;$

Г) $(3\sqrt{x} - 2)^2 < 4x^2 - 12\sqrt{x} - 5.$

а) Исходное неравенство: $(2\sqrt{x}+1)^2 > 5x^2 + 4\sqrt{x} - 63$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием подкоренного выражения: $x \ge 0$.

Раскроем скобки в левой части неравенства, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:

$(2\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot 1 + 1^2 > 5x^2 + 4\sqrt{x} - 63$

$4x + 4\sqrt{x} + 1 > 5x^2 + 4\sqrt{x} - 63$

Сократим одинаковые слагаемые $4\sqrt{x}$ в обеих частях неравенства:

$4x + 1 > 5x^2 - 63$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$0 > 5x^2 - 4x - 63 - 1$

$5x^2 - 4x - 64 < 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $5x^2 - 4x - 64 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-64) = 16 + 1280 = 1296$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$.

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 36}{2 \cdot 5} = \frac{-32}{10} = -3.2$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 36}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$.

Так как ветви параболы $y=5x^2 - 4x - 64$ направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), неравенство $5x^2 - 4x - 64 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $x \in (-3.2, 4)$.

Теперь учтем ОДЗ ($x \ge 0$). Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $(-3.2, 4) \cap [0, \infty) = [0, 4)$.

Ответ: $x \in [0, 4)$.

б) Исходное неравенство: $(2\sqrt{x}-1)^2 < 2x^2 - 4\sqrt{x} - 125$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(2\sqrt{x})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{x} \cdot 1 + 1^2 < 2x^2 - 4\sqrt{x} - 125$

$4x - 4\sqrt{x} + 1 < 2x^2 - 4\sqrt{x} - 125$

Сократим слагаемое $-4\sqrt{x}$ в обеих частях:

$4x + 1 < 2x^2 - 125$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < 2x^2 - 4x - 125 - 1$

$2x^2 - 4x - 126 > 0$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x^2 - 2x - 63 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 63 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = -7$ и $x_2 = 9$.

Ветви параболы $y=x^2 - 2x - 63$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 2x - 63 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -7) \cup (9, \infty)$.

Учитывая ОДЗ ($x \ge 0$), получаем решение: $((-\infty, -7) \cup (9, \infty)) \cap [0, \infty) = (9, \infty)$.

Ответ: $x \in (9, \infty)$.

в) Исходное неравенство: $(3\sqrt{x}+2)^2 > 6x^2 + 12\sqrt{x} - 2$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки в левой части:

$(3\sqrt{x})^2 + 2 \cdot 3\sqrt{x} \cdot 2 + 2^2 > 6x^2 + 12\sqrt{x} - 2$

$9x + 12\sqrt{x} + 4 > 6x^2 + 12\sqrt{x} - 2$

Сократим $12\sqrt{x}$:

$9x + 4 > 6x^2 - 2$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 > 6x^2 - 9x - 2 - 4$

$6x^2 - 9x - 6 < 0$

Разделим обе части на 3:

$2x^2 - 3x - 2 < 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.

$\sqrt{D} = 5$.

Корни: $x_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ и $x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 - 3x - 2 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-0.5, 2)$.

Пересекая с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем: $(-0.5, 2) \cap [0, \infty) = [0, 2)$.

Ответ: $x \in [0, 2)$.

г) Исходное неравенство: $(3\sqrt{x}-2)^2 < 4x^2 - 12\sqrt{x} - 5$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Раскроем скобки в левой части:

$(3\sqrt{x})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{x} \cdot 2 + 2^2 < 4x^2 - 12\sqrt{x} - 5$

$9x - 12\sqrt{x} + 4 < 4x^2 - 12\sqrt{x} - 5$

Сократим $-12\sqrt{x}$:

$9x + 4 < 4x^2 - 5$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 < 4x^2 - 9x - 5 - 4$

$4x^2 - 9x - 9 > 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 9x - 9 = 0$.

Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225$.

$\sqrt{D} = 15$.

Корни: $x_1 = \frac{9 - 15}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -0.75$ и $x_2 = \frac{9 + 15}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство $4x^2 - 9x - 9 > 0$ выполняется вне интервала между корнями: $x \in (-\infty, -0.75) \cup (3, \infty)$.

Пересекая с ОДЗ ($x \ge 0$), получаем: $((-\infty, -0.75) \cup (3, \infty)) \cap [0, \infty) = (3, \infty)$.

Ответ: $x \in (3, \infty)$.

