Номер 11.10, страница 288 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 11. Равносильность неравенств на множествах - номер 11.10, страница 288.

Условие.

11.10 a) $\sqrt{3-x} > x-1;$

В) $\sqrt{5-x} > x-3;$

б) $\sqrt{6-x} > 3x-4;$

г) $\sqrt{4-x} > 2x-5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) $\sqrt{3 - x} > x - 1$

Решение данного иррационального неравенства равносильно совокупности двух систем.
Система 1: Правая часть неравенства отрицательна, а подкоренное выражение неотрицательно.
$ \begin{cases} x - 1 < 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 1 \\ x \le 3 \end{cases} $
Решением этой системы является интервал $x \in (-\infty; 1)$.
Система 2: Правая часть неравенства неотрицательна, и мы можем возвести обе части в квадрат.
$ \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ (\sqrt{3 - x})^2 > (x - 1)^2 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge 1 \\ 3 - x > x^2 - 2x + 1 \end{cases} $
Решим второе неравенство системы: $3 - x > x^2 - 2x + 1$ $x^2 - x - 2 < 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-1; 2)$.
Теперь найдем пересечение решений системы 2:
$ \begin{cases} x \ge 1 \\ -1 < x < 2 \end{cases} $
Решением этой системы является полуинтервал $x \in [1; 2)$.
Объединение решений:
Объединяем решения обеих систем: $(-\infty; 1) \cup [1; 2) = (-\infty; 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

б) $\sqrt{6 - x} > 3x - 4$

Решаем аналогично, рассматривая совокупность двух систем.
Система 1:
$ \begin{cases} 3x - 4 < 0 \\ 6 - x \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 3x < 4 \\ x \le 6 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < \frac{4}{3} \\ x \le 6 \end{cases} $
Решением этой системы является $x \in (-\infty; \frac{4}{3})$.
Система 2:
$ \begin{cases} 3x - 4 \ge 0 \\ 6 - x > (3x - 4)^2 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge \frac{4}{3} \\ 6 - x > 9x^2 - 24x + 16 \end{cases} $
Решим второе неравенство: $9x^2 - 23x + 10 < 0$.
Найдем корни уравнения $9x^2 - 23x + 10 = 0$.
Дискриминант $D = (-23)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 10 = 529 - 360 = 169 = 13^2$.
$x_1 = \frac{23 - 13}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$
$x_2 = \frac{23 + 13}{18} = \frac{36}{18} = 2$
Неравенство выполняется между корнями: $x \in (\frac{5}{9}; 2)$.
Найдем пересечение решений системы 2:
$ \begin{cases} x \ge \frac{4}{3} \\ \frac{5}{9} < x < 2 \end{cases} $
Так как $\frac{4}{3} = \frac{12}{9}$, то $\frac{4}{3} > \frac{5}{9}$. Решением является $x \in [\frac{4}{3}; 2)$.
Объединение решений:
$(-\infty; \frac{4}{3}) \cup [\frac{4}{3}; 2) = (-\infty; 2)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

в) $\sqrt{5 - x} > x - 3$

Рассмотрим совокупность двух систем.
Система 1:
$ \begin{cases} x - 3 < 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 3 \\ x \le 5 \end{cases} $
Решение: $x \in (-\infty; 3)$.
Система 2:
$ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ 5 - x > (x - 3)^2 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge 3 \\ 5 - x > x^2 - 6x + 9 \end{cases} $
Решим второе неравенство: $x^2 - 5x + 4 < 0$.
Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ равны $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.
Неравенство выполняется при $x \in (1; 4)$.
Найдем пересечение решений системы 2:
$ \begin{cases} x \ge 3 \\ 1 < x < 4 \end{cases} $
Решение: $x \in [3; 4)$.
Объединение решений:
$(-\infty; 3) \cup [3; 4) = (-\infty; 4)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 4)$.

г) $\sqrt{4 - x} > 2x - 5$

Рассмотрим совокупность двух систем.
Система 1:
$ \begin{cases} 2x - 5 < 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases} $
$ \begin{cases} 2x < 5 \\ x \le 4 \end{cases} $
$ \begin{cases} x < 2.5 \\ x \le 4 \end{cases} $
Решение: $x \in (-\infty; 2.5)$.
Система 2:
$ \begin{cases} 2x - 5 \ge 0 \\ 4 - x > (2x - 5)^2 \end{cases} $
$ \begin{cases} x \ge 2.5 \\ 4 - x > 4x^2 - 20x + 25 \end{cases} $
Решим второе неравенство: $4x^2 - 19x + 21 < 0$.
Найдем корни уравнения $4x^2 - 19x + 21 = 0$.
Дискриминант $D = (-19)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 21 = 361 - 336 = 25 = 5^2$.
$x_1 = \frac{19 - 5}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1.75$
$x_2 = \frac{19 + 5}{8} = \frac{24}{8} = 3$
Неравенство выполняется при $x \in (1.75; 3)$.
Найдем пересечение решений системы 2:
$ \begin{cases} x \ge 2.5 \\ 1.75 < x < 3 \end{cases} $
Решение: $x \in [2.5; 3)$.
Объединение решений:
$(-\infty; 2.5) \cup [2.5; 3) = (-\infty; 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.