Номер 11.7, страница 287 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 11.7, страница 287.

Условие.

11.7 a) $\sqrt{2x-1} < x$;

б) $2\sqrt{x-1} < x$;

в) $\sqrt{6x-9} < x$;

г) $2\sqrt{2x-4} < x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Решим неравенство $\sqrt{2x-1} < x$.

Неравенство вида $\sqrt{f(x)} < g(x)$ равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) > 0 \\ f(x) < (g(x))^2 \end{cases} $

Применительно к нашему случаю, система выглядит так:

$ \begin{cases} 2x - 1 \ge 0 \\ x > 0 \\ (\sqrt{2x-1})^2 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $2x - 1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

2. $x > 0$.

3. $2x - 1 < x^2 \implies x^2 - 2x + 1 > 0 \implies (x-1)^2 > 0$. Данное неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=1$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Условие $x \ge \frac{1}{2}$ является более строгим, чем $x > 0$, поэтому достаточно учесть $x \ge \frac{1}{2}$ и $x \neq 1$.

Объединяя эти условия, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}, 1) \cup (1, \infty)$.

б)

Решим неравенство $2\sqrt{x-1} < x$.

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x > 0 \\ (2\sqrt{x-1})^2 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. $x > 0$.

3. $4(x-1) < x^2 \implies 4x - 4 < x^2 \implies x^2 - 4x + 4 > 0 \implies (x-2)^2 > 0$. Данное неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=2$.

Найдем пересечение решений. Условие $x \ge 1$ включает в себя условие $x > 0$. Следовательно, ищем значения $x$, удовлетворяющие условиям $x \ge 1$ и $x \neq 2$.

Объединяя эти условия, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [1, 2) \cup (2, \infty)$.

в)

Решим неравенство $\sqrt{6x-9} < x$.

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 6x - 9 \ge 0 \\ x > 0 \\ (\sqrt{6x-9})^2 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $6x - 9 \ge 0 \implies 6x \ge 9 \implies x \ge \frac{9}{6} \implies x \ge \frac{3}{2}$.

2. $x > 0$.

3. $6x - 9 < x^2 \implies x^2 - 6x + 9 > 0 \implies (x-3)^2 > 0$. Данное неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=3$.

Найдем пересечение решений. Условие $x \ge \frac{3}{2}$ включает в себя условие $x > 0$. Следовательно, ищем значения $x$, удовлетворяющие условиям $x \ge \frac{3}{2}$ и $x \neq 3$.

Объединяя эти условия, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$.

г)

Решим неравенство $2\sqrt{2x-4} < x$.

Данное неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 2x - 4 \ge 0 \\ x > 0 \\ (2\sqrt{2x-4})^2 < x^2 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1. $2x - 4 \ge 0 \implies 2x \ge 4 \implies x \ge 2$.

2. $x > 0$.

3. $4(2x-4) < x^2 \implies 8x - 16 < x^2 \implies x^2 - 8x + 16 > 0 \implies (x-4)^2 > 0$. Данное неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=4$.

Найдем пересечение решений. Условие $x \ge 2$ включает в себя условие $x > 0$. Следовательно, ищем значения $x$, удовлетворяющие условиям $x \ge 2$ и $x \neq 4$.

Объединяя эти условия, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in [2, 4) \cup (4, \infty)$.