11.31* a) $\frac{\cos x}{\operatorname{ctg} x} + \sin x < 0;$

б) $\frac{\sin x}{\operatorname{tg} x} + \cos x > 0;$

В) $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x > 2 \sin x;$

Г) $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x < 2 \cos x.$

а) Решим неравенство $\frac{\cos x}{\operatorname{ctg} x} + \sin x < 0$.
1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $\operatorname{ctg} x$ определено, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Также знаменатель $\operatorname{ctg} x$ не должен быть равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$, откуда $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.
2. Упростим неравенство. На ОДЗ имеем $\frac{\cos x}{\operatorname{ctg} x} = \frac{\cos x}{\cos x / \sin x} = \sin x$.
Неравенство принимает вид: $\sin x + \sin x < 0$, что эквивалентно $2\sin x < 0$, или $\sin x < 0$.
3. Решим неравенство $\sin x < 0$. Это выполняется, когда $x$ находится в III и IV четвертях, то есть $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
4. Учтем ОДЗ. Из найденного решения необходимо исключить точки вида $x = \frac{\pi k}{2}$. В интервал $(\pi, 2\pi)$ попадает точка $x = \frac{3\pi}{2}$. Эту точку (и все точки, отличающиеся на $2\pi n$) необходимо исключить из решения. Таким образом, искомое множество решений разбивается на два интервала.
Ответ: $x \in (\pi + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi(n+1)), n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим неравенство $\frac{\sin x}{\operatorname{tg} x} + \cos x > 0$.
1. ОДЗ: Выражение $\operatorname{tg} x$ определено, если $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Также знаменатель $\operatorname{tg} x$ не должен быть равен нулю, то есть $\sin x \neq 0$, откуда $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.
2. Упростим неравенство. На ОДЗ $\frac{\sin x}{\operatorname{tg} x} = \frac{\sin x}{\sin x / \cos x} = \cos x$.
Неравенство принимает вид: $\cos x + \cos x > 0$, что эквивалентно $2\cos x > 0$, или $\cos x > 0$.
3. Решим неравенство $\cos x > 0$. Это выполняется, когда $x$ находится в I и IV четвертях, то есть $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
4. Учтем ОДЗ. Из найденного решения необходимо исключить точки вида $x = \frac{\pi k}{2}$. В интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ попадает точка $x = 0$. Эту точку (и все точки, отличающиеся на $2\pi n$) необходимо исключить.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi n) \cup (2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

в) Решим неравенство $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x > 2 \sin x$.
1. ОДЗ: Выражения $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$ должны быть определены. Это требует, чтобы $\cos x \neq 0$ и $\sin x \neq 0$. Следовательно, ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.
2. Упростим неравенство. На ОДЗ произведение $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x = 1$.
Неравенство принимает вид: $1 > 2 \sin x$, или $\sin x < \frac{1}{2}$.
3. Решим неравенство $\sin x < \frac{1}{2}$. Решением являются $x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
4. Учтем ОДЗ. Из полученного множества решений нужно исключить точки вида $x = \frac{\pi k}{2}$. Рассмотрим интервал $(\frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6})$. В него попадают точки ОДЗ: $\pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$. Исключая их, мы разбиваем исходный интервал на части.
Ответ: $x \in (\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \pi + 2\pi n) \cup (\pi + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n) \cup (\frac{3\pi}{2} + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n) \cup (2\pi + 2\pi n, \frac{13\pi}{6} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

г) Решим неравенство $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x < 2 \cos x$.
1. ОДЗ: Аналогично предыдущему пункту, $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.
2. Упростим неравенство. На ОДЗ $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x = 1$.
Неравенство принимает вид: $1 < 2 \cos x$, или $\cos x > \frac{1}{2}$.
3. Решим неравенство $\cos x > \frac{1}{2}$. Решением является интервал $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
4. Учтем ОДЗ. Из полученного интервала решения нужно исключить точки вида $x = \frac{\pi k}{2}$. В интервал $(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3})$ попадает точка $x = 0$. Эту точку (и все точки, отличающиеся на $2\pi n$) необходимо исключить.
Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, 2\pi n) \cup (2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z}$.

11.32* a) $2^{\log_2 (3-2x)} < 4;$

б) $3^{\log_3 (7-4x)} > 27.$

а) $2^{\log_2(3-2x)} < 4$

Для решения данного неравенства сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$3 - 2x > 0$

$-2x > -3$

$x < 1.5$

Теперь воспользуемся основным логарифмическим тождеством $a^{\log_a b} = b$. Левая часть неравенства преобразуется к виду $3-2x$.

Получаем неравенство:

$3 - 2x < 4$

Решим это линейное неравенство:

$-2x < 4 - 3$

$-2x < 1$

При делении на отрицательное число (-2) знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -0.5$

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Составим систему неравенств:

$\{ \begin{array}{l} x < 1.5 \\ x > -0.5 \end{array} $

Объединяя эти два условия, получаем интервал $-0.5 < x < 1.5$.

Ответ: $x \in (-0.5; 1.5)$

б) $3^{\log_3(7-4x)} > 27$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть больше нуля:

$7 - 4x > 0$

$-4x > -7$

$x < \frac{7}{4}$

$x < 1.75$

Используем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$. Левая часть неравенства становится равной $7-4x$.

