Страница 287 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (11.6–11.16):

11.6 а) $\sqrt{3x - 2} < x$;

б) $\sqrt{4x - 3} < x$;

в) $\sqrt{5x - 4} < x$;

г) $\sqrt{6x - 5} < x$.

а) Исходное неравенство $\sqrt{3x - 2} < x$ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 2 \ge 0 \\ x > 0 \\ (\sqrt{3x - 2})^2 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $3x - 2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}$.

2) $x > 0$.

3) $3x - 2 < x^2 \implies x^2 - 3x + 2 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Поскольку ветви параболы $y = x^2 - 3x + 2$ направлены вверх, неравенство $x^2 - 3x + 2 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \ge \frac{2}{3}$, $x > 0$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.
Объединение условий $x \ge \frac{2}{3}$ и $x > 0$ дает $x \ge \frac{2}{3}$.
Пересечение множеств $[\frac{2}{3}, \infty)$ и $(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ дает нам итоговое решение.
Решением является объединение интервалов $[\frac{2}{3}, 1)$ и $(2, \infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{2}{3}, 1) \cup (2, \infty)$.

б) Исходное неравенство $\sqrt{4x - 3} < x$ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} 4x - 3 \ge 0 \\ x > 0 \\ (\sqrt{4x - 3})^2 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $4x - 3 \ge 0 \implies 4x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{4}$.

2) $x > 0$.

3) $4x - 3 < x^2 \implies x^2 - 4x + 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Неравенство $x^2 - 4x + 3 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \ge \frac{3}{4}$, $x > 0$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.
Общее решение для первых двух неравенств: $x \ge \frac{3}{4}$.
Пересечение $[\frac{3}{4}, \infty)$ и $(-\infty, 1) \cup (3, \infty)$ дает решение $[\frac{3}{4}, 1) \cup (3, \infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{3}{4}, 1) \cup (3, \infty)$.

в) Исходное неравенство $\sqrt{5x - 4} < x$ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} 5x - 4 \ge 0 \\ x > 0 \\ (\sqrt{5x - 4})^2 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $5x - 4 \ge 0 \implies 5x \ge 4 \implies x \ge \frac{4}{5}$.

2) $x > 0$.

3) $5x - 4 < x^2 \implies x^2 - 5x + 4 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. Корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Неравенство $x^2 - 5x + 4 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \ge \frac{4}{5}$, $x > 0$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.
Общее решение для первых двух неравенств: $x \ge \frac{4}{5}$.
Пересечение $[\frac{4}{5}, \infty)$ и $(-\infty, 1) \cup (4, \infty)$ дает решение $[\frac{4}{5}, 1) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{4}{5}, 1) \cup (4, \infty)$.

г) Исходное неравенство $\sqrt{6x - 5} < x$ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} 6x - 5 \ge 0 \\ x > 0 \\ (\sqrt{6x - 5})^2 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $6x - 5 \ge 0 \implies 6x \ge 5 \implies x \ge \frac{5}{6}$.

2) $x > 0$.

3) $6x - 5 < x^2 \implies x^2 - 6x + 5 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$. Корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.
Неравенство $x^2 - 6x + 5 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

Найдем пересечение решений: $x \ge \frac{5}{6}$, $x > 0$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.
Общее решение для первых двух неравенств: $x \ge \frac{5}{6}$.
Пересечение $[\frac{5}{6}, \infty)$ и $(-\infty, 1) \cup (5, \infty)$ дает решение $[\frac{5}{6}, 1) \cup (5, \infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{5}{6}, 1) \cup (5, \infty)$.

11.7 a) $\sqrt{2x-1} < x$;

б) $2\sqrt{x-1} < x$;

в) $\sqrt{6x-9} < x$;

г) $2\sqrt{2x-4} < x$.

а)

Решим неравенство $\sqrt{2x-1} < x$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $

Применительно к нашему случаю, система выглядит так:

$ \begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x > 0 \\ (\sqrt{2x-1})^2 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

2. $x > 0$.

3. $2x - 1 < x^2 \implies x^2 - 2x + 1 > 0 \implies (x-1)^2 > 0$. Данное неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=1$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Условие $x \ge \frac{1}{2}$ является более строгим, чем $x > 0$, поэтому достаточно учесть $x \ge \frac{1}{2}$ и $x \neq 1$.

Объединяя эти условия, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 1) \cup (1, \infty)$.

б)

Решим неравенство $2\sqrt{x-1} < x$.

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x > 0 \\ (2\sqrt{x-1})^2 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. $x > 0$.

3. $4(x-1) < x^2 \implies 4x - 4 < x^2 \implies x^2 - 4x + 4 > 0 \implies (x-2)^2 > 0$. Данное неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=2$.

Найдем пересечение решений. Условие $x \ge 1$ включает в себя условие $x > 0$. Следовательно, ищем значения $x$, удовлетворяющие условиям $x \ge 1$ и $x \neq 2$.

Объединяя эти условия, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [1, 2) \cup (2, \infty)$.

в)

Решим неравенство $\sqrt{6x-9} < x$.

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 6x - 9 \ge 0 \\ x > 0 \\ (\sqrt{6x-9})^2 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $6x - 9 \ge 0 \implies 6x \ge 9 \implies x \ge \frac{9}{6} \implies x \ge \frac{3}{2}$.

2. $x > 0$.

3. $6x - 9 < x^2 \implies x^2 - 6x + 9 > 0 \implies (x-3)^2 > 0$. Данное неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=3$.

Найдем пересечение решений. Условие $x \ge \frac{3}{2}$ включает в себя условие $x > 0$. Следовательно, ищем значения $x$, удовлетворяющие условиям $x \ge \frac{3}{2}$ и $x \neq 3$.

Объединяя эти условия, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$.

г)

Решим неравенство $2\sqrt{2x-4} < x$.

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x - 4 \ge 0 \\ x > 0 \\ (2\sqrt{2x-4})^2 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $2x - 4 \ge 0 \implies 2x \ge 4 \implies x \ge 2$.

2. $x > 0$.

3. $4(2x-4) < x^2 \implies 8x - 16 < x^2 \implies x^2 - 8x + 16 > 0 \implies (x-4)^2 > 0$. Данное неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=4$.

Найдем пересечение решений. Условие $x \ge 2$ включает в себя условие $x > 0$. Следовательно, ищем значения $x$, удовлетворяющие условиям $x \ge 2$ и $x \neq 4$.

Объединяя эти условия, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [2, 4) \cup (4, \infty)$.