Неравенство принимает вид:

$7 - 4x > 27$

Решим полученное неравенство:

$-4x > 27 - 7$

$-4x > 20$

Разделим обе части на -4, не забыв поменять знак неравенства на противоположный:

$x < -5$

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ, составив систему:

$\{ \begin{array}{l} x < 1.75 \\ x < -5 \end{array} $

Пересечением этих двух условий является $x < -5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -5)$

11.33* a) $4 \log_x 3 > \log_3 x - 3;$

б) $2 \log_x 5 > \log_5 x - 1.$

а) $4 \log_x 3 > \log_3 x - 3$
Первым шагом определим Область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице, а аргумент логарифма $x$ в $\log_3 x$ должен быть положительным. Таким образом, ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Применим формулу перехода к новому основанию: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$. В нашем случае $\log_x 3 = \frac{1}{\log_3 x}$.
Подставим это в неравенство:
$4 \cdot \frac{1}{\log_3 x} > \log_3 x - 3$
Сделаем замену переменной для упрощения. Пусть $t = \log_3 x$. Неравенство примет вид:
$\frac{4}{t} > t - 3$
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{4}{t} - t + 3 > 0$
$\frac{4 - t^2 + 3t}{t} > 0$
$\frac{-(t^2 - 3t - 4)}{t} > 0$
Умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{t^2 - 3t - 4}{t} < 0$
Разложим числитель на множители. Найдем корни уравнения $t^2 - 3t - 4 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант получаем корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{(t-4)(t+1)}{t} < 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой оси точки $t = -1$, $t = 0$ и $t = 4$. Определим знаки выражения в каждом интервале.
- При $t < -1$: $(-)(-) / (-) = (-)$. Подходит.
- При $-1 < t < 0$: $(-)(+) / (-) = (+)$. Не подходит.
- При $0 < t < 4$: $(-)(+) / (+) = (-)$. Подходит.
- При $t > 4$: $(+)(+) / (+) = (+)$. Не подходит.
Таким образом, решение для $t$ это $t < -1$ или $0 < t < 4$.
Теперь вернемся к переменной $x$:
1. $t < -1 \implies \log_3 x < -1$. Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x < 3^{-1} \implies x < \frac{1}{3}$.
2. $0 < t < 4 \implies 0 < \log_3 x < 4$. Решаем двойное неравенство: $3^0 < x < 3^4 \implies 1 < x < 81$.
Совместим полученные решения с ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$):
- Для $x < \frac{1}{3}$ с учетом ОДЗ получаем интервал $(0; \frac{1}{3})$.
- Интервал $(1; 81)$ полностью удовлетворяет ОДЗ.
Объединение этих интервалов является решением исходного неравенства.
Ответ: $x \in (0; \frac{1}{3}) \cup (1; 81)$.

б) $2 \log_x 5 > \log_5 x - 1$
ОДЗ: $x > 0$ и $x \neq 1$.
Используем формулу перехода к новому основанию: $\log_x 5 = \frac{1}{\log_5 x}$.
Неравенство принимает вид:
$\frac{2}{\log_5 x} > \log_5 x - 1$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_5 x$.
$\frac{2}{t} > t - 1$
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{2 - t(t-1)}{t} > 0$
$\frac{2 - t^2 + t}{t} > 0$
$\frac{-(t^2 - t - 2)}{t} > 0$
Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:
$\frac{t^2 - t - 2}{t} < 0$
Найдем корни числителя $t^2 - t - 2 = 0$. Корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
$\frac{(t-2)(t+1)}{t} < 0$
Решаем методом интервалов. Критические точки: $t = -1, t = 0, t = 2$.
- При $t < -1$: $(-)(-) / (-) = (-)$. Подходит.
- При $-1 < t < 0$: $(-)(+) / (-) = (+)$. Не подходит.
- При $0 < t < 2$: $(-)(+) / (+) = (-)$. Подходит.
- При $t > 2$: $(+)(+) / (+) = (+)$. Не подходит.
Решение для $t$: $t < -1$ или $0 < t < 2$.
Возвращаемся к переменной $x$:
1. $t < -1 \implies \log_5 x < -1$. Так как основание $5 > 1$, то $x < 5^{-1} \implies x < \frac{1}{5}$.
2. $0 < t < 2 \implies 0 < \log_5 x < 2 \implies 5^0 < x < 5^2 \implies 1 < x < 25$.
Совместим полученные решения с ОДЗ ($x > 0, x \neq 1$):
- Из $x < \frac{1}{5}$ и ОДЗ получаем $x \in (0; \frac{1}{5})$.
- Интервал $(1; 25)$ полностью удовлетворяет ОДЗ.
Объединяем полученные решения.
Ответ: $x \in (0; \frac{1}{5}) \cup (1; 25)